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1、湖北省荆门市2020高三数学元月调考试题 文注意事项:1答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1已知集合,则A B C. D2设是虚数单位,则等于A B C D3下列各式中错误的是A B C D4设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,双曲线的一条渐近线
2、方程为,则双曲线的方程为A B C D第5题图5已知函数(,)的部分图象如图所示,则A B C D6已知则A B C D7设是等差数列的前n项和,若,则A B C D8太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等,太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为,设点,则的取值范围是ABCD9灯会,是中国一种古老的民俗文化,一般指春节前后至元宵节时,由官方举办的大型的灯饰展览活动,并常常附带有一些猜灯谜等活动,极具传统性和地方特色。春节期间,某校甲、
3、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜,每人均获得一次机会游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是A甲 B乙 C丙 D丁10函数的大致图象为11已知二面角为点P、Q分别在a、b内且P到b的距离为,Q到a的距离为, 则PQ两点之间的距离为A. B C D12已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率,则A B C D二、填空题:本大题共4小题,每小题5
4、分,共20分13某学校为了调查学生的学习情况,由每班随机抽取名学生进行调查,若一班有名学生,将每一学生编号从到,请从随机数表的第行第、列(下表为随机数表的前行)的开始,依次向右,直到取足样本,则第五个编号为 .781665140802631407024369972801983204923449358200362348696938748114已知向量满足且,则的夹角为 .第15题图15如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”若某勾股树含有1023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为 .16已知三棱锥
5、P-ABC外接球的表面积为,PA平面ABC,,则三棱锥体积的最大值为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知在等比数列中,且,成等差数列()求数列的通项公式;()若数列满足:,求数列的前项和18.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥中,平面平面,()求证:;()若二面角为,求直线与平面所成的角的正弦值19.(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准:用水量不超过a的部分按照平价收费,超过a的部分按照议价收
6、费)为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位:吨),按照分组制作了频率分布直方图,()用该样本估计总体:(1)估计该市居民月均用水量的平均数;(2)如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量a的最低标准定为多少吨?()在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人,其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少?20.(本小题满分12分)已知椭圆E:的一个焦点与上下顶点构成直角三角形,以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切()求椭圆E的标准方程;()为椭圆上不同的三点,为坐标原点,若,试问:的面积是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由2
7、1.(本小题满分12分)已知函数在定义域内有两个不同的极值点.()求实数的取值范围;()记两个极值点为,且,求证:.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:()求直线与曲线公共点的极坐标;()设过点的直线交曲线于,两点,求的值23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】设不等式的解集是,()试比较与的大小;()设表示数集中的最大数,求的最小值荆门市2020年高三年级元月调考试卷数学(文科)参考答案与评分标准一、
8、选择题:每小题5分,共60分.15 DBDBC 6-10 CACAC 11-12 AD二、填空题:每小题5分,共20分.13.43 14. 15. 16. 三、解答题:17.解:(1)设等比数列的公比为,成等差数列,3分 6分(2), 8分 10分 12分18.解:()证明:在中,,所以,所以 2分因为平面平面,平面平面,所以平面 4分又因为平面,所以 6分()解:因为平面,平面,所以又,平面平面, 所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即8分因为,所以平面所以是直线与平面所成的角10分因为在中,所以在中, 12分19解:()(1)月均用水量 3分(2)由直方图易知:故月均用水量a的标准定为2
9、.7吨. 6分()由直方图可知:月均用水量在的人数为:,月均用水量在的人数为: 8分 从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有: 共15种,其中月均用水量都在的情况有:共6种, 10分故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率: 12分20. 解:()由题意知, 2分解得 则椭圆的方程是: 4分()当AB斜率不存在时, 5分设由设则 7分 9分原点O到AB的距离11分故综上:的面积为定值.12分21.解:()由题意,方程在有两个不同根,即方程有两个不同根;解法1:转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点,令, 1分故在处的切线方程为:3分代入点有:由图象可得: 5分解法2:转化为函数与函数的图象在上有两个不同交 点 1分,故时,时,3分又由图象可得:5分解法3: 1分最多只有一个实根,不合题意; 2分故故 5分()由()知: 7分又 9分 11分故 12分22.(1)曲线的普通方程为,直线的普通方程为, 2分联立方程,解得或, 4分所以,直线与曲线公共点的极坐标为,5分(2)依题意,设直线的参数方程为(为倾斜角,为参数),代入,整理得 7分设对应的参数分别为则 10分另解:设为的一条切线,由切割线定理:23.由得,解得,2分(1)由,得,故5分(2)由,得, 7分,故 9分当且仅当10分