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1、湖南省衡阳市第八中学2020届高三数学上学期第6次月考试题 理考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则A B C D 2. 设为虚数单位，若是纯虚数，则 A B C1 D3. 已知某超市2020年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A该超市2020年的12个月中的7月份的收益最高B该超市2020年的12个月中的4月份的收益最低C该超市2020年16月份的总收益低于2020年712月份的总收益D该超市2020年712月份的总收益比2020年1
2、6月份的总收益增长了90万元4已知，则A B C D5. 已知，满足，则ABCD6. 函数图象的大致形状是 A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 A米B米C米D米8.已知函数，且在上单调.则下列说法正确的是A
3、B C函数在上单调递增 D函数的图象关于点对称9.在中，满足，则的面积的最大值为A. B. 2 C. D. 10已知双曲线C：，分别为其左、右焦点，为坐标原点，若点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则C的离心率是A B C2 D11. 在正方体中，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中：存在，某一位置，使； 的面积为定值；当时，直线与直线一定异面； 无论，运动到何位置，均有. 其中所有正确命题的序号是A. B. C. D. 12若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 把答案填在答题卡中的横线
4、上）13若的展开式中的系数为，则实数_ _14在菱形中，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为 15.已知数列满足，则(1) ，(2) .16如图，衡阳市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为_千米.三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分17(本小题满分12分) 已知ABC的内角A
5、，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值18(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将ADE沿DE折起，使ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；（2）求角的正弦值.19(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，直线分别与相交于两点，设为线段的中点，求证：20(本小题满分12分)已知函数（1）当时，求函
6、数在区间上的值域；（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2020年，“x=2”表示2020年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网
7、购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。附：在线性回归方程中，.
8、（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. (本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（t为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程，直线与曲线C交于A、B两点（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值23. (本小题满分10分) 选修45：不等式选讲 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：2020届衡阳市八中高三第六次月考理科数学参考答案命题：彭 源 审题：蒋金元考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，
9、共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BADDACBCACBD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 把答案填在答题卡中的横线上）13 _ -2 _ 14 15. (1) ， (2) .16 _ 三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分17(本小题满分12分) 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值【详解】(1)由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，则，所以， 所以，
10、即.(2)由ABC的面积为，即，得.因为D为边AC的中点，所以，所以，即，当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为. 18(本小题满分12分) 已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将ADE沿DE折起，使ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；（2）求角的正弦值. 【详解】(1)证明：过点A作AG平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD.因为ACD为等边三角形，所以AC=AD，所以点G在CD的垂直平分线上.又因为EF是CD的垂直平线，所以点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.另证：过点A作AGEF，
11、再证AGCD，从而证得AG平面BCDE，即点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上(2) 解：以G为坐标原点，GA所在直线为z轴，GF所在直线为y轴，过点G作平行于DC的直线为x轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为2a，连接AF，则AF= a，AE= a，EF=2 a. 所以设平面ADE的一个法向量为m=(x，y，z)，则，取y=1，得m=，又平面DEC的一个法向量n=(0，0，1)所以，即.19(本小题满分12分) 如图，已知椭圆的长轴长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为的直线交椭圆于B，C两点，直线的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，直线分别与相交于两点，设为线段的中
12、点，求证：【详解】(1)设，因点B在椭圆上，所以，故又， 所以，即因 所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)设直线BC的方程为，由，得，则.直线的方程为，令，得；同理；所以，即点，又，所以，所以.20(本小题满分12分)已知函数（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.【详解】(1) 当时，则令，则.当时，当时，得，解得当时，得，解得所以在上单调递增，在上单调递减，故即，在上单调递减，所以所以函数在区间上的值域为.(2)因为，故可化为即函数在区间上为增函数，所以当时，即恒成立.当时，；当时，令，则.当时，当时，当时，.所以在上单调递减，故，所以.综上，实数的取值范
13、围是. 21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2020年，“x=2”表示2020年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格
