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1、第100课 对称和共线问题基本方法:1. 对称问题是解析几何中的一个重要问题,主要类型有:(1)点关于点成中心对称问题(即线段中点坐标公式的应用问题)设点,对称中心为,则点关于的对称点为.(2)点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知,对称轴即为两对称点连线的垂直平分线,利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程,就可以求出对称点的坐标,一般情形如下:设点关于直线的对称点为,则有,可求得.特殊情形:点关于直线对称的点为;点关于直线对称的点为;若对称轴的斜率为,则可把直接代入对称轴方程求得对称点的坐标.2. 三点共线问题解题策略一般有以下几种:斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意
2、两点的直线的斜率相等证明三点共线;距离法:计算出任意两点间的距离,若某两点间的距离等于另外两个距离之和,则这三点共线;向量法:利用向量共线定理证明三点共线;直线方程法:求出过其中两点的直线方程,再证明第三点也在该直线上;点到直线的距离法:求出过其中某两点的直线方程,计算出第三点到该直线的距离,若距离为0,则三点共线.面积法:通过计算求出以这三点为三角形的面积,若面积为0,则三点共线.在处理三点共线问题时,离不开解析几何的重要思想:“设而不求思想”.一、典型例题1. 已知椭圆,为椭圆上一点,若是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为且直线与交于点,为坐标原点,求证:三点共线. 2. 已知椭圆:,为
3、椭圆左顶点,设椭圆上不与点重合的两点,关于原点对称,直线,分别交轴于,两点. 求证:以为直径的圆被轴截得的弦长是定值. 二、课堂练习1. 抛物线,已知斜率为的直线交轴于点,且与曲线相切于点,点在曲线上,且直线轴,关于点的对称点为,判断点是否共线,并说明理由.2. 已知椭圆,上顶点为为坐标原点,设线段的中点为,经过的直线与椭圆交于两点,若点关于轴的对称点在直线上,求直线方程.三、课后作业1. 已知抛物线的焦点为,直线过点,直线与抛物线相交于两点,点关于轴的对称点为. 证明:三点共线.2. 已知椭圆.的顶点都在椭圆上,其中关于原点对称,试问能否为正三角形?并说明理由.3. 已知椭圆,右顶点为,设直线:上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点. 若的面积为,求直线的方程.3