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1、第六章布莱克 舒尔斯期权定价模型 1 第一节证券价格的变化过程 一 弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年 法玛 Fama 提出了著名的效率市场假说 该假说认为 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的 证券价格能完全反应全部信息 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平 而与新信息相应的价格变动是相互独立的 2 效率市场假说可分为三类 弱式 半强式和强式 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 来表述 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 可分为离散型的和连续型的 马
2、尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 如果证券价格遵循马尔可夫过程 则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格 3 二 布朗运动 一 标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度 代表变量z在时间内的变化 遵循标准布朗运动的具有两种特征 特征1 和的关系满足 6 1 6 1 其中 代表从标准正态分布 即均值为0 标准差为1 0的正态分布 中取的一个随机值 这是一个按正态规律集中在起始点的一个随机运动 4 标准布朗运动 2 特征2 对于任何两个不同时间间隔 和的值相互独立 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形 我们可得 6 2 当 0时 我们就可以得到极限的标准布朗运动 6 3 5 二 普通布朗运
3、动 我们先引入两个概念 漂移率和方差率 标准布朗运动的漂移率为0 方差率为1 0 我们令漂移率的期望值为a 方差率的期望值为b2 就可得到变量x的普通布朗运动 b是标准差 6 4 其中 a和b均为常数 dz遵循标准布朗运动 普通的布朗运动随时间间隔的增加 需要加上一个漂移项 表示离开起始位置的程度 常数比率 而其运动是正态规律运动 总体是一个叠加运动 6 三 伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 我们可以从公式 6 4 得到伊藤过程 ItoProcess 6 5 其中 dz是一个标准布朗运动 a b是变量x和t的函数 变量x的漂移率
4、为a 方差率为b2 漂移非常数 正态规律项非常数 都是与时间和其目前位置有关 更加复杂的随机过程 7 四 证券价格的变化过程 证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为的伊藤过程来表示 两边同除以S得 6 6 表示未来时间间隔后的证券价格增量变化是符合漂移和方差率只和目前价格有关系 线性关系 的伊藤随机过程 即普通布朗运动的升级版 表示未来价格变化率符合普通布朗运动 描述运动偏离标注布朗运动的漂移率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数 8 从 6 6 可知 在短时间后 证券价格比率的变化值为 可见 也具有正态分布特征 6 7 前三个是常数或者函数值 最后一个是个标准正态随机变
5、量 整个式子是某种正态随机变量 只不过这里符合的正态分布的均值和方差是与时间间隔由关系的值而已 9 例6 1 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动 其波动率为每年18 预期收益率以连续复利计为每年20 其目前的市价为100元 求一周后该股票价格变化值的概率分布 10 五 伊藤引理 若变量x遵循伊藤过程 则变量x和t的函数G将遵循如下过程 6 8 由于 6 9 根据伊藤引理 衍生证券的价格G应遵循如下过程 6 10 11 六 证券价格自然对数变化过程 令 由于代入式 6 10 6 11 证券价格对数G遵循普通布朗运动 且 这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消除变为简单的服从
6、正态分布的方程 同时也说明之前的假设是要成立的 证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布 证券价格的对数变化量服从正态分布 从而知晓st的分布函数 12 例6 2设A股票价格的当前值为50元 预期收益率为每年18 波动率为每年20 该股票价格遵循几何布朗运动 且该股票在6个月内不付红利 请问该股票6个月后的价格ST的概率分布 例6 3请问在例6 2中 A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少 13 第二节布莱克 舒尔斯期权定价模型 一 布莱克 舒尔斯微分方程 一 布莱克 舒尔斯微分方程的推导我们假设证券价格S遵循几何布朗运动 则 6 12 14 假设f是依赖于S的衍生证券的价格
7、则 6 13 6 14 为了消除 我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 令代表该投资组合的价值 则 6 15 由于股价未来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的 因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲组合消除这个随机过程 15 在时间后 6 16 将式 6 12 和 6 14 代入式 6 16 可得 6 17 在没有套利机会的条件下 把式 6 15 和 6 17 代入上式得 无风险套利情形 1 可以复制的两个投资组合未来损益相同 但成本不同 2 一个投资组合在任何条件下损益不低于另一个投资组合 即随即占优 3 投资组合构建成本为零 但任何条件下损益不为零
8、 表示这样的对冲组合取得的价值不应该比无风险利率下的时间价值大或者小 应该与存放银行取得的收益是一致的 必须至少获得无风险利率 既然已经不包含随机过程 则结果是无风险确定的 应该不存在瞬时无风险套利 这里体现了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去取得确定的报酬 且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的 即无套利 通过这样的思想得出期权定价 根据有效市场理论 无风险组合只能获得无风险利率 16 布莱克 舒尔斯微分分程 化简为 6 18 这就是著名的布莱克 舒尔斯微分分程 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价 方程的衍生品价格的解为f s t 表示满足此方程的任何解都是
9、满足某种衍生品的不会导致套利机会的价格 若不满足此方程的衍生品价格f s t 也是一种价格 但这样的价格会导致无风险套利机会 若解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解 但后面用了概率论推导方法 17 B S公式小结 证券变化量满足伊藤随机过程 基于该证券的衍生品价格满足伊藤引理 建立起衍生品价格的随机微分方程 构建该证券与其衍生品的适当组合消除随机过程 且该组合要满足瞬时无套利 得到满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和时间t的偏微分方程 18 二 风险中性定价原理 B s微分方程中不包含股票收益率 说明衍生工具自身的市场价值并不随人们主观的风险偏好有关 因此可在任何风险偏好下
10、求解该方程 但只有风险中性条件下才会有任何证券的期望收益率与无风险利率一致 不过多也不过低奢求 其他偏好过多或者过保守 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克 舒尔斯微分方程而作出的人为假定 但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况 也适用于投资者风险的所有情况 19 例子 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是11元 要么是9元 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10 5元的该股票欧式看涨期权的价值 该看涨期权的价值应为0 31元 20 二 布莱克 舒尔斯期权定价公式 在风险中性的条件下 欧式看涨期权到期时 T时刻 的期望值为 其现值为
11、6 19 对数股票价格的分布为 6 20 对式 6 19 求解 6 21 看涨期权价用c 看跌用p表示 根据边界条件带入公式 用条件概率公式求 本质是对期权在未来的某一段时间内变为实值的可能性进行定价 21 风险中性下的期权价格 1 边界条件表示远期获利最大值也就是到期市价 执行价2 那么现在的衍生品价值应该等于最大值的期望值 因为并不确定未来怎样 只能看期望值 按无风险利率贴现 因为是风险中性偏好 3 远期证券市价st的期望值按风险中性者要求就是现在的市价s按无风险利率给予的到期本利就可以了 4 最终的式子同样表示 衍生品现在的价格就等于证券现在的市价 到期执行价的贴现值 在现在的时间点去比
12、较 5 这只是期权在现在看来其内在价值的体现 并没有包含时间价值 时间价值是体现在随机性质里的 Bs定价模型的推导和最终结果就包含了随机过程是包含时间价值的 22 Bs模型的概率论推导方法 23 Bs模型的概率论推导方法 关于推导过程 1 这里用的是概率论法 直接解6 18偏微分方程也可以得到结果 期权的价格是到期日行权后价值的期望值 因为现在并不知道st是多少 并且认为未来这段时间st的对数呈正态分布 也即虽然未来是个随机过程 但是我们认为是能用概率分布描述的随机过程 这样便可以用密度函数求解这个期望值了 2 现在定的期权价格上限是标的资产价格s 下限是s exp T t X 而bs模型的最
13、终结果是虽然s和x的折现值都被乘以一个小于1的数值 但是可以数学证明这个c值是大于下限值的 3 c值大于下限值是因为该模型包含了期望价值的两个分量 即内在价值s exp T t X和时间价值 时间价值是因为未来的时间间隔里标的资产会产生随机波动 而bs模型已经考虑在内了 4 这里的波动率是指标的资产未来的波动率 而这个显然是不知道的 只能通过预估得到 24 其中 我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义 首先 N d2 是在风险中性世界中ST大于X的概率 或者说式欧式看涨期权被执行的概率 e r T t XN d2 是X的风险中性期望值的现值 SN d1 e r T t STN d1 是ST
14、的风险中性期望值的现值 补充 C 期权初始合理价格 是指不存在无风险套利的欧式期权价格 X 期权执行价格S 所交易金融资产现价 现在的时刻t的市价 如股票现价 T 期权有效期 期权有效天数与365的比值 r 连续复利计无风险利率 股票连续复利 对数 回报率的年度波动率 标准差 N d1 N d2 正态分布变量的累积概率分布函数 即这个变量小于d1或d2的概率 25 其次 是复制交易策略中股票的数量 SN d1 就是股票的市值 e r T t XN d2 则是复制交易策略中负债的价值 最后 从金融工程的角度来看 欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 Asset or notingcallo
15、ption 多头和现金或无价值看涨期权 cash or nothingoption 空头 SN d1 是资产或无价值看涨期权的价值 e r T t XN d2 是X份现金或无价值看涨期权空头的价值 26 在标的资产无收益情况下 由于C c 因此式 6 23 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系 可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 6 22 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系 所以要用蒙特卡罗模拟 二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出 27 三 有收益资产的期权定价公式 一 有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收
16、益的现值为I时 我们只要用 S I 代替式 6 21 和 6 22 中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q 单位为年 时 我们只要将代替式 6 21 和 6 22 中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格 28 对于欧式期货期权 其定价公式为 6 23 6 24 其中 29 例6 4 假设当前英镑的即期汇率为 1 5000 美国的无风险连续复利年利率为7 英国的无风险连续复利年利率为10 英镑汇率遵循几何布朗运动 其波动率为10 求6个月期协议价格为 1 5000的英镑欧式看涨期权价格 3 05美分 30 二 有收益资产美式期权的定价 1 美式看涨期权当标的资产有收益时 美式看涨期权就有提前执行的可能 我们可用一种近似处理的方法 该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理 若不合理 则按欧式期权处理 若在tn提前执行有可能是合理的 则要分别计算在T时刻和tn时刻到期的欧式看涨期权的价格 然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格 31 例6 5 假设一种1年期的美式股票看涨期权 标的股票在5个月和11个月后
