《2020数学（文）二轮教师用书：第3部分 策略1 3.分类与整合思想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020数学（文）二轮教师用书：第3部分 策略1 3.分类与整合思想（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解 或分割 成若干个基础性问题 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 对问题实行分类与整合 分类标准等于增加一个已知条件 实现了有效增设 将大问题 或综合性问题 分 解为小问题 或基础性问题 优化解题思路 降低问题难度 分类研究后还要对 讨论结果进行整合 应用 1 由概念 法则 公式引起的分类讨论 典例 1 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若对任意的正整数 n Sn 2 4Sn 3 恒成立 则 a1的值为 A 3 B 1 C 3 或 1 D 1 或 3 C 设等比数列 an 的公比为 q 当 q 1 时 Sn 2
2、n 2 a1 Sn na1 由 Sn 2 4Sn 3 得 n 2 a1 4na1 3 即 3a1n 2a1 3 若对任意的正整数 n 3a1n 2a1 3 恒成立 则 a1 0 且 2a1 3 0 矛盾 所以 q 1 所以 Sn Sn 2 a1 1 qn 1 q a1 1 qn 2 1 q 代入 Sn 2 4Sn 3 并化简得 a1 4 q2 qn 3 3a1 3q 若对任意的正整数 n 该等式恒成立 则有Error Error 解得Error Error 或Error Error 故 a1 1 或 3 本题易忽略对 q 1 的情况进行讨论 而直接利用 很容易造 Sn a1 1 qn 1 q
3、成漏解或增解 若本题是解答题 这种解答是不完备的 本题根据等比数列前 n 项 和公式的使用就要分 q 1 Sn na1和 q 1 进行讨论 Sn a1 1 qn 1 q 对点训练 1 2019 武汉模拟 已知集合 A x x 3 或 x 7 B x m 1 x 2m 1 若 B A 则实数 m 的取值范围是 2 6 当 B 时 有 m 1 2m 1 则 m 2 当 B 时 有Error Error 或Error Error 解得 m 6 综上可知 实数 m 的取值范围是 2 6 对点训练 2 一条直线过点 5 2 且在 x 轴 y 轴上截距相等 则这条直 线的方程为 A x y 7 0 B 2
4、x 5y 0 C x y 7 0 或 2x 5y 0 D x y 7 0 或 2y 5x 0 C 设该直线在 x 轴 y 轴上的截距均为 a 当 a 0 时 直线过原点 此时 直线方程为 y x 即 2x 5y 0 当 a 0 时 设直线方程为 1 则求得 2 5 x a y a a 7 直线方程为 x y 7 0 应用 2 由运算 性质引起的分类讨论 典例 2 已知 a b 0 且 a 1 b 1 若 logab 1 则 A a 1 b 1 0 B a 1 a b 0 C b 1 b a 0 D b 1 b a 0 D a b 0 且 a 1 b 1 当 a 1 即 a 1 0 时 不等式
5、logab 1 可化为 alogab a1 即 b a 1 a 1 a b 0 a 1 b 1 0 b 1 b a 0 当 0 a 1 时 即 a 1 0 时 不等式 logab 1 可化为 alogab a1 即 0 b a 1 a 1 a b 0 a 1 b 1 0 b 1 b a 0 综上可知 选 D 应用指数 对数函数时 往往对底数是否大于 1 进行讨论 这是由它的性质 决定的 在处理分段函数问题时 首先要确定自变量的取值属于哪个区间段 再选 取相应的对应法则 离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一 对点训练 3 已知函数 f x ax b a 0 a 1 的定义域和值域都是 1
6、0 则 a b 当 a 1 时 函数 f x ax b 在 1 0 上为增函数 由题意得Error Error 无 3 2 解 当 0 a 1 时 函数 f x ax b 在 1 0 上为减函数 由题意得Error Error 解得 Error Error 所以 a b 3 2 对点训练 4 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cos 2C 1 4 1 求 sin C 的值 2 当 a 2 2sin A sin C 时 求 b 及 c 的长 解 1 由 cos 2C 1 2sin2C 得 sin C 10 4 2 由 2sin A sin C 得 2a c 所以
7、c 4 由 sin C 得 cos C 10 4 6 4 下面分两种情况 当 cos C 时 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcos C 得 6 4 b2 b 12 0 解得 b 2 66 当 cos C 时 同理可得 b 6 46 综上 c 4 b 2或 b 66 应用 3 由图形位置或形状分类讨论 典例 3 设 F1 F2为椭圆 1 的两个焦点 P 为椭圆上一点 已 x2 9 y2 4 知 P F1 F2是一个直角三角形的三个顶点 且 PF1 PF2 求的值 PF1 PF2 解 若 PF2F1 90 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 又 PF1 PF2 6 F1F2 2 5 解
8、得 PF1 PF2 14 3 4 3 PF1 PF2 7 2 若 F1PF2 90 则 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 PF1 2 6 PF1 2 20 PF1 4 PF2 2 2 PF1 PF2 综上知 或 2 PF1 PF2 7 2 1 本题中直角顶点的位置不定 影响边长关系 需要按直角顶点不同的位置 进行讨论 2 破解此类题的关键点 确定特征 一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定 分类 根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类 得结论 将 所有关系 下的目标问题进行汇总处理 对点训练 5 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形 则它 的体积为 A B 4 8
9、3 33 C D 4或 2 3 93 8 3 3 D 当矩形长 宽分别为 6 和 4 时 体积 V 2 4 4 当长 宽 3 1 23 分别为 4 和 6 时 体积 V 6 4 3 2 3 3 1 2 8 3 3 对点训练 6 过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A B y2 2 两点 若 AB 4 则这样的直线 l 有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是 2 小于 4 所以当直线 l 与双曲线 左 右两支各有一个交点时 过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求 当直线 l 与实轴垂直时 有 3 1 解得 y 2 或 y
10、 2 所以此时直线 y2 2 AB 的长度是 4 即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为 4 的直线仅有一条 综上 可知有 3 条直线满足 AB 4 对点训练 7 已知变量 x y 满足的不等式组Error Error 表示的是一个直角三 角形围成的平面区域 则实数 k A B 1 2 1 2 C 0 D 0 或 1 2 D 不等式组Error Error 表示的可行域如图 阴影部分 所示 由图可知 若要使 不等式组Error Error 表示的平面区域是直角三角形 只有当直线 y kx 1 与直线 x 0 或 y 2x 垂直时才满足 结合图形可知斜率 k 的值为 0 或 1 2 应用 4 由
11、参数变化引起的分类讨论 典例 4 设函数 f x x3 ax b x R 其中 a b R 求 f x 的单调区 间 解 由 f x x3 ax b 可得 f x 3x2 a 下面分两种情况讨论 当 a 0 时 有 f x 3x2 a 0 恒成立 所以 f x 的单调递增区间为 当 a 0 时 令 f x 0 解得 x 或 x 3a 3 3a 3 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 f x 0 0 f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以 f x 的单调递减区间为 单调递增区间为 3a 3 3a 3 3a
12、3 3a 3 1 本题研究函数性质对参数 a 进行分类讨论 分为 a 0 和 a 0 两种情况 2 若遇到题目中含有参数的问题 常常结合参数的意义及对结果的影响进行 分类讨论 此种题目为含参型 应全面分析参数变化引起结论的变化情况 参数 有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想 分类要做到分类标准明确 不 重不漏 对点训练 8 设函数 f x x2 ax a 3 g x ax 2a 若存在 x0 R 使得 f x0 0 和 g x0 0 同时成立 则实数 a 的取值范围为 A 7 B 2 6 C 2 D 2 7 A 由 f x x2 ax a 3 知 f 0 a 3 f 1 4 又存在 x0
13、 R 使得 f x0 0 所以 a2 4 a 3 0 解得 a 2 或 a 6 又 g x ax 2a 的图象恒过 2 0 故当 a 6 时 作出函数 f x 和 g x 的图象如图 1 所示 当 a 2 时 作出 函数 f x 和 g x 的图象如图 2 所示 图 1 图 2 由函数的图象知 当 a 6 时 若 g x0 0 则 x0 2 要使 f x0 0 则需Error Error 解得 a 7 当 a 2 时 若 g x0 0 则 x0 2 此时函数 f x x2 ax a 3 的图象的 对称轴 x 0 a 2 故函数 f x 在区间上为增函数 a 2 又 f 1 4 f x0 0 不
14、成立 综上 实数 a 的取值范围为 7 对点训练 9 设函数 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行 求 a 2 若 f x 在 x 2 处取得极小值 求 a 的取值范围 解 1 因为 f x ax2 4a 1 x 4a 3 ex 所以 f x ax2 2a 1 x 2 ex 所以 f 1 1 a e 由题设知 f 1 0 即 1 a e 0 解得 a 1 此时 f 1 3e 0 所以 a 的值为 1 2 由 1 得 f x ax2 2a 1 x 2 ex ax 1 x 2 ex 若 a 则当 x 时 f x 0 1 2 1 a 2 当 x 2 时 f x 0 所以 f x 在 x 2 处取得极小值 若 a 则当 x 0 2 时 x 2 0 ax 1 x 1 0 1 2 1 2 所以 f x 0 所以 2 不是 f x 的极小值点 综上可知 a 的取值范围是 1 2
