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1、初三数学圆知识精讲一. 本周教学内容： 圆的复习课二. 重点、难点： 教学重点： 1. 圆的基本性质。 2. 直线和圆的位置关系。 3. 圆与圆的位置关系。 4. 弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积的计算。 教学难点： 1. 圆的基本性质。 2. 直线和圆的位置关系。 教学内容： 1. 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。它既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条经过圆心的直线为对称轴的轴对称图形。 2. 不在同一直线上的三点确定一个圆。 3. 垂径定理。 4. 在同圆或等圆中，有如下的等价关系： 等弦等弧相等弦的弦心距相等等圆心角 5. 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心
2、角的一半。 6. 直径所对的圆周角是直角，90o的圆周角所对的弦是直径。 7. 设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： （1）dr直线l与圆相离 （2）d=r直线l与圆相切 （3）d0），圆心距为d。 （1）dR+r两圆外离 （2）d=R+r两圆外切 （3）RrdR+r两圆相交 （4）d=Rr两圆内切 （5）dRr两圆内含 14. 【典型例题】 例1. 如图，内接于O，于D，AO是半径。 求证：。 证明一：延长AO交O于E，故AE是O的直径，则ABE=90o 证明二：过O作于F，交O于E 所以E是弧AB的中点，且AFO=90o 又因为E是弧AB的中点 所以O=C 所以BAO=DAC
3、证明三：如图，延长AD交O于E，延长AO交O于F 连结EF 因AF是O的直径，所以E=90o 故弧BF=弧EC，所以BAF=DAC 例2. 如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，CAB=30o。求证：直线DC是O的切线。 证明：连结OC、CB 例3. 如图，BC是O的直径，P为CB延长线上的点，PA切O于A，若BC=2PB，。求：弧AC的弧长及阴影部分的面积。 解：连结OA、AB 例4. 如图，MN是O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是半径ON上一动点，当MN=2时。求：AP+BP的最小值。 解：过点A作弦于D，交O于C 连BC交MN于P，连A
4、P，则PA+PB最短 连结OB、OC 点A是半圆上的三等分点，点B是弧AN的中点 例5. 如图，已知在中，AC=14，BC=，点O在AC上移动，O始终和AB相切，切点为D，O与AC交于E、F两点（点F可在AC的延长线上） （1）设O的半径为r，在满足题意的点O中，是否存在某一位置，使得O与AB、BF都相切？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时r的长。 （2）设四边形BDOC的面积为S，求S与r的函数关系式及r的取值范围。 解：（1）答：存在某一位置，使O与AB、BF都相切 此时，BD=BF （2）过点B作 同理，只要四边形BDOC存在，总成立 当D与B重合时，（F在AC延长线上）， 此时四边
5、形BDOC已不存在 例6. 如图，AB=AC。直线l与以AB为直径的圆相切于B。点E是圆上异于A、B的任意一点。直线AE与l相交于点D。 （1）如果AD=10，BD=6，求DE的长； （2）连结CE，过E作CE的垂线交直线AB于点F。当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）？ 无论点E如何变化，总有BD=BF。请你就上述三种情况任选一种说明理由。 解：（1） （2）设M是上半圆的中点，当E在弧BM上时，F在直径AB上；E在弧AM上时，F在BA的延长线上；当E在下半圆上时，F在AB的延长线上。 连结BE 根据AC=AB，得BD=B
6、F 例7. 已知：如图，在中，BAC的平分线AD交的外接圆O于点D，交BC于点G。 （1）连结CD，若AG=4，DG=2，求CD的长； （2）过点D作EF/BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F。求证：EF与O相切。 解：（1）连结BD （2）连结OD，由（1）知弧BD=弧DC 例8. 如图甲，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s）。 （1）t为何值时，四边形APQD为矩形？ （2）如图乙，
7、如果P和Q的半径都是2cm，那么t为何值时，P和Q外切？ 解：（1）根据题意，当AP=DQ时，由AP/DQ，得四边形APQD为矩形 此时 （2）当PQ=4时，P与Q外切 如果点P在AB上运动，只有当四边形PADQ为矩形时，PQ=4，由（1）得t=4（s）。 如果点P在BC上运动，此时，则， 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，可得CQ=5，当时，P与Q外切，此时，解得。 如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，当时，P与Q外切，此时，解得。 时，P与Q外切 例9. 如图，已知点I是的平分线的交点，射线AI交的外接圆于D，交BC边于E。 （1）试判断线段ID和BD的大小关系； （2）设外
8、接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y。当点A在优弧BC上运动时，求函数y与自变量x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。 解：（1） 例10. 如图，过半径为6cm的O外一点P引圆的切线PA、PB，连结PO交O于F，过F作O的切线交PA、PB分别于D、E，如果PO=10cm，。 （1）求的周长。 （2）求DOE的度数。 解：（1）连结OA，则 （2）由切线长性质知，AOD=DOF，EOF=EOB 例11. 已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，
9、交BC边于点E，当点P运动到点位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是。 （1）求BC、的长； （2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围； （3）以点E为圆心作E与x轴相切。 探究并猜想：P与E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围； 当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则P和E的位置关系如何？并说明理由。 解：（1） （3）在中 当P和E相切时，此时 ，且直线l把矩形ABCD分成两部分面积比3：5 综上所述，当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3：5时，则P与E的位置关系是外离或相交【模拟试题】（答题时间
10、：25分钟） 1. 已知直径为4的O中，弦，则O点到AB的距离为_。 2. 已知O中，弦AB/CD，若O半径长为5，且AB=8，CD=6，则AB与CD之间的距离等于_。 3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则它的外接圆的半径长为_，内切圆的半径长为_。 4. 已知一个扇形的半径为10，圆心角为，若用它作一个圆锥的侧面，则圆锥的高长为_。 5. 已知，圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，那么直线l和这个圆的公共点的个数是_。 6. 如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，=30o，求CD的长。 7. 如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB，垂足为E，=。 （1）求证：PC是O的切线。
