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1、演练方阵第3讲 平面向量基本定理及线性运算平面向量的实际背景及基本概念类型一:向量的基本概念考点说明：向量的概念是考察重点，包括向量的定义、向量的模、零向量、平行向量、单位向量、相等向量和相反向量等，通常以选择题的形式出现，需要学生充分理解向量的基本概念【易】1把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A同一个圆上 B同一个点上C同一条直线上 D以上都有可能【答案】B【解析】由相等向量的定义知B正确【易】2在下列判断中，正确的是()长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线A B C D【答案】D【解析】由
2、定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确显然，、正确，不正确，所以答案是D【易】3把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A一条线段 B一段圆弧 C两个孤立的点 D一个圆【答案】D【解析】图形是一个以始点为圆心，以1为半径的圆【中】4给出下列命题：若|a|b|，则ab；若ab，则ab；若ab，则ab其中正确命题的序号是_【答案】【解析】对于，两个向量的模相等，但方向却不一定相同，故错误对于，ab，则a与b同向，ab，故正确对于，|a|与|b|不一定相等，a与b的方向也不一定相同，故ab不一定成立，故错误【中】5若a
3、为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：|a|b|； ab； |a|0；|b|1；b，其中正确的是()A B C D 【答案】D【解析】|a|与|b|大小关系不能确定，故 错，a与其单位向量平行 正确a0，|a|0，正确|b|1，故 错由定义知 正确【中】6已知a、b为两个向量，给出以下4个条件：|a|b|；a与b的方向相反； |a|0或 |b|0； a与b都是单位向量由条件_一定可以得到a与b平行【答案】 【解析】长度相等或都是单位向量不能得到ab，但方向相反或其中一个为零向量可以说明ab.故填 【难】7下列命题正确的是()A向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B向量a与b不共
4、线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D向量a与b不共线，则a与b都是非零向量【答案】D【解析】当b0时，A不对；如图，ABC的中位线EF，a，c，b，显然满足B的条件，但ac，故B不对；当与的基线平行或重合时，与共线，但显然前者A、B、C、D四点不共线，故C错；假若a与b中存在一个向量为0，则一定有ab，与a、b不共线条件矛盾，D正确类型二:向量的作法及向量的模考点说明：向量的模是考察重点【易】1.在直角坐标系中画出下列向量（1）|a|2，a的方向与x轴正方向的夹角为60，与y轴正方向的夹角为30；（2）|a|4，a的方向与x轴正方向的夹角为
5、30，与y轴正方向的夹角为120；（3）|a|4，a的方向与x轴正方向的夹角为135，与y轴正方向的夹角为135【答案】见解析【解析】（1）如图所示(2)如图所示(3)如图所示【易】2某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60 m到达C点已知|120 m，求的方向和A、B的距离【答案】见解析【解析】依题意，在RtABC中，BAC30，|60(m)所以的方向是A点的东偏北30，|60【易】3.如图所示，如果小正方形的边长为1，则|_，|_，|_【答案】3；2【解析】|3，|，|2【中】4如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量
6、，则与平行且长度为2的向量个数是_【答案】8【解析】图形中共含有4个边长为2的正方形，其对角线长度为2，在其中一个正方形中，与平行且长度为2的向量有2个，所以共8个类型三:向量在平面几何中的应用考点说明：平面向量结合几何的应用考察点较为广泛，包含相等向量、平行向量、向量的模等概念，需要学生有一定的几何基础【易】1如图所示，在ABCD中，等于()A B C D【答案】C【解析】，0，故选A【易】2如图，在菱形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()A与 B与 C与 D与【答案】B【解析】因为向量只与大小和方向有关，与起点位置无关，从而起点可以在任意位置该题只需考虑长度相等且方向相同即可，
7、显然只有B符合要求【易】3四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是()A平行四边形B梯形C平行四边形或梯形D不是平行四边形也不是梯形【答案】C【解析】因为与为共线向量，所以，但|与|可能相等，也可能不相等【易】4若|，且，则四边形ABCD的形状为()A正方形 B菱形 C矩形 D等腰梯形【答案】B【解析】四边形ABCD中，ABCD，且|，四边形ABCD为平行四边形，又|，四边形ABCD为菱形【中】5若D、E、F分别是ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为_【答案】、【解析】三角形的中位线平行且等于底边的一半，【中】6等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是_【答案】|
8、【解析】由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量与满足|【中】7如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A| B与共线 C D与共线【答案】C【解析】当ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C【难】8如图所示，在菱形ABCD中，BAD120，则下列说法中错误的是()A图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)B图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)C的长度恰为长度的倍D与不共线【答案】D【解析】易知ABC和ACD均为正三角形对于A，向量；对于B，|；对于C，BAD是顶角为120的等腰三角形，则|；对于D，成立，故
9、D是错误的平面向量的线性运算类型一:向量加减法的运算考点说明：平面向量的加减法运算是向量运算的基础，要牢记三角形法则的运算口诀，对于加法运算有“首尾相接，从头到尾”，对于减法运算有“共起点，指被减”【易】1向量()()等于()A B C D【答案】C【解析】原式0【易】2若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()A BC D【答案】B【解析】，故选B【易】3下列各式中不能化简为的是()A()B()()CD【答案】D【解析】A中，B中，C中，故选D【易】4化简下列各式（1）；（2）；（3）【答案】（1）0；（2）0；（3）【解析】（1）()()0（2）()0（3）()【中】5已知下列
10、各式： AMB； ACBD； OOBC.其中结果为零向量的个数为()A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】AMB0，ACBDABDC0，OOBCOB，故选C【中】6已知下列各式：AMB；ACBD；OOBC.其中结果为零向量的个数为()A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】AMB0，ACBDABDC0，OOBCOB，故选C【难】7给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中所有正确命题的序号为_【答案】 【解析】若OOO，则OOO，故正确；若OOO，则OOODO，故正确；若OOO，则OEO，故正确；若OOO，则OOO，即DEM，故正确类型二:利用向量运算的几何意义解题考点说明：利用向量的几何意义解题是易考点，涉及向量之间和与差的关系时，应借助图形，恰当的运用三角形法则或平行四边形法则进行求解【易】1在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是()A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形【答案】D 【解析】在四边形ABCD中，又，四边形ABCD是平行四边形【易】2在ABC中，a，b，则等于()Aab Bab Cab Dba【答案】B【解析】如图，ba，故选B【易】3如图，已知梯形ABCD，ADBC，则等于()A B C D【答案】B【解析】【易】4如图，正六边形ABCDEF中，BCE()A0 BB CA DC【答案】D【解析】在正六边形ABCDEF中，BD，BCECDEC
