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1、第7讲 等比数列前n项和公式1.了解等比数列前n项和公式的推导过程;2.掌握等比数列前n项和公式;并会运用等比数列的前n项和公式；3.提高学生类比化归、数形结合的能力，熟悉等比数列的性质、公式与方程的联系.1.等比数列前n项和公式的推导和应用；2.等比数列前n项和与等差数列性质的综合运用；3.等比数列前n项和与函数的应用；4.等差数列在等比数列前n项和中的应用.等比数列前n项和公式等比数列前n项和公式的推导：公式的推导方法一：当时，由得， ,当时， 或 ,当q=1时，.公式的推导方法二：当时，由等比数列的定义得，根据等比的性质，有即 .当时，或 ；当q=1时，.公式的推导方法三： 当时，或 ，
2、当q=1时，.例1.已知数列为公比q1的等比数列，求数列的第n项及前n项和.【答案】；【解析】依题意可得，解得，所以，所以.练习1.设数列是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项和为（ ）A.63 B.64 C.127 D.128【答案】C【解析】设等比数列的通项公式为，公比为正，则q0，因为，则，即q=2，数列的前n项和为，故本题的正确答案为C.练习2.设等差数列的前n项和为，且，（1）求通项；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知，解得，所以.（2）由（1）可得，所以，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此.例2.已知在等比数
3、列中，则，由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为数列中，此数列的偶数项即，组成的新数列的通项公式为，是首项为6公比为9的等比数列，根据等比数列求和公式得，故本题的正确答案为D.练习1.数列满足，且则数列的前10项和为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列满足，且，当n=1时，.由可得，所以为等比数列，首项，公比，通项公式，,故本题的正确答案为D.练习2.已知数列为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求的前n项和.【答案】；【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，求得d=2，则，.根据（1）可得，则，求
4、得，则.例3.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】，故本题的正确答案为C.练习1.设为正项等比数列的前n项和，且，则（ ）A.3 B.7 C. D.3或7【答案】C【解析】因为，所以，所以，解得，又因为 正项等比数列，所以，故本题的正确答案为B.练习2.设为正项等比数列的前n项和，且，则=（ ）A.11 B.5 C.-8 D.-11【答案】D【解析】设的公比为q，则，解得，所以，故本题的正确答案为D.例4.在等比数列中，公比q1，且，（1） 求和q的值；（2） 求的前6项和.【答案】（1），（2）63【解析】（1）有已知可得，解得或，因为q1，所以
5、，所以，（2）由（1）可得.练习1.设是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知，则=（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】正数组成的等比数列，则q0，且，所以，又因为，即解得或不符合题意，舍去，则，所以，所以，故本题的正确答案为B.练习2.已知公差大于零的等差数列满足：，（1） 求数列的通项公式；（2） 记，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由公差d0及，解得，所以所以通项；（2） 由（1）有，所以是等比数列，首项，公比q=2，所以的前n项和.熟练掌握等比数列前n项和公式及等比数列性质的灵活应用等差数列与等比数列前n项和的综合应用（1）等比中有等差，等差中有等比；（
6、2）等差数列+等比数列 分组求和.例5.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列（1） 求的通项公式；（2） 设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为d，又，可得，由，成等比数列得，即，解得d=1或d=0（舍），所以.（2）由，可得，所以，因为，所以数列是首项为128，公比为2的等比数列，所以数列的前n项和公式为.练习1.已知数列满足：，且是与的等比中项求数列的通项公式以及前n项和；若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得：数列是等差数列且公差d=1，由是与的等比中项，所以，即，解得，所以，（2），所以.例6.已知等差数列满足，等比数列满足
7、，公比q=3（1）求，；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1），（2） 【解析】（1）设数列的公差为d，则有，解得，所以，（2）由（1）可得，所以化简得，即练习1.等差数列中，为其前n项和，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和的表达式.【答案】（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，又，即，则，解得，所以（2），所以，即.掌握等差与等比综合出现的题型及求和技巧.等比数列前n项和性质（1）等比数列的前n项和；（2）间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：，成等比数列；（注：当 且n为偶数时，：，不是等比数列）. （3）若等比数列的项数为2n，则q；若项数为2
8、n+1，则=q.例7.已知等比数列的前20项和是21，前30和为49，则前10项和是（ ）A.7 B.9 C.63 D.7或63【答案】D【解析】设，分别是等比数列的前10项和，前20项和，前30项和，所以，成等比数列，所以，解得为7或63，故本题的正确答案为D.练习1.设为正项等比数列的前n项和，若，则【答案】【解析】设,，则，,成等比数列，所以,解得x=7，所以.练习2.已知一个等比数列的前7项和是48，前14和为60，则前21项和是（ ）A.180 B.108 C.75 D.63【答案】D【解析】设，分别是等比数列的前7项和，前14项和，前21项和，所以，成等比数列，所以，解得为63，故
9、本题的正确答案为D.例8.已知数列的前n项和，那么下列结论正确的是（ ）A.当k为任意实数时，为等比数列 B.当k=-1时，为等比数列C.当k=0时，为等比数列 D.不可能是等比数列【答案】B【解析】法一：由题意，若使是等比数列，则，则q=3，所以，解得k=-1.所以当k=-1时，为等比数列，故本题的正确答案为B.法二：由等比数列前n项和性质可得，等比数列前n项和的函数表示为，对照题意得A=1，-A=k，所以k=-1，所以当k=-1时，为等比数列，故本题的正确答案为B.练习1.已知等比数列的前n项和，则a=【答案】-3【解析】法一：由题意，若使是等比数列，则，则q=3，因为，所以，即，解得a=-3.法二：由等比数列前n项和性质可得，等比数列前n项和的函数表示为，由题意可得，原式可化简为，所以，-A=1，解得A=-3.掌握并会灵活应运等比数列前n项和性质在等比数列前n项和中的应用.1.；2.等比数列的前n项和；3.间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：，成等比数列；4.若等比数列的项数为2n，则q；若项数为2n+1，则=q.
