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1、第1页 共 20页 2021 年新高考数学模拟试卷 30 一 选择题 共8 小题 满分40 分 每小题5 分 1 5 分 已知集合A x x2 x 6 0 B x y lg x 2 则 A B A 2 3 B 2 3 C 2 2 D 2 5 分 若 2020 3 1 则 z的虚部是 A iB 2iC 1D 1 3 5 分 已知向量 均为非零向量 2 则 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 4 5 分 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健 步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意 思是 有一个人走378 里 第一天
2、健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的 一半 走了6 天后到达目的地 请问第一天走了 A 192 里B 68 里C 48 里D 220 里 5 5 分 在 ABC 中 角 A B C 所对边分别为a b c 若 acosAsinC 2b a sinAcosC 则角 C 的大小为 A 6 B 4 C 3 D 2 6 5 分 过抛物线y2 2px p 0 的焦点 F 作倾斜角为60 的直线l 交抛物线于A B 两点 且 AF BF 则 的值为 A 3B 2C 3 2 D 4 3 7 5 分 第 28 届金鸡百花电影节将于11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办 近日首批 影展片单揭
3、晓 南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜 五 部优秀作品将在电影节进行展映 若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位 则 春潮 与 抵达之谜 至少有一部被选中的概率为 A 1 2 B 3 5 C 7 10 D 4 5 8 5 分 已知四棱锥P ABCD 的体积是 36 3 底面 ABCD 是正方形 PAB 是等边三角 形 平面PAB 平面 ABCD 则四棱锥P ABCD 外接球体积为 第2页 共 20页 A 28 21 B 99 2 11 C 63 2 7 D 108 3 二 多选题 共4 小题 满分20 分 每小题5 分 9 5 分 悦跑圈 是一款基于社交型的跑步应用
4、用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况 某人根据2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 单位 十公里 的数据绘制了下面的折线图 根据该折线图 下列结论正确的是 A 月跑步里程逐月增加 B 月跑步里程最大值出现在9 月 C 月跑步里程的中位数为8 月份对应的里程数 D 1 月至 5 月的月跑步里程相对于6 月至 11 月波动性更小 变化比较平稳 10 5 分 若函数f x 满足 1 对于定义域上的任意x 恒有 f x f x 0 2 对于定义域上的任意x1 x2当 x1 x2时 恒有 f x1 f x2 则称函数f x 为 理 想函数 给出下列四个函数中 1 f
5、x x3 2 1 2 1 2 0 2 0 则被称为 理想函数 的有 A B C D 11 5 分 在平面直角坐标系xOy 中 如图放置的边长为2 的正方形 ABCD 沿 x 轴滚动 无 滑动滚动 点 D 恰好经过坐标原点 设顶点B x y 的轨迹方程是y f x 则对函 数 y f x 的判断正确的是 第3页 共 20页 A 函数 y f x 是奇函数 B 对任意的x R 都有 f x 4 f x 4 C 函数 y f x 的值域为 0 2 2 D 函数 y f x 在区间 6 8 上单调递增 12 5 分 如图 正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB BC 的中点将 ADE CDF BE
6、F 分别沿 DE DF EF 折起 使 A B C 重合于点P 则下列结论正确的是 A PD EF B 平面 PDE 平面 PDF C 二面角 P EF D 的余弦值为 1 3 D 点 P 在平面 DEF 上的投影是 DEF 的外心 三 填空题 共4 小题 满分20 分 每小题5 分 13 5 分 定义在 R 上的偶函数f x 对任意 x R 均有 f x 4 f x 成立 当 x 0 2 时 f x 2x 1 则直线 y 4 与 y f x 的图象交点中最近两点的距离为 14 5 分 若 3 1 2 展开式中的各项系数之和为1024 则 n 常数项为 15 5 分 已知双曲线C 2 2 2
7、2 1 a 0 b 0 的左右焦点为F1 F2 过点 F 的直 线 l 与双曲线C 的左支交于A B 两点 BF1F2的面积是 AF1F2面积的三倍 F1AF2 90 则双曲线C 的离心率为 16 5 分 已知函数f x x 2cos 2 数列 an 中 an f n f n 1 n N 则数列 an 的前 100项之和 S100 四 解答题 共6 小题 满分70 分 第4页 共 20页 17 10 分 在各项均不相等的等差数列 an 中 a1 1 且 a1 a2 a5成等比数列 数列 bn 的前 n 项和 Sn 2n 1 2 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设 cn 2 log2bn
8、 求数列 c n 的前 n 项和 Tn 18 12 分 在 b2 2ac a 2 c2 acosB bsinA sinB cosB 2 这三个条件中任 选一个 补充在下面的问题中 并解决该问题 已知 ABC 的内角 A B C 的对边分别 为 a b c A 3 b 2 求 ABC 的面积 19 12 分 为了解甲 乙两个快递公司的工作状况 假设同一个公司快递员的工作状况基 本相同 现从甲 乙两公司各随机抽取一名快递员 并从两人某月 30 天 的快递件数 记录结果中随机抽取10 天的数据 整理如下 甲公司员工A 410 390 330 360 320 400 330 340 370 350 乙
9、公司员工B 360 420 370 360 420 340 440 370 360 420 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下 甲公司规定每件0 65 元 乙公司规定每天350 件以内 含 350 件 的部分每件0 6 元 超 出 350 件的部分每件0 9 元 1 根据题中数据写出甲公司员工A 在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数 2 为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况 从这10 天中随机抽取1 天 他所得 的劳务费记为 单位 元 求 的分布列和数学期望 3 根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费 20 12 分 已知 ABC 的各边长为3 点 D E
10、分别是 AB BC 上的点 且满足 1 2 D 为 AB 的三等分点 靠近点A 如图 1 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使二面角A1 DE B 的平面角为 90 连接A1B A1C 如图 2 1 求证 A1D 平面 BCED 2 在线段 BC 上是否存在点P 使直线PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 若存在 第5页 共 20页 求出 PB 的长 若不存在 请说明理由 21 12 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆 2 2 2 2 1 0 的离心率为 1 2 点 3 3 2 在椭圆 C 上 R x0 y0 是椭圆 C 上的一点 从原点 O 向圆 0 2 0 2 12 7 作
11、两条切线 分别交椭圆于P Q 1 求椭圆 C 的方程 2 若直线 OP OQ 的斜率存在 并记为k1 k2 求 k1 k2的值 3 试问 OP 2 OQ 2是否为定值 若是 求出该值 若不是 说明理由 22 12 分 设函数f x lnx px 1 其中 p 为常数 求函数f x 的极值点 当p 0 时 若对任意的x 0 恒有在f x 0 求 p 的取值范围 求证 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 第6页 共 20页 2021 年新高考数学模拟试卷 30 参考答案与试题解析 一 选择题 共8 小题 满分40 分 每小题5 分 1 5 分 已知集合A x x 2 x
12、 6 0 B x y lg x 2 则 A B A 2 3 B 2 3 C 2 2 D 解答 解 A x 2 x 3 B x x 2 A B 2 3 故选 A 2 5 分 若 2020 3 1 则 z的虚部是 A iB 2iC 1D 1 解答 解 2020 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 2 z 的虚部是1 故选 D 3 5 分 已知向量 均为非零向量 2 则 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 解答 解 由 2 得 2 2 0 1 2 2 1 2 2 cos 1 2 2 1 2 又 0 则 的夹角为 3 故选 B 4 5 分 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题
13、 三百七十八里关 初行健 步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意 思是 有一个人走378 里 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的 一半 走了6 天后到达目的地 请问第一天走了 第7页 共 20页 A 192 里B 68 里C 48 里D 220 里 解答 解 由题意得 每天行走的路程成等比数列 an 且公比为 1 2 6 天后共走了378 里 S6 1 1 1 2 6 1 1 2 378 解得 a1 192 第一天走了192 里 故选 A 5 5 分 在 ABC 中 角 A B C 所对边分别为a b c 若 acosAsinC 2b a
14、 sinAcosC 则角 C 的大小为 A 6 B 4 C 3 D 2 解答 解 由 acosAsinC 2b a sinAcosC 得 asinB 2bsinAcosC 由正弦定理得 ab 2abcosC cosC 1 2 又 C 0 C 3 故选 C 6 5 分 过抛物线y2 2px p 0 的焦点 F 作倾斜角为60 的直线l 交抛物线于A B 两点 且 AF BF 则 的值为 A 3B 2C 3 2 D 4 3 解答 解 抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 2 0 直线 l 倾斜角为60 直线 l 的方程为 y 0 3 x 2 设直线与抛物线的交点为A x1 y1 B x2 y2
15、 AF x1 2 BF x2 2 联立方程组 消去y 并整理 得12x2 20px 3p2 0 解得 x1 3 2 x2 6 AF x1 2 2p BF x2 2 2 3 第8页 共 20页 AF BF 3 1 的值为 3 故选 A 7 5 分 第 28 届金鸡百花电影节将于11 月 19 日至 23 日在福建省厦门市举办 近日首批 影展片单揭晓 南方车站的聚会 春江水暖 第一次的离别 春潮 抵达之谜 五 部优秀作品将在电影节进行展映 若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位 则 春潮 与 抵达之谜 至少有一部被选中的概率为 A 1 2 B 3 5 C 7 10 D 4 5 解答 解 从这
16、五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为 南方车站的聚会 春江水暖 南方车站的聚会 第一次的离别 南方车 站的聚会 春潮 南方车站的聚会 抵达之谜 春江水暖 第一次的离别 春江水暖 春 潮 春江水暖 抵达之谜 第一次的离别 春潮 第一次的离别 抵达之谜 春潮 抵达之谜 共 10 种情况 其中 春潮 与 抵达之谜 至少有一部被选中的有7种 故 春潮 与 抵达之谜 至少有一部被选中的概率为p 7 10 故选 C 8 5 分 已知四棱锥P ABCD 的体积是 36 3 底面 ABCD 是正方形 PAB 是等边三角 形 平面PAB 平面 ABCD 则四棱锥P ABCD 外接球体积为 A 28 21 B 99 2 11 C 63 2 7 D 108 3 解答 解 四棱锥P ABCD 的体积是 36 3 底面 ABCD 是正方形 如图所示 第9页 共 20页 则 设正方形ABCD 的边长为2x 在等边三角形P AB 中 过 P点作 PE AB 由于平面PAB 平面 ABCD 所以 PE 平面 ABCD 由于 PAB 是等边三角形 解得PE 3 所以 1 3 2 2 3 36 3 解得 x
