《2020数学（文）二轮教师用书：第3部分 策略3 活用4招巧解压轴解答题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮教师用书：第3部分 策略3 活用4招巧解压轴解答题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、两类压轴大题是导数和圆锥曲线 难度大 综合性强 取得满分不容易 但 要得到尽可能多的分数还是有方法可行的 高考是选拔性的考试 同时又是一场 智者的竞争 真正的高考高手是坦然的 他们懂得有舍才有得的真正道理 面对 高考大题 特别是压轴题 哪些应该勇于割舍 哪些应努力争取 本讲教你四招 让你在考试中尽可能多得分 巧得分 第 1 招 缺步解答 化繁为简 能解多少算多少 如果遇到一个很困难的问题 确实啃不动 一个聪明的解题策略是 将它们 分解为一系列的步骤 或者是一个个小问题 先解决问题的一部分 能解决多少 就解决多少 能演算几步就写几步 尚未成功不等于失败 特别是那些解题层次 明显的题目 或者是已经
2、程序化了的方法 每进行一步得分点的演算都可以得分 最后结论虽然未得出 但分数却已过半 这叫 大题巧拿分 典例 1 12 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的两个焦点分别为 x2 a2 y2 b2 F1 1 0 F2 1 0 且椭圆 C 经过点 P 4 3 1 3 1 求椭圆 C 的离心率 2 设过点 A 0 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点 点 Q 是线段 MN 上的点 且 求点 Q 的轨迹方程 2 AQ 2 1 AM 2 1 AN 2 规范解答 1 由椭圆定义知 2a PF1 PF2 4 3 1 2 1 3 2 2 4 3 1 2 1 3 22 所以 a 2 分 2 又由已知
3、c 1 所以椭圆 C 的离心率 e 4 分 c a 1 2 2 2 2 由 1 知 椭圆 C 的方程为 y2 1 x2 2 设点 Q 的坐标为 x y 当直线 l 与 x 轴垂直时 直线 l 与椭圆 C 交于 0 1 0 1 两点 此时点 Q 的坐标为 6 分 0 2 3 5 5 当直线 l 与 x 轴不垂直时 设直线 l 的方程为 y kx 2 因为 M N 在直线 l 上 可设点 M N 的坐标分别为 x1 kx1 2 x2 kx2 2 则 AM 2 1 k2 x AN 2 1 k2 x 2 12 2 又 AQ 2 x2 y 2 2 1 k2 x2 由 得 2 AQ 2 1 AM 2 1
4、AN 2 2 1 k2 x2 1 1 k2 x2 1 1 1 k2 x2 2 即 8 分 2 x2 1 x2 1 1 x2 2 x1 x2 2 2x1x2 x2 1x2 2 将 y kx 2 代入 y2 1 中 得 x2 2 2k2 1 x2 8kx 6 0 由 8k 2 4 2k2 1 6 0 得 k2 3 2 由 可知 x1 x2 x1x2 8k 2k2 1 6 2k2 1 代入 中并化简 得 x2 9 分 18 10k2 3 因为点 Q 在直线 y kx 2 上 所以 k 代入 中并化简 y 2 x 得 10 y 2 2 3x2 18 10 分 由 及 k2 可知 0 x2 即 x 3
5、2 3 2 6 2 0 0 6 2 又满足 10 y 2 2 3x2 18 0 2 3 5 5 故 x 6 2 6 2 由题意 Q x y 在椭圆 C 内 所以 1 y 1 又由 10 y 2 2 18 3x2有 y 2 2 且 1 y 1 则 y 9 5 9 4 1 2 2 3 5 5 所以点 Q 的轨迹方程为 10 y 2 2 3x2 18 其中 x y 12 分 6 2 6 2 1 2 2 3 5 5 1 本题第 1 问为已知椭圆标准方程求椭圆的离心率问题 属于容易题 2 本题的难点在于第 2 问中确定轨迹方程及方程中各变量的取值范围 本题 有一定的难度 要想拿到全分很难 这就应该学会缺
6、步解答 首先 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时 若需要设直线方程 应考虑 直线的斜率是否存在 因此当直线 l 的斜率不存在时 求出点 Q 的坐标为 这是每位考生都应该能做到的 其次联立直线方程与椭圆方程并设 0 2 3 5 5 出 M N Q 的坐标 通过 得到 2 AQ 2 1 AM 2 1 AN 2 2 x2 1 x2 1 1 x2 2 然后由 x1 x2及 x1x2联想一元二次方程根与系数的关系 将问 x1 x2 2 2x1x2 x2 1x2 2 题解决到 x2 是完全可以做到的 到此已经可以得到 9 分 18 10k2 3 另外 考虑到点 Q 在直线 l 上 将点 Q 坐标代入所设直
7、线方程就能得到 10 y 2 2 3x2 18 到此便可以得到 10 分 到此不能继续往下解时 我们也已 经得到绝大部分分数了 第 2 招 跳步解答 左右逢源 会做哪问做哪问 解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的 这时 我们可以先承认中间结论 往后推 看能否得到结论 若题目有两问 第 1 问想不出来 可把第 1 问当作 已知 先做第 2 问 跳一步解答 典例 2 12 分 设函数 fn x xn bx c n N b c R 1 设 n 2 b 1 c 1 证明 fn x 在区间内存在唯一零点 1 2 1 2 设 n 2 若对任意 x1 x2 1 1 有 f2 x1 f2 x2 4 求 b 的
8、取值范围 3 在 1 的条件下 设 xn是 fn x 在内的零点 判断数列 1 2 1 x2 x3 xn 的增减性 规范解答 1 证明 b 1 c 1 n 2 时 fn x xn x 1 fnfn 1 1 0 1 2 1 2n 1 2 fn x 在内存在零点 2 分 1 2 1 又 当 x 时 f n x nxn 1 1 0 1 2 1 fn x 在上是单调递增的 1 2 1 fn x 在区间内存在唯一零点 4 分 1 2 1 2 当 n 2 时 f2 x x2 bx c 对任意 x1 x2 1 1 都有 f2 x1 f2 x2 4 等价于 f2 x 在 1 1 上的最大值与最小值之差 M 4
9、 据此分类讨论如下 5 分 当 1 即 b 2 时 b 2 M f2 1 f2 1 2 b 4 与题设矛盾 6 分 当 1 0 即 0 b 2 时 b 2 M f2 1 f2 2 4 恒成立 7 分 b 2 b 2 1 当 0 1 即 2 b 0 时 b 2 M f2 1 f2 2 4 恒成立 b 2 b 2 1 综上可知 2 b 2 8 分 故 b 的取值范围为 2 2 3 法一 设 xn是 fn x 在内的唯一零点 n 2 fn xn x xn 1 0 1 2 1 n n fn 1 xn 1 x xn 1 1 0 xn 1 n 1n 1 1 2 1 于是有 fn xn 0 fn 1 xn
10、1 x xn 1 1 x xn 1 1 fn xn 1 n 1n 1nn 1 又由 1 知 fn x 在上是单调递增的 1 2 1 故 xn xn 1 n 2 所以数列 x2 x3 xn 是递增数列 12 分 法二 设 xn是 fn x 在内的唯一零点 1 2 1 fn 1 xn fn 1 1 x xn 1 1n 1 1 1 n 1n x xn 1 x xn 1 0 n 1nn n 则 fn 1 x 的零点 xn 1在 xn 1 内 故 xn xn 1 n 2 所以数列 x2 x3 xn 是递增数列 12 分 第 1 问可利用函数的单调性及零点存在性定理较简单解决 但第 2 问较麻烦 很多同学
11、不会做或耽误较长时间 从而延误了第 3 问的解答 事实上 由题意可知 第 3 问的解答与第 2 问没有任何关系 但与第 1 问是相关的 且非常容易解答 因此我们可跨过第 2 问 先解决第 3 问 从而增大了本题的得分率 这是解决此 类题的上策之举 第 3 招 逆向解答 逆水行舟 往往也能解决问题 对一个问题正面思考发生思维受阻时 用逆向思维的方法去探求新的解题途 径 往往能得到突破性的进展 顺向推有困难就逆推 直接证有困难就反证 典例 3 12 分 已知 f x xln x g x x2 ax 3 1 求函数 f x 的最小值 2 对一切 x 0 2f x g x 恒成立 求实数 a 的取值范
12、围 3 证明 对一切 x 0 都有 ln x 成立 1 ex 2 ex 规范解答 1 f x ln x 1 1 分 当 x 时 f x 0 f x 单调递减 0 1 e 当 x 时 f x 0 f x 单调递增 1 e 所以 f x 的最小值为 f 3 分 1 e 1 e 2 2xln x x2 ax 3 则 a 2ln x x 3 x 设 h x 2ln x x x 0 3 x 则 h x 4 分 x 3 x 1 x2 当 x 0 1 时 h x 0 h x 单调递减 当 x 1 时 h x 0 h x 单调递增 5 分 所以 h x min h 1 4 因为对一切 x 0 2f x g x
13、 恒成立 所以 a h x min 4 即 a 的取值范围为 4 7 分 3 证明 问题等价于证明 xln x x 0 8 分 x ex 2 e 由 1 可知 f x xln x x 0 的最小值是 1 e 当且仅当 x 时取得 9 分 1 e 设 m x x 0 则 m x x ex 2 e 1 x ex 易知 m x max m 1 1 e 且两函数不会同时取得 1 e 所以有 xln x 11 分 x ex 2 e 从而对一切 x 0 都有 ln x 成立 12 分 1 ex 2 ex 解答本题第 3 问利用了逆向解答 把不等式 ln x 巧妙地转化为 xln 1 ex 2 ex x 不
14、等式左边是 f x 右边看作一个新的函数 m x 只需说明 x ex 2 e f x min m x max即可 第 4 招 退步解答 以退为进 列出相关内容也能得分 以退求进 是一个重要的解题策略 对于一个较一般的问题 如果你一时 不能解决所提出的问题 那么 你可以从一般退到特殊 从抽象退到具体 从复 杂退到简单 从整体退到部分 从参变量退到常量 从较强的结论退到较弱的结 论 总之 退到一个你能够解决的问题 通过对 特殊 的思考与解决 启发思 维 达到对 一般 的解决 典例 4 12 分 如图 O 为坐标原点 双曲线 C1 1 a1 0 b1 0 和椭圆 C2 1 a2 b2 0 均过点 x
15、2 a2 1 y2 b2 1 y2 a2 2 x2 b2 2 P 且以 C1的两个顶点和 C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正 2 3 3 1 方形 1 求 C1 C2的方程 2 是否存在直线 l 使得 l 与 C1交于 A B 两点 与 C2只有一个公共点 且 证明你的结论 OA OB AB 规范解答 1 设 C2的焦距为 2c2 由题意知 2c2 2 2a1 2 从而 a1 1 c2 1 因为点 P在双曲线 x2 1 上 2 3 3 1 y2 b2 1 所以 2 1 故 b 3 2 分 2 3 3 1 b2 12 1 由椭圆的定义知 2a2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3
16、 3 2 1 1 2 3 于是 a2 b a c 2 32 22 22 2 故 c1 c2的方程分别为 x2 1 1 4 分 y2 3 y2 3 x2 2 2 不存在符合题设条件的直线 5 分 若直线 l 垂直于 x 轴 因为 l 与 C2只有一个公共点 所以直线 l 的方程为 x 或 x 22 当 x 时 易知 A B 22323 所以 2 2 OA OB 2 AB 3 此时 OA OB AB 当 x 时 同理可知 7 分 2 OA OB AB 若直线 l 不垂直于 x 轴 设 l 的方程为 y kx m 由Error Error 得 3 k2 x2 2kmx m2 3 0 当 l 与 C1相交于 A B 两点时 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2是上述方 程的两个实根 从而 x1 x2 x1x2 2km 3 k2 m2 3 k2 3 于是 y1y2 k2x1x2 km x1 x2 m2 9 分 3k2 3m2 k2 3 由Error Error 得 2k2 3 x2 4kmx 2m2 6 0 因为直线 l 与 C2只有一个公共点 所以上述方程的判别式 16k2m2
