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1、大庆一中高二年级下学期第二次阶段考试文科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. A. B. C. D. 2. 在极坐标系中，曲线 是 A. 过极点的直线B. 半径为 的圆C. 关于极点对称的图形D. 关于极轴对称的图形3. 设 ，则 A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数4. 已知点 的极坐标是 ，则过点 且垂直极轴所在直线的直线方程是 A. B. C. D. 5. 可以将椭圆 变为圆 的伸缩变换是 A. B. C. D. 6. 在极坐标系中，直线 ： 与圆 ： 的位置关系为 A. 相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相
2、切 D. 相离7. 已知函数 ，若 ，则 A. B. C. D. 8. 过双曲线 的右焦点 作圆 的切线 （切点为 ），交 轴于点 ，若 为线段 的中点，则双曲线的离心率是 A. B. C. D. 9. 若直线 是曲线 的一条切线，则实数 A. B. C. D. 10. 将曲线 按照 变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为 A. ，B. ，C. ，D. ，11. 椭圆 的焦点在 轴上，一个顶点是抛物线 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共4小题；
3、共20分）13. 函数 的单调减区间为 .14. 在极坐标系中，点 到直线 的距离是 15. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 16. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 的导数 ，则不等式 的解集为 三、解答题（共6小题；共70分）17. 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 的极坐标方程为 ，分别为 与 轴， 轴的交点（1）写出 的直角坐标方程，并求 ， 的极坐标；（2）设 的中点为 ，求直线 的极坐标方程18. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 （1）求 ， 的值；（2）求 在 上的单调区间；（3）求 在 上的最大值19. 如图，将边长为 的等
4、边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器（1）若这个容器的底面边长为 ，容积为 ，写出 关于 的函数关系式并注明定义域；（2）求这个容器容积的最大值20. 在直角坐标系 中，圆 的方程为 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 的极坐标方程；（2）直线 与圆 交于点 ，求线段 的长21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于不同的两点 ，（1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围；（3）若直线 不过点 ，求证：直线 ， 的斜率互为相反数22. 已知函数 ，（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若在区间
5、上存在不相等的实数 ，使 成立，求 的取值范围；（3）若函数 有两个不同的极值点 ，求证：高二文科数学第二次阶段考试试题-答案第一部分1. D2. D3. B4. C5. D6. B7. A8. A9. B10. D11. D12. C第二部分13. 14. 15. 16. 第三部分17. （1） 由 ，得 从而 的直角坐标方程为 即 当 时，所以 ，当 时，所以 （2） 点的直角坐标为 ， 点的直角坐标为 所以 点的直角坐标为 ，则 点的极点标为 ，所以直线 的极坐标方程为 18. （1） 函数 的导数为 ，曲线 在点 处的切线斜率为 ，切点为 ，由切线方程为 ，可得 ，解得 ，（2） 函数
6、 的导数，由 ，可得 或 ；由 ，可得 则 的增区间为 ，；减区间为 （3） 由（）可得 的两极值点 ，又 ，故 在 上的最大值为 19. （1） 由正三棱柱的底面边长为 ，可得正三棱柱的高为 所以容积 ，即 （2） 由 ，可得 ，则 令 ，得 ；令 ，得 所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数所以当 时， 有最大值 ，即这个容器容积的最大值为 20. （1） 可化为 ，故其极坐标方程为 （2） 将 代入 ，得 ，所以 ，所以 21. （1） 设椭圆的方程为 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，解得，故椭圆方程为 （2） 将 代入 并整理得 ，解得 （3） 设直线 ， 的斜率分别为 和 ，只
7、要证明 ，设 ，则 ，所以直线 ， 的斜率互为相反数22. （1） 当 时，由 ，解得 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 （2） 依题意即求使函数 在 上不为单调函数的 的取值范围，设 ，则 ，因为 在 上为增函数，所以 ，即当 时，函数 在 上有且只有一个零点，设为 ，当 时，即 ， 为减函数；当 时，即 ， 为增函数，满足在 上不为单调函数（3） 因为函数 有两个不同的零点，即 有两 个不同的零点，即方程 的判别式 ，解得 由 ，解得 ，此时 ，随着 变化， 和 的变化情况如下：所以 是 的极大值点， 是 的极小值点，所以 是极大值， 是极小值因为 ，所以 ，所以 - 10 -
