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1、第4讲 等差数列的概念、性质1.理解等差数列的基本概念，掌握等差中项的计算方法，学会等差数列的证明方法。2.掌握等差数列的通项公式，并能够解决一些简单问题。3.掌握等差数列的基本性质，并熟练运用等差数列性质计算关于求解基本量的综合题。1.理解等差中项，运用等差中项是难点。2.理解等差数列与一次函数的关系是难点。3.熟练运用等差数列性质，求解数列基本量及数列通项公式是重点。等差数列的概念1、等差数列的定义： （1）文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。 （2）符号语言：在数
2、列 an 中，如果 an+1-an=d，nN 或 an-an-1=d，n2，nN 成立，则称数列 an 为等差数列，常数d称为等差数列的公差。 （3）递推关系：an+1-an=d，nN 或 an-an-1=d，（n2，nN）.注意： “从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项； “每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”； d 是等差数列的公差，即 d=an+1-annN 或 d=an-an-1（n2，nN），d 可以为零，当 d=0 时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列。2、等差中项：由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做
3、 a与b 的等差中项，如数 2，4，6是等差数列，4叫做2与6的等差中项。3、等差数列的证明：（1） 定义法：利用 an+1-an=d常数 或 an-an-1=d常数 （n2）等价于数列 an 是等差数列；（2） 等差中项法：利用2an=an-1+an+1（n2）等价于数列 an 是等差数列。例1. 判断下列数列是否为等差数列 ：（1）2 , 2 , 2 , 2 , 2；（2）cos0，cos1，cos2，cos3，cos4；（3）3m，3m+a，3m+2a，3m+3a，其中a为常数；（4）a-1，a+1，a+3.【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）是【解析】（1）2-2=2-2=2
4、-2=2-2=0， 该数列是等差数列.（2）cos1-cos0cos3-cos2， 该数列不是等差数列.（3）3m+a-3m=3m+2a-3m+a=3m+3a-3m+2a=a，a为常数， 该数列是等差数列.（4）a+1-a-1=a+3-a+1=2， 该数列是等差数列.练习1. 判断下列数列是否为等差数列：（1）2 , 4, 6, 8，2n-1，2n；（2）1 ,1 ,2 ,3 ,4 ，n.【答案】（1）是；（2）不是【解析】（1） 4 -2=6 - 4=8 - 6= =2n - 2（n-1）=2， 该数列是等差数列；（2） 1-12-1, 该数列不是等差数列. 在等差数列的定义中，需注意（1）
5、从第2项起，包括了数列中任意相邻两项，而无遗漏.（2） “差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2-a1=5-1=4，是常数；a3-a2=7-3=4，是常数.差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心.例2. 在-1与-7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成等差数列，求此数列.【答案】-1 ,1 ,3 ,5 ,7【解析】解：设此数列为an，且公差为d ，由题意得a1=-1，a5=7，,7=-1+（5-1）d，d=2，所求的数列为 -1 ,1 ,3 ,5 ,7 .练习1.若实数 a，b，c 成等差数列，c
6、，a，b 也成等差数列，则 b-a=（ ）A.4 B.2 C.-2 D.0【答案】D【解析】由题意得 2b=a+c2a=b+c ，两式相减得 2（b-a）=a-b，3（b-a）=0，b-a=0. 在等差数列an中，由定义有an+1-an=an-an-1n2，nN*，即an=an+1+an-12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.例3.已知数列 an 的通项公式为 an=an+ba，bR且a，b为常数，求证：数列 an 为等差数列.【答案】见解析【解析】an+1-an=an+1+b-an+b=a，a 为常数，故数列 an 为等
7、差数列.练习1.已知数列an 的通项公式为 an=4-2n ，求证：数列 an 为等差数列.【答案】见解析【解析】证明：an=4-2n，an+1=4-2n+1=2-2n，an+1-an=2-2n-4-2n=-2，数列 an 为等差数列.除了定义法，在实际做题中也要熟悉并运用等差中项法证明等差数列，即2an=an-1+an+1（n2）等差数列的通项公式1、 等差数列的通项公式：等差数列的通项公式为 an=a1+n-1d ，其中 a1 为首项，d 为公差。2、等差数列通项公式的变形应用：an=am+n-md 或 d=an-amn-m（m，nN*，mn）3、等差数列与一次函数的关系： 由等差数列的通
8、项公式 an=a1+n-1d ，可得 an=dn+（a1-d），当 d0 时，an 是关于自变量n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此从图像上看，表示数列 an 的各点均匀分布在一条直线上，当 d=0时，an=a1，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于 x 轴的直线上的均匀分布的一系列孤立的点。总之，等差数列的图像是直线 y=dx+a1-d 上均匀排开的一系列孤立的点。例4.在等差数列 an 中，（1）已知 a1=6，d=3，求 a8；（2）已知 a4=10，a10=4，求 a7和d；（3）已知 a2=12，an=-20，d=-2，求n；（4）已知 a7=12，d=-2，求 a1
9、.【答案】（1）27 （2）7 （3）18 （4）252 【解析】（1）a1=6，d=3，an=6+3n-1=3n+3. a8=38+3=27.（2）a4=10，a10=4，d=a10-a410-4，an=a4+n-4-1=-n+14. a7=-7+14=7.（3）a2=12，d=-2，a1=a2-d=12-2=14.an=14-2n-1=16-2n=-20，n=18.（4）a7=a1+6d=a1-12=12 ，a1=252 .练习1.在等差数列 an 中，a3=5，a7=13，求其通项公式.【答案】2n-1【解析】设数列 an 的公差为d，由题意得，a3=a1+2d=5a7=a1+6d=13
10、 ，解得 a1=1d=2 ，则an=a1+n-1d=2n-1练习2.已知等差数列an 中，a15=33，a61=217，试判断153是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？【答案】是，第45项【解析】设数列an 的公差为 d ，则an=a1+n-1d，a15=33，a61=217，33=a1+14d217=a1+60d ，解得a1=-23d=4，an=-23+4n-1=4n-27，153是数列an中的项，是第45项. 等差数列的通项公式：（1）确定a1和d 是确定通项公式的一般方法.（2）由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求解另一个量，即知三求一.（3）通项公式可变形为 an
11、=dn+a1-d，当d0时，可把 an 看做自变量为 n 的一次函数.例5.已知数列an的通项公式为an=pn2+qn+r（p，q，rR，且p，q，r 为常数）.（1）当 p，q，r 满足什么条件时，数列an 是等差数列？（2）设bn=an+1-an，求证 bn 是等差数列.【答案】（1）p=0； （2）见解析【解析】（1）解：欲使 an 是等差数列，则an+1-an=pn+12+qn+1+r-pn2+qn+r=2pn+p+q 应是一个与n无关的常数，所以只有2p=0，即p=0时，数列an 是等差数列.（2）证明：bn=an+1-an=2pn+p+q，bn+1-bn=2pn+1+p+q-2pn
12、-p-q=2p 为常数，bn 是等差数列.练习1.已知等差数列 an 中，a3=11，a8=31，求a10.【答案】39【解析】（待定系数法）设an=an+b，由已知条件得3a+b=118a+b=31 ，解得 a=4b=-1 ，an=4n-1，a10=39. 若等差数列的公差d0，则通项公式为一次函数类型，若数列的通项公式为一次函数类型，则该数列为等差数列.等差数列的性质数列an为等差数列，公差为d，根据等差数列的定义及通项公式，可以推导等差数列的如下性质：（1）若 m+n=p+q m，n，p，qN* ，则 am+an=ap+aq.这一性质有如下推论：若 m+n=2k m，n，kN*，则 am
13、+an=2ak；若 an 为有穷等差数列，则与首尾两项等距离的两项之和都相等，且等于首尾两项之和，即 a1+an=a2+an-1= =ai+1+an-i= .（2）下标成等差数列且公差为 m 的项：ak，ak+m，ak+2m，k，mN* 组成公差为md的等差数列 . 如：a1，a3，a5，成等差数列，且公差为 2d 。（3）数列 an+b（，b为非零常数）是公差为 d 的等差数列.（4）若数列 bn 也是等差数列，则数列 anbn，kanbn (k为常数) 为等差数列.例6. 已知等差数列 an .（1）若 a2+a3+a25+a26 = 48，求 a14 ；（2）若 a2+a3+a4+a5=
14、34，a2a5=52， 求公差 d .【答案】（1）12 （2）3或 -3【解析】（1）a2+a26=a3+a25=2a14， a2+a3+a25+a26=4a14=48. 解得a14=12.（2） a2+a5=a3+a4， a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34. 解得 a2+a5=17. 又已知a2a5=52，联立解得a2=4，a5=13，或a2=13，a5=4，当a2=4，a5=13时，d=a5-a25-2 ；当a2=13，a5=4时，d=a5-a25-2=-3，d=3或-3.练习1.在等差数列 an 中，若 a3+a4+a5+a6+a7=25，则 a2+a8=_.【答案】10【解析
15、】因为 an 是等差数列，所以 a3+a7=a4+a6= a2+a8=2a5， a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25，即 a5=5，所以 a2+a8=2a5=10，故应填10.练习2. a15=10，a45=90，求a60.【答案】130【解析】 在等差数列an中，a15，a30，a45，a60 成等差数列，a30=a15+a452 = 10+902=50，a60=2a45-a30=290-50=130.等差数列常用的性质：（1）d=an-a1n-1=am-akm-km，n，kN*.（2）若m+n=p+q m，n，p，qN* ，则 am+an=ap+aq.（3）若 m+n=2k m，n，kN*，则 am+an=2ak.例7.已知等差数列 an 中，a1+a
