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1、第13讲 必修5模块复习类型一 解三角形考点说明：正弦定理和余弦定理，是重点内容，其综合应用是考查重点例1. 在ABC中，若b=2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是（）A0A30 B0A45 C0A90 D30A60【答案】B【解析】在ABC中，A为锐角，由余弦定理可得 4=8+c24ccosA，即 c24ccosA+4=0 有解，判别式=32cos2A160，cosA，0A45，故选 B例2.若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则等于（）A B C D【答案】C【解析】由2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sin
2、BsinAcosA=3sinAsinB，由于sinA0，sinB0，可得cosA=，又c=2b，可得a2=b2+c22bccosA=b2+4b22b2b=2b2，则=故选C例3.在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积（）A3 B C D3【答案】C【解析】c2=（ab）2+6，c2=a22ab+b2+6，即a2+b2c2=2ab6，C=，cos=，解得ab=6，则三角形的面积S=absinC=，故选C例4.如图，在ABC中，已知点D在边AB上，AD=3DB，cosA=，cosACB=，BC=13（1）求cosB的值；（2）求CD的长【
3、答案】（1）在ABC中，cosA=，A（0，），所以sinA=同理可得，sinACB=所以cosB=cos（A+ACB）=cos（A+ACB）=sinAsinACBcosAcosACB=；（2）在ABC中，由正弦定理得，AB=sinACB=又AD=3DB，所以DB=在BCD中，由余弦定理得，CD=【解析】（1）在ABC中，求出sinA=，sinACB=可得cosB=cos（A+ACB）=sinAsinACBcosAcosB；（2）在ABC中，由正弦定理得，AB=sinACB在BCD中，由余弦定理得，CD=例5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，B
4、C边上中线AM=，求ABC的面积【答案】（1）由正弦定理，得，化简得cosA=，A=；（2）B=，C=AB=，可知ABC为等腰三角形，在AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC22ACMCcos120，即7=，解得b=2，ABC的面积S=b2sinC=【解析】该题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键例6.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，求DEF的余弦值【答案】如图作DMAC
5、交BE于N，交CF于MDF=（m），DE=（m），EF=（m）在DEF中，由余弦定理的变形公式，得cosDEF=【解析】本题主要考查了解三角形问题的实际应用综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用类型二 数列考点说明：等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、通项公式常见求法、前n项和常见求法是考查重点例7.等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9的值是（）A14 B15 C16 D17【答案】C【解析】依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9=（3a9a11）=（a9+a7+a11a11）=（a9+a7）=16故选C例8
6、.已知等比数列an中，a3=2，a4a6=16，则的值为（）A2 B4 C8 D16【答案】B【解析】设等比数列an的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，=，故选B例9.记等差数列an的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn【答案】设等差数列an的公差为d，由题意得，解得或，sn=n（3n1）或sn=2n（5n）【解析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1（a3+1），结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和sn例10.设等差数列an满足a3=5
7、，a10=9（1）求an的通项公式；（2）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值【答案】（1）由an=a1+（n1）d及a3=5，a10=9得a1+9d=9，a1+2d=5，解得d=2，a1=9，数列an的通项公式为an=112n（2）由（1）知Sn=na1+d=10nn2因为Sn=（n5）2+25所以n=5时，Sn取得最大值【解析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项（2）由上面得到的首项和公差，写出数列an的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值例11.等比数列an的各项均为正数，且
8、2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【答案】（1）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（2） bn=+=（1+2+n）=，故=2（），则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为【解析】（1）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等
9、比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（2）把（1）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和例12.已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN*），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4（1）求an和bn的通项公式；（2）求数列a2nbn的前n项和（nN
10、*）【答案】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q6=0又因为q0，解得q=2所以，由b3=a42a1，可得3da1=8由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n2所以，an的通项公式为an=3n2，bn的通项公式为（2）解：设数列a2nbn的前n项和为Tn，由a2n=6n2，有，上述两式相减，得=得所以，数列a2nbn的前n项和为（3n4）2n+2+16【解析】（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q通过b2+b3=12，求出q，得到然后求出公差d，推出an=3n2
11、（2）设数列a2nbn的前n项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列a2nbn的前n项和即可类型三 不等式考点说明：一元二次不等式、二元一次不等式与简单线性规划、基本不等式都是考查重点例13.若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A3 B1 C D3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线xy+2m=0的下方，即2+2m0，则m1，则A（2，0），D（2m，0），由，解得，即B（1m，1+m），由，解得，即C（，）则三角形ABC的面积SABC=SADBSADC =|AD|yByC|=（2+
12、2m）（1+m）=（1+m）（1+m）=，即（1+m）=，即（1+m）2=4，解得m=1或m=3（舍），故选B例14.若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A0 B3 C4 D5【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）设z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=12+2=4即目标函数z=2x+y的最大值为4故选C例15.设0ab，则下列不等式中正确的是（）A BC D【答案】B【解析】令a=1，b=4，则=2，=，124，故选B例1
13、6.如果不等式（m+1）x2+2mx+m+10对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）Am1B CDm1或【答案】C【解析】当m+1=0时，不等式即2x0，显然不满足对任意实数x都成立当m0时，由不等式（m+1）x2+2mx+m+10对任意实数x都成立，可得m+10，且判别式0即 ，解得 m，故选C例17. 已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A3 B2 C2 D3【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1
