《计算机数学基础电子教案 教学课件 作者 王信峰 6 5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机数学基础电子教案 教学课件 作者 王信峰 6 5（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 6 5矩阵的有关实验 6 5 1矩阵有关实验6 5 2线性方程组及其解 6 5 1矩阵有关实验 一 矩阵的Mathematica表示 在Mathematica意义下 m n矩阵可用m个长度为n的子表组成的二层表表示 例如 3 4矩阵 aa a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 同时将表赋值给aa Mathematica表示 用矩阵形式输出的命令是 MatrixForm aa 二 矩阵的基本运算 1 矩阵的加减 定义矩阵aa bb bb b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 aa
2、 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 aa bb结果为 a11 b11 a12 b12 a13 b13 a14 b14 a21 b21 a22 b22 a23 b23 a24 b24 a31 b31 a32 b32 a33 b33 a34 b34 两矩阵的相加正是它们各对应元素相加 2 矩阵的乘法 根据矩阵相乘的条件 可知上述的矩阵aa与矩阵bb不能按矩阵乘法相乘 定义矩阵cc 矩阵乘法用 表示 称这种乘法为点乘 cc c11 c12 c21 c22 c31 c32 c41 c42 用矩阵aa与矩阵cc作矩阵间的点乘aa cc 结果为
3、 a11c11 a12c21 a13c31 a14c41 a11c12 a12c22 a13c32 a14c42 a21c11 a22c21 a23c31 a24c41 a21c12 a22c22 a23c32 a24c42 a31c11 a32c21 a33c31 a34c41 a31c12 a32c22 a33c32 a34c42 有了上述命令 6 4 3节中的例16可由如下Mathematica程序实现 tt 1 0 1 1 0 5 1 1 5 0 1 alpha Pi 5 aa Cos alpha Sin alpha 0 Sin alpha Cos alpha 0 0 0 1 tt1
4、tt 1 1 tt 1 2 tt 2 1 tt 2 2 tt 3 1 tt 3 2 For i 0 i1 PlotRange 1 5 1 5 1 5 1 5 tt tt aa tt1 tt 1 1 tt 1 2 tt 2 1 tt 2 2 tt 3 1 tt 3 2 对于矩阵aa与矩阵bb 虽然不能按矩阵乘法相乘 但可以按数的普通乘法相乘 称为 乘 aa bb结果为 a11b11 a12b12 a13b13 a14b14 a21b21 a22b22 a23b23 a24b24 a31b31 a32b32 a33b33 a34b34 即为两矩阵各对应元素相乘的矩阵 3 矩阵的转置 用命令Tran
5、spose直接求得 输入 例如 求矩阵aa的转置 Transpose aa 结果为 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34 三 矩阵的初等变换 1 初等矩阵的生成 例17试生成一个四阶的初等矩阵E 2 4 E k 2 E k 2 4 先生成一个四阶单位矩阵 记为ee 解 ee IdentityMatrix 4 结果为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 按单位矩阵转变为初等矩阵的方式 用ee第二行的k倍加到第四行 即用ee第二行的k倍与第四行的和代替ee的第四行 可得到相应的初等矩阵 并将结果记为r1 r1 R
6、eplacePart ee k ee 2 ee 4 4 结果为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 k 0 1 同样 用ee的第二行的k倍代替ee的第二行可得到初等矩阵E k 2 记为r2 r2 ReplacePart ee k ee 2 2 结果为 1 0 0 0 0 k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 这样就得到了相应的初等矩阵 行与行的对换稍微复杂些 需连续进行两次的替代才能得到 即先将ee的第二行替代为ee的第四行 记为r3 r3 ReplacePart ee ee 4 2 结果为 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 注意此时ee并没
7、有改变 仍为四阶单位阵 且从输出也可以看到再用四阶单位阵 即ee 的第二行替代r3的第四行就可得到初等对换矩阵E 2 4 r4 ReplacePart r3 ee 2 4 结果为 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 用矩阵形式输出可以清楚地看到所要求的三个初等矩阵分别为r4 r2 r1 2 矩阵的初等变换 例18对于四阶矩阵A aij 4 4施行以下初等行变换 1 第二行的k倍 解 先定义所给的四阶矩阵 并赋值于aa aa a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 2 第二行的k倍
8、加到第四行 3 第二行与第四行对调 1 中初等行变换相当于矩阵aa左乘以前面例子中的初等矩阵E k 2 且前述已将E k 2 赋值于r2 可直接使用 r2 aa结果为 a11 a12 a13 a14 a21 k a22 k a23 k a24 k a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 即为所求结果 结果分别为 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a21 k a42 a22 k a43 a23 k a44 a24 k 同样可用命令 Print r1 aa r4 aa a11 a12 a13 a14 a4
9、1 a42 a43 a44 a31 a32 a33 a34 a21 a22 a23 a24 这正是 2 3 中相应的初等行变换后的结果 因此 用矩阵的乘法可以实现矩阵的初等变换 3 矩阵的行最简形 6 1 3节中矩阵通过初等行变换变为行最简形可以通过以下命令实现 A 1 1 1 2 2 3 1 2 2 1 3 6 3 6 0 9 m Length A n Length A 1 r 1 For j 1 j n j For i r i m i If A i j 0 A i A r A r A i i r A i A i j Do A k A k A k j A i k r 1 1 1 Do A k
10、 A k A k j A i k r 1 m 1 r 1 A MatrixForm 另外 矩阵化为其行最简形可以直接用一Mathematica命令RowReduce实现 例如求矩阵 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 用命令 RowReduce 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 即可求出矩阵的行简化阶梯形矩阵为 1 0 0 1 5 0 1 0 1 3 0 0 1 1 2 四 方阵的有关运算 1 方阵的行列式 求方阵的行列式 Mathematica命令为Det A 取一已知矩阵并赋予aa 解 aa 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 1 0
11、1 2 0 5 求矩阵的行列式 Det aa 例19求矩阵的行列式 得结果为 24 2 方阵的可逆 用Inverse命令可以求逆 格式为Inverse A 例20判断例19中方阵是否可逆 并求方阵的逆 要确定矩阵是否可逆 只要判断其行列式是否为零即可 解 由例19已知矩阵可逆 再求其逆有 Inverse 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 1 0 1 2 0 5 结果为 0 0416667 0 125 0 25 0 0833333 0 916667 2 25 0 5 0 166667 0 791667 2 625 0 75 0 416667 0 375 0 875 0 25 0 25 用I
12、nverse命令时 不判断是否可逆 而是直接求逆 若Mathematica给出错误信息 且执行结果仍为输入的表达式 此时可以断言 矩阵不可逆 若给出了一个矩阵 二层表 则可以断言矩阵可逆 且给出的矩阵 二层表 就是逆 由于命令RowReduce A 给出矩阵A的行最简形 而A可逆的充要条件是A的行最简形为单位矩阵 因而用这一命令也可以用来判断矩阵是否可逆 如执行下列命令 RowReduce 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 1 0 1 2 0 5 结果为 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 说明例4中矩阵可逆 6 5 2线性方程组及其解 1 求解方程组 求解方
13、程组 用命令Solve来完成 其命令形式为 Solve aa xx bb xx 例21用Solve命令求解线性方程组 解 定义这一线性方程组的系数矩阵为aa 未知向量为xx与右端常向量为bb 并解矩阵方程 aa xx bb有 aa 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 3 2 3 4 5 6 4 xx x1 x2 x3 x4 x5 bb 1 3 5 7 9 Solve aa xx bb xx 更简明一点的Solve aa xx bb 执行也得上述命令相同的结果 执行结果为 x1 x2 x3 29 x4 x5 2 方程组有解的判定 例22判别方程组
14、与 有唯一解 无解 还是有无穷多解 解 为了使用变量名x1 x2 先清除它们以前的定义 再直接用表的形式输入方程并求解 Clear x1 x2 Solve x1 x2 2x3 x4 5 2x1 3x2 x3 2x4 2 4x1 5x2 3x3 7 得结果 说明这一方程组无解 用Solve求解第二个方程组有 Solve 2x1 x2 x3 x4 2x5 2 x1 x2 2x3 x4 x5 4 x1 3x2 4x3 3x4 x5 8 得结果 x1 2 x3 x5 x2 2 x3 x4 说明方程组中的未知量x1与x2可分别用结果中所给出的式子来表示 即 这正是方程组通解的基本形式 或称为原来方程组的
15、同解方程组 由此易知方程组有无穷多解 3 带有参数的方程组 例23给定带有参数的线性方程组 确定 为何值时 方程组有解 无解 有无穷多解 解 方程组中参数无法从键盘输入 选用a代替 清除a的以前赋值 并用Reduce命令求解带有参数的线性方程组 注意应指明要以x1 x2 x3为未知量 Clear a Reduce a x1 x2 x3 1 x1 a x2 x3 a x1 x2 a x3 a 2 x1 x2 x3 结果为 x1 1 x2 x3 1 1 0 2 0 x1 x2 x3 由求出的解容易看出 当a 1时 方程组有解x1 1 x2 x3 当a1且a 2时 方程组有唯一解 其它情况 即当a 2时 方程组无解 总之 当a 1时方程组有无穷多解 当a 2时 方程组无解 当a1且a 2时 方程组有唯一解
