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1、-1-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,n. (1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,标准差,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=; (2)E(+)=E()+E(); (3)D(aX+b)=.,aE(X)+b,a2D(X),-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,3.两点分布与二项分布的均值与方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=. (2)若XB(n,p),则E(X)=,
2、D(X)=.,p,p(1-p),np,np(1-p),-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,4,4.常用结论 (1)如果X1,X2相互独立,那么E(X1X2)=E(X1)E(X2). (2)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X). (3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,答案,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关.() (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.() (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均
3、程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.() (4)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.(),-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,2.设随机变量XB(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则() A.n=5,p=0.32B.n=4,p=0.4 C.n=8,p=0.2D.n=7,p=0.45,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人三次上班途中遇红灯次数的均值为 () A.
4、0.4B.1.2C.0.43D.0.6,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(2016四川,理12)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,例1某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 他们考核所得的等次相互独立. (1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人
5、中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量,求随机变量的分布列和均值E(). 思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?,-11-,考点1,考点2,考点3,解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5
6、)由方差的定义求D(X). 2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,例2(2016河南信阳、三门峡一模)某新建公司规定,招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据,按时间段75,80),80,85),85,90),90,95),95,100(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.,-17-,考点1,考点2,考点3,(1)求抽取的20
7、0名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率; (2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数.试求X的分布列、均值E(X)和方差D(X). 思考如何简便地求二项分布的均值与方差?,-18-,考点1,考点2,考点3,解 (1)依题意,参加这种技能培训时间在时间段90,95)小时的职工人数为2000.065=60, 在时间段95,100小时的职工人数为2000.025=20, 故抽取的200名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为80, 因此从招
8、聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.,-21-,考点1,考点2,考点3,(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,-2
9、4-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,例3(2016全国乙卷,理19)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,-26-,考点1,考点2,考点3,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
10、(1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 思考如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策?,-27-,考点1,考点2,考点3,解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=
11、20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,-28-,考点1,考点2,考点3,(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.
12、04=4 080. 可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.,-29-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.,-30-,考点1,考点2,考点3,(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.,-31-,考点1,考点2,考点3,
