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1、初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容: 圆的复习课二. 重点、难点: 教学重点: 1. 圆的基本性质。 2. 直线和圆的位置关系。 3. 圆与圆的位置关系。 4. 弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积的计算。 教学难点: 1. 圆的基本性质。 2. 直线和圆的位置关系。 教学内容: 1. 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。它既是以圆心为对称中心的中心对称图形,又是以每一条经过圆心的直线为对称轴的轴对称图形。 2. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 3. 垂径定理。 4. 在同圆或等圆中,有如下的等价关系: 等弦等弧相等弦的弦心距相等等圆心角 5. 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心
2、角的一半。 6. 直径所对的圆周角是直角,90o的圆周角所对的弦是直径。 7. 设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则有: (1)dr直线l与圆相离 (2)d=r直线l与圆相切 (3)d0),圆心距为d。 (1)dR+r两圆外离 (2)d=R+r两圆外切 (3)RrdR+r两圆相交 (4)d=Rr两圆内切 (5)dRr两圆内含 14. 【典型例题】 例1. 如图,内接于O,于D,AO是半径。 求证:。 证明一:延长AO交O于E,故AE是O的直径,则ABE=90o 证明二:过O作于F,交O于E 所以E是弧AB的中点,且AFO=90o 又因为E是弧AB的中点 所以O=C 所以BAO=DAC
3、证明三:如图,延长AD交O于E,延长AO交O于F 连结EF 因AF是O的直径,所以E=90o 故弧BF=弧EC,所以BAF=DAC 例2. 如图,AB是O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,CAB=30o。求证:直线DC是O的切线。 证明:连结OC、CB 例3. 如图,BC是O的直径,P为CB延长线上的点,PA切O于A,若BC=2PB,。求:弧AC的弧长及阴影部分的面积。 解:连结OA、AB 例4. 如图,MN是O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AN的中点,P是半径ON上一动点,当MN=2时。求:AP+BP的最小值。 解:过点A作弦于D,交O于C 连BC交MN于P,连A
4、P,则PA+PB最短 连结OB、OC 点A是半圆上的三等分点,点B是弧AN的中点 例5. 如图,已知在中,AC=14,BC=,点O在AC上移动,O始终和AB相切,切点为D,O与AC交于E、F两点(点F可在AC的延长线上) (1)设O的半径为r,在满足题意的点O中,是否存在某一位置,使得O与AB、BF都相切?若不存在,请说明理由;若存在,求出此时r的长。 (2)设四边形BDOC的面积为S,求S与r的函数关系式及r的取值范围。 解:(1)答:存在某一位置,使O与AB、BF都相切 此时,BD=BF (2)过点B作 同理,只要四边形BDOC存在,总成立 当D与B重合时,(F在AC延长线上), 此时四边
5、形BDOC已不存在 例6. 如图,AB=AC。直线l与以AB为直径的圆相切于B。点E是圆上异于A、B的任意一点。直线AE与l相交于点D。 (1)如果AD=10,BD=6,求DE的长; (2)连结CE,过E作CE的垂线交直线AB于点F。当点E在什么位置时,相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上(写出结果,不要求证明)? 无论点E如何变化,总有BD=BF。请你就上述三种情况任选一种说明理由。 解:(1) (2)设M是上半圆的中点,当E在弧BM上时,F在直径AB上;E在弧AM上时,F在BA的延长线上;当E在下半圆上时,F在AB的延长线上。 连结BE 根据AC=AB,得BD=B
6、F 例7. 已知:如图,在中,BAC的平分线AD交的外接圆O于点D,交BC于点G。 (1)连结CD,若AG=4,DG=2,求CD的长; (2)过点D作EF/BC,分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证:EF与O相切。 解:(1)连结BD (2)连结OD,由(1)知弧BD=弧DC 例8. 如图甲,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动。设运动时间为t(s)。 (1)t为何值时,四边形APQD为矩形? (2)如图乙,
7、如果P和Q的半径都是2cm,那么t为何值时,P和Q外切? 解:(1)根据题意,当AP=DQ时,由AP/DQ,得四边形APQD为矩形 此时 (2)当PQ=4时,P与Q外切 如果点P在AB上运动,只有当四边形PADQ为矩形时,PQ=4,由(1)得t=4(s)。 如果点P在BC上运动,此时,则, 如果点P在CD上运动,且点P在点Q的右侧,可得CQ=5,当时,P与Q外切,此时,解得。 如果点P在CD上运动,且点P在点Q的左侧,当时,P与Q外切,此时,解得。 时,P与Q外切 例9. 如图,已知点I是的平分线的交点,射线AI交的外接圆于D,交BC边于E。 (1)试判断线段ID和BD的大小关系; (2)设外
8、接圆半径R=3,ID=2,AD=x,DE=y。当点A在优弧BC上运动时,求函数y与自变量x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围。 解:(1) 例10. 如图,过半径为6cm的O外一点P引圆的切线PA、PB,连结PO交O于F,过F作O的切线交PA、PB分别于D、E,如果PO=10cm,。 (1)求的周长。 (2)求DOE的度数。 解:(1)连结OA,则 (2)由切线长性质知,AOD=DOF,EOF=EOB 例11. 已知:如图,直角坐标系内的矩形ABCD,顶点A的坐标为(0,3),BC=2AB,P为AD边上一动点(与点A、D不重合),以点P为圆心作P与对角线AC相切于点F,过P、F作直线L,
9、交BC边于点E,当点P运动到点位置时,直线L恰好经过点B,此时直线的解析式是。 (1)求BC、的长; (2)设AP=m,梯形PECD的面积为S,求S与m之间的函数关系式,写出自变量m的取值范围; (3)以点E为圆心作E与x轴相切。 探究并猜想:P与E有哪几种位置关系,并求出AP相应的取值范围; 当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3:5时,则P和E的位置关系如何?并说明理由。 解:(1) (3)在中 当P和E相切时,此时 ,且直线l把矩形ABCD分成两部分面积比3:5 综上所述,当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3:5时,则P与E的位置关系是外离或相交【模拟试题】(答题时间
10、:25分钟) 1. 已知直径为4的O中,弦,则O点到AB的距离为_。 2. 已知O中,弦AB/CD,若O半径长为5,且AB=8,CD=6,则AB与CD之间的距离等于_。 3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为6和8,则它的外接圆的半径长为_,内切圆的半径长为_。 4. 已知一个扇形的半径为10,圆心角为,若用它作一个圆锥的侧面,则圆锥的高长为_。 5. 已知,圆的直径为13cm,圆心到直线l的距离为6cm,那么直线l和这个圆的公共点的个数是_。 6. 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,=30o,求CD的长。 7. 如图,AB是O的直径,点P在BA的延长线上,弦CDAB,垂足为E,=。 (1)求证:PC是O的切线。