《2020高考数学课标二轮（天津专用）训练题：专题能力训练13 空间中的平行与垂直》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学课标二轮（天津专用）训练题：专题能力训练13 空间中的平行与垂直（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题能力训练专题能力训练 13 空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直 专题能力训练第专题能力训练第 32 页页 一 能力突破训练 1 如图 O 为正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心 则下列直线中与 B1O 垂 直的是 A A1DB AA1C A1D1D A1C1 答案 D 解析 易知 A1C1 平面 BB1D1D B1O 平面 BB1D1D A1C1 B1O 故选 D 2 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 的中点 沿 AE AF EF 把正方形折成一 个四面体 使 B C D 三点重合 重合后的点记为 P 点 P 在 AEF 内的射影为 O 则下
2、 列说法正确的是 A O 是 AEF 的垂心B O 是 AEF 的内心 C O 是 AEF 的外心D O 是 AEF 的重心 答案 A 解析 如图 易知 PA PE PF 两两垂直 PA 平面 PEF 从而 PA EF 而 PO 平面 AEF 则 PO EF EF 平面 PAO EF AO 同理可知 AE FO AF EO O 为 AEF 的垂心 3 是两个平面 m n 是两条直线 有下列四个命题 如果 m n m n 那么 如果 m n 那么 m n 如果 m 那么 m 如果 m n 那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 答案 解析 对于
3、若 m n m n 则 的位置关系无法确定 故错误 对于 因为 n 所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c 则 n c 因为 m 所以 m c 所以 m n 故 正确 对于 由两个平面平行的性质可知正确 对于 由线面所成 角的定义和等角定理可知其正确 故正确的命题有 4 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 E F 为 AA1 AB 的中点 点 M 是正方 形 ABB1A1内的动点 若 C1M 平面 CD1E 则点 M 的轨迹长度为 答案 2 解析 如图所示 取 A1B1的中点 H B1B 的中点 G 连接 GH C1H C1G EG HF 可得四边形 EGC1D1
4、是平行四边形 C1G D1E 同理可得 C1H CF C1H C1G C1 平面 C1GH 平面 CD1E 点 M 是正方形 ABB1A1内的动点 若 C1M 平面 CD1E 则点 M 在线段 GH 上 点 M 的轨迹长度 GH 故答案为 12 12 22 5 下列命题中正确的是 填上你认为正确的所有命题的序号 空间中三个平面 若 则 若 a b c 为三条两两异面的直线 则存在无数条直线与 a b c 都相交 若球 O 与棱长为 a 的正四面体各面都相切 则该球的表面积为 a2 6 在三棱锥 P ABC 中 若 PA BC PB AC 则 PC AB 答案 解析 中也可以 与 相交 作平面与
5、 a b c 都相交 中可得球的半径为 r a 中由 PA BC PB AC 得点 P 在底面 ABC 的射影为 ABC 的垂心 故 6 12 PC AB 6 2019 江苏 16 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分别为 BC AC 的中点 AB BC 求证 1 A1B1 平面 DEC1 2 BE C1E 证明 1 因为 D E 分别为 BC AC 的中点 所以 ED AB 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A1B1 所以 A1B1 ED 又因为 ED 平面 DEC1 A1B1 平面 DEC1 所以 A1B1 平面 DEC1 2 因为 AB BC E 为 AC 的中点
6、 所以 BE AC 因为三棱柱 ABC A1B1C1是直棱柱 所以 C1C 平面 ABC 又因为 BE 平面 ABC 所以 C1C BE 因为 C1C 平面 A1ACC1 AC 平面 A1ACC1 C1C AC C 所以 BE 平面 A1ACC1 因为 C1E 平面 A1ACC1 所以 BE C1E 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形 且与底面垂直 底面 ABCD 是 ABC 60 的菱形 M 为 PC 的中点 1 求证 PC AD 2 证明在 PB 上存在一点 Q 使得 A Q M D 四点共面 3 求点 D 到平面 PAM 的距离 1 证法一取 A
7、D 的中点 O 连接 OP OC AC 依题意可知 PAD ACD 均为正三角形 所以 OC AD OP AD 又 OC OP O OC 平面 POC OP 平面 POC 所以 AD 平面 POC 又 PC 平面 POC 所以 PC AD 证法二连接 AC 依题意可知 PAD ACD 均为正三角形 因为 M 为 PC 的中点 所以 AM PC DM PC 又 AM DM M AM 平面 AMD DM 平面 AMD 所以 PC 平面 AMD 因为 AD 平面 AMD 所以 PC AD 2 证明当点 Q 为棱 PB 的中点时 A Q M D 四点共面 证明如下 取棱 PB 的中点 Q 连接 QM
8、QA 因为 M 为 PC 的中点 所以 QM BC 在菱形 ABCD 中 AD BC 所以 QM AD 所以 A Q M D 四点共面 3 解点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离 由 1 可知 PO AD 又平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD PO 平 面 PAD 所以 PO 平面 ABCD 即 PO 为三棱锥 P ACD 的高 在 Rt POC 中 PO OC PC 36 在 PAC 中 PA AC 2 PC 边 PC 上的高 AM 6 2 2 10 2 所以 PAC 的面积 S PAC PC AM 1 2 1 2 6 10 2 15
9、2 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h 由 VD PAC VP ACD 得 S PAC h S ACD PO 1 3 1 3 因为 S ACD 22 所以 h 3 4 3 1 3 15 2 1 3 3 3 解得 h 2 15 5 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 2 15 5 8 如图 四边形 ABCD 为正方形 E F 分别为 AD BC 的中点 以 DF 为折痕把 DFC 折起 使点 C 到达点 P 的位置 且 PF BF 1 证明 平面 PEF 平面 ABFD 2 求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 1 证明由已知可得 BF PF BF EF 所以 BF 平面 PEF 又
10、 BF 平面 ABFD 所以平面 PEF 平面 ABFD 2 解作 PH EF 垂足为 H 由 1 得 PH 平面 ABFD 以 H 为坐标原点 的方向为 y 轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间直角 坐标系 H xyz 由 1 可得 DE PE 又 DP 2 DE 1 所以 PE 又 PF 1 EF 2 故 PE PF 3 可得 PH EH 3 2 3 2 则 H 0 0 0 P D 1 为平面 ABFD 的法向量 0 0 3 2 1 3 2 0 3 2 3 2 0 0 3 2 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 则 sin 3 4 3 3 4 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦
11、值为 3 4 二 思维提升训练 9 2019 山东潍坊一模 如图 在矩形 ABCD 中 M 为 BC 的中点 将 ABM 沿直线 AM 翻折成 AB1M 连接 B1D N 为 B1D 的中点 则在翻折过程中 下列说法正确的是 填序号 存在某个位置 使得 CN AB 翻折过程中 CN 的长是定值 若 AB BM 则 AM B1D 若 AB BM 1 则当三棱锥 B1 AMD 的体积最大时 三棱锥 B1 AMD 的外接球的表 面积是 4 答案 解析 对于 如图 1 取 AD 的中点 E 连接 EC 交 MD 于点 F 则 NE AB1 NF MB1 如果 CN AB1 由已知可得到 EN NF 又
12、 EN CN 且三线 NE NF NC 共面共点 不 可能 故 错 图 1 图 2 对于 如图 1 可得由 NEC MAB1 定值 NE AB1 定值 AM EC 定值 1 2 由余弦定理可得 NC2 NE2 EC2 2NE EC cos NEC 所以 NC 是定值 故 正确 对于 如图 2 取 AM 的中点 O 连接 B1O DO 若 AM B1D 易得 AM 平面 ODB1 即可得 OD AM 从而 AD MD 显然不成立 可得 不正确 对于 当平面 B1AM 平面 AMD 时 三棱锥 B1 AMD 的体积最大 易得 AD 的中点 H 就是三棱锥 B1 AMD 的外接球的球心 球半径为 1
13、 表面积是 4 故 正确 故答案为 10 如图 在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AD BC AD AB AB AD 2 BC 4 AA1 2 E 是 DD1的中点 F 是平面 B1C1E 与 2 直线 AA1的交点 1 证明 EF A1D1 BA1 平面 B1C1EF 2 求 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值 1 证明 因为 C1B1 A1D1 C1B1 平面 ADD1A1 所以 C1B1 平面 ADD1A1 因为平面 B1C1EF 平面 ADD1A1 EF 所以 C1B1 EF 所以 A1D1 EF 因为 BB1 平面 A1B1C1D1 所以 BB1 B1C1
14、 因为 B1C1 B1A1 所以 B1C1 平面 ABB1A1 所以 B1C1 BA1 在矩形 ABB1A1中 F 是 AA1的中点 即 tan A1B1F tan AA1B 2 2 即 A1B1F AA1B 故 BA1 B1F 又 B1F B1C1 B1 所以 BA1 平面 B1C1EF 2 解设 BA1与 B1F 的交点为 H 连接 C1H 如图 由 1 知 BA1 平面 B1C1EF 所以 BC1H 是 BC1与平面 B1C1EF 所成的角 在矩形 ABB1A1中 AB AA1 2 得 BH 2 4 6 在 Rt BHC1中 BC1 2 BH 5 4 6 得 sin BC1H 1 30
15、15 所以 BC1与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 30 15 11 如图 在长方形 ABCD 中 AB 2 BC 1 E 为 CD 的中点 F 为 AE 的中点 沿 AE 将 ADE 向上折起 在折起的图形中解答下列问题 1 在线段 AB 上是否存在一点 K 使 BC 平面 DFK 若存在 请证明你的结论 若不 存在 请说明理由 2 若平面 ADE 平面 ABCE 求证 平面 BDE 平面 ADE 1 解线段 AB 上存在一点 K 且当 AK AB 时 BC 平面 DFK 1 4 证明如下 设 H 为 AB 的中点 连接 EH 则 BC EH 又因为 AK AB F 为 AE 的中点
16、1 4 所以 KF EH 所以 KF BC 因为 KF 平面 DFK BC 平面 DFK 所以 BC 平面 DFK 2 证明因为 F 为 AE 的中点 DA DE 1 所以 DF AE 因为平面 ADE 平面 ABCE 所以 DF 平面 ABCE 因为 BE 平面 ABCE 所以 DF BE 又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点 AB 2 BC 1 所以在折起后的图形中 AE BE 2 从而 AE2 BE2 4 AB2 所以 AE BE 因为 AE DF F 所以 BE 平面 ADE 因为 BE 平面 BDE 所以平面 BDE 平面 ADE 12 已知正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AA1 点 D 为 AC 的中点 点 E 在线段 3 AA1上 1 当 AE EA1 1 2 时 求证 DE BC1 2 是否存在点 E 使三棱锥 C1 BDE 的体积恰为三棱柱 ABC A1B1C1体积的 若存在 求 1 3 AE 的长 若不存在 请说明理由 1 证明因为三棱柱 ABC A1B1C1为正三棱柱 所以 ABC 是正三角形 因为 D 是 AC 的中点 所以 BD AC 又平
