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1、第一节 方差分析的基本原理与步骤,第五章 方差分析,假设某单因素试验有k个处理，n次重复，完全随机设计，则共有nk个观察值，其数据结构和符号如表5-1所示。,一、分解平方和与自由度,在方差分析中用样本方差即均方来度量资料的变异程度。,在表5-1中，度量全部观测值总变异的总均方分解为度量处理间变异的处理间均方和度量处理内变异的处理内均方两部分。,（一）总平方和的分解,在表5-1中，反映全部观测值总变异的总平方和是各观测值xij与总平均数 的离均差平方和，记为SST。,2020年8月21日,为各处理平均数 与总平均数 的离均差平方和与重复数n的乘积，反映了重复n次的处理间变异，称为处理间平方和，记
2、为SSt，即,为各处理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为SSe，即,SST = SSt + SSe,3种平方和的简便计算公式,矫正数,（二）总自由度的分解,在计算总平方和时，资料中kn个观测值的离均差,要受,这一条件的约束，故总自由度等于资料中观 测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为 dfT，dfT=kn-1。,在计算处理间平方和时，k个处理均数的离均差,要受,这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1,在计算处理内平方和时，kn个离均差,要受k个条件的约束，即,故处理内自由度为资料中观测
3、值的总个数减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe dfe=kn-k=k(n-1),（i=1,2,k）,因为,所以,各项平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为MST（或,）、MSt（或,）和 MSe （或,），即,【例5-1 】有一水稻施肥的盆栽试验，设置了5个处理：A1和A2分别施用两种不同工艺流程的氨水，A3施碳酸氢铵，A4施尿素，A5不施氮肥。每个处理各4盆（施氮处理的施肥量每盆皆为折合纯氮1.2克），共有5420盆，随机置于同一盆栽场。其稻谷产量（g/盆）列于表5-2。,各项平方和与自由度计算如下,二、F分布与F检验,（一）、F分布 设在一
4、正态总体N（，2）中随机抽取样本容量为n1和n2的两个样本，得到两个样本方差（均方） 、 ， 构成一新的随机变量，记为F，即,服从 ， 的F 分布 。 F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的 变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如图3-15所示。,特点：1、F分布的平均数F=1； 2、取值范围0，+； 3、只有一尾概率，右尾概率； 4、F分布是一组曲线系，当V1、V2都趋近于+时，F分布趋于对称分布。,因而F分布右尾从 到+的概率为：,用 表示F分布的概率密度函数，则其分布函数 为：,附表4列出的是不同 df1 和 df2 下 P（F ）=0.05和P（F
5、 ）= 0.01 时的F 值，即右尾概率 =0.05 和=0.01 时的临界F 值，一般记作：,例如，查附表4，当df1=3，df2=18时， F0.05(3,18)=3.16，F0.01(3,18)=5.09 表示如以n1=4，n2=19，在同一正态总体中连续抽样 ，所得 F 值大于 3.16 的仅为5%，大于5.09的仅为1%。,（二）、F检验,用 F 值出现概率的大小推断一个总体方差是否大于另一个总体方差的方法称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。,对于单因素完全随机设计试验资料的方差分析: 无效假设H0：1=2=k 备择假设HA：各i不全相等,或 假设 H0：t2=e2 对 H
6、A：t2e2，,F=MSt / MSe，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内(误差)均方。,实际进行F检验时，是将由试验资料所算得的 F 值与根据 df1= dft (大均方即分子均方的自由度)、df2=dfe (小均方即分母均方的自由度)查附表4所得的临界F值,，,相比较作出统计推断。,若F ,，即p0.05，不能否定,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著或简述为F值不显著，在F值的右上方标记“ns”，或不标记符号；,H0：1=2=k,若,F,即0.01p0.05，否定H0： 1=2=k,接受HA:各i不全相等,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著或简述为F值显
7、著，在F值的右上方标记“*”；,若F,即p0.01，否定H0：1=2=k,接受HA:各i不全相等,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著或简述为F值极显著，在F值的右上方标记“*”。,对于【例51】，因为,根据 df1=dft=4， df2=dfe=15 查附表 4 ，得F0.01(4，15) =4.89，因为FF0.01(4，15) , 即p0.01，表明五种不同施肥处理的稻谷产量差异极显著，施肥处理不同，产量亦不同。,表5-3 表5-2资料方差分析表,三、多重比较 F 值显著或极显著，否定无效假设HO ，表明试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处理平均数
8、间的差异都显著或极显著的，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。,有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。 统计学上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。 多重比较的方法很多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法 (LSR法) 。,此法的基本作法是： 在F 检验显著的前提下 ，先 计 算 出 显 著 水 平为的 最 小显著差数 ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较：,（一）最小显著差数法(LSD法),若 LSD，则 与 在水平上差异显著；反之，则在水平上差异不显著。 为在F 检验中误差项自由度下，显著
9、水平为的临界t 值， 为均数差数标准误，,为F 检验中的误差均方，n为各处理的重复数。 当显著水平=0.05和0.01时，从t 值表中查出 和 ， 得： 利用LSD法进行多重比较时，可按如下步骤进行：,(2)计算最小显著差数 和 ； (3)将两两平均数的差数与 、 比较，作出统计推断。,(1) 列出平均数多重比较表，各处理按其平均数降序排列；,对于【例5-1】，多重比较如表5-4所示。,(二)最小显著极差法 (LSR法) LSR 法是把平均数的差数看成是平均数的极差， 根据极差范围内所包含的处理数(称为秩次距) k 的不同而采用不同的检验尺度。这些在显著水平上依秩次距 k 的不同而采用的不同的
10、检验尺度叫做 最小显著极差(LSR)。,常用的LSR法有q检验法和SSR法两种。,1、q 检验法 利用q检验法进行多重比较时 ， 将极差与 比较，从而作出统计推断。 为秩次距为K、 水平上的最小显著极差，记为 LSR。,步骤： (1)列出平均数多重比较表； (2)由自由度 dfe、 秩次距k 查临界q值，计算最小显著极差LSR0.05,k，LSR0.01,k； (3)将各极差与相应的最小显著极差LSR0.05,k , LSR0.01,k 比较，作出统计推断。,查附表7，得df=15时，k=2,3,4,5的q值，进而可得LSR，列于表5-6。,对于【例5-1】， 各处理平均数多重比较表见表5-5
11、（同表5-4）。,2、SSR法 此法是由邓肯 (Duncan) 提出，又称为Duncan法，或新复极差法。 新复极差法与q法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表 (附表6)而不是查q值表。最小显著极差计算公式为：,对于【例5-1】，各处理平均数多重比较表同表5-4。,已算出 =1.2971，依dfe=15, k=2，3，4，5， 由 附表6 查 临界SSR0.05(15,k)和SSR0.01(15,k)值，乘以 =1.2971，求得各最小显著极差，SSR值与LSR值列于表5-7。,将表5-4 中的极差与 表5-7 中的最小显著极差比较，除极差4.0不显著外，其余检验结果与
12、LSD法相同。,以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系：LSD 法 SSR 法 q 法,当秩次距k=2时，取等号；秩次距 k3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。,用上述排列顺序前面方法检验显著的差数，用后面方法检验未必显著； 用后面方法检验显著的差数，用前面方法检验必然显著。,生物试验中，由于试验误差较大，常采用SSR法 ； F检验显著后，为了简便， 也可采用LSD法。,此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，如表 5-4、表5-5所示。此法的优点是简便直观，缺点是占的篇幅较大。,1、三角形法,四、多重比较结果的表示方法,
13、2、标记字母法 先将各处理平均数由大到小自上而下排列；然后在最 大平均数后标记字母a，并将该平均数与 以下各平均数依 次相比，凡差异不显著标记同一 字母 a，直到某一与其 差异显著的平均数标记字母 b 为止；再以标有字母b的平 均数为标准，与上方比它大的各个平均数比较 ，凡差异 不显著一律再加标b ，直至显著为止；,再以标记有字母b的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的平均数相比 ，凡差异不显著，继续标记字母b，直至某一个与其差异显著的平均数标记c为止； ； 如此重复下去，直至最小一个平均数被标记、比较完毕为止。,这样，各平均数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母的即为差异显著。 用小写拉丁字母表示显著水平= 0.05，用大写拉丁字母表示显著水平= 0.01。,对于【例5-1】，根据表5-4所表示的用SSR法进行的多重比较结果，用字母标记如表5-9所示。,方差分析的步骤： (一)分解平方和与自由度； (二)列出方差分析表，进行 F 检验； (三)若 F 检验显著，进行多重比较。 多重比较的方法有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法）：包括 q 法 和 SSR法)。 表示多重比较结果的方法有三角形法和标记字母法。,
