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1、相似三角形知识点总结相似三角形知识点总结 1 比例线段的有关概念 在比例式 中 叫外项 叫内项 叫前项 a b c d abcdadbcac b d 叫后项 d 叫第四比例项 如果 b c 那么 b 叫做 a d 的比例中项 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC 使 AC2 AB BC 叫做把线段 AB 黄金分割 C 叫做 线段 AB 的黄金分割点 2 比例性质 基本性质 a b c d adbc 合比性质 a b c d ab b cd d 等比性质 a b c d m n bdn acm bdn a b 0 3 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例
2、 如图 l1 l2 l3 则 AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成 比例 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 4 相似三角形的判定 两角对应相等 两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 三边对应成比例 两三角形相似 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 那么这两个直角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与 原三角形
3、相似 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 相似三角形的对应边成比例 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 中考试题分类汇编中考试题分类汇编 相似三角形相似三角形 一 选择题一 选择题 1 如图 1 已知 AD 与 BC 相交于点 O AB CD 如果 B 40 D 30 则 AOC 的大小为 A 60 B 70 C 80 D 120 2 如图 已知 D E 分别是ABC 的 AB AC 边上的点 DE BC 且 1 ADEDBCE S
4、S A四边形 那么 AE AC等于 A 1 9 B 1 3 C 1 8 D 1 2 3 3 图为 ABC 与 DEC 重迭的情形 其中 E 在 BC 上 AC 交 DE 于 F 点 且 AB DE 若 ABC 与 DEC 的面积相等 且 EF 9 AB 12 则 DF A 3 B 7 C 12 D 15 4 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图 点 P 处放一水平的平面镜 光线从 点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处 已知 AB BD CD BD 且测得 AB 1 2 米 BP 1 8 米 PD 12 米 那么该古城墙的高度是 A 6 米 B 8 米 C 1
5、8 米 D 24 米 5 如图 DEF 是由ABC 经过位似变换得到的 点O是位似中心 DEF 分别 是OAOBOC 的中点 则DEF 与ABC 的面积比是 A 1 6B 1 5C 1 4D 1 2 6 给出两个命题 两个锐角之和不一定是钝角 各边对应成比例的两个多边形一定相 似 AB CD O 图 1 B A C DE 第 4 题 A B C D E A A 真 真B 假 真C 真 假D 假 假 7 如图 2 所示 Rt ABC Rt DEF 则 cosE 的值等于 A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 3 8 如上图 直角梯形 ABCD 中 BCD 90 AD BC BC CD E
6、为梯形内一点 且 BEC 90 将 BEC 绕 C 点旋转 90 使 BC 与 DC 重合 得到 DCF 连 EF 交 CD 于 M 已知 BC 5 CF 3 则 DM MC 的值为 A 5 3 B 3 5 C 4 3 D 3 4 9 如图 在ABC 中 D E分别是AB AC边的中点 若6BC 则DE等于 A 5 B 4 C 3 D 2 10 已知ABCDEF 相似比为 3 且ABC 的周长为 18 则DEF 的周长为 A 2B 3C 6D 54 11 如图 Rt ABAC中 AB AC AB 3 AC 4 P是BC边上一点 作PE AB于 E PD AC于 D 设BP x 则PD PE A
7、 3 5 x B 4 5 x C 7 2 D 2 1212 525 xx 12 如图 在 Rt ABC 内有边长分别为 a b c的三个正方形 则 a b c满足的关系式是 A bac B bac C 222 bac D 22bac 113 如图 ABC 是等边三角形 被一平行于 BC 的矩形所截 AB 被截成三等分 则图中阴 影部分的面积是 ABC 的面积的 9 1 9 2 3 1 9 4 EH FG CB A 第 13 题图 E C DA F B 图 5 A E D BC 图 8 14 下列四个三角形 与左图中的三角形相似的是 15 在同一时刻 身高 1 6 米的小强在阳光下的影长为 0
8、8 米 一棵大树的影长为 4 8 米 则树的高度为 A 4 8 米B 6 4 米C 9 6 米D 10 米 二 填空题二 填空题 1 如图 DE 两点分别在ABC 的边ABAC 上 DE与BC不平行 当满足 条件 写出一个即可 时 ADEACB 2 如果两个相似三角形的相似比是1 3 那么这两个三角 形面积的比是 3 如图 5 平行四边形ABCD中 E是边BC上的点 AE交BD于点F 如果 2 3 BE BC 那么 BF FD 4 在 Rt ABC 中 C 为直角 CD AB 于点 D BC 3 AB 5 写出其中的一对相似三角形是 和 并写出它的面积比 5 如图 点 1234 AAAA 在射
9、线OA上 点 123 BBB 在射线 OB上 且 112233 ABA BA B 213243 A BA BA B 若 212 A B B 323 A B B 的面积分别为 1 4 则图中三个阴影三角形 面积之和 为 6 两个相似三角形的面积比 S1 S2与它们对应高之比 h1 h2之间的关系为 7 如图 8 D E 分别是ABC 的边 AB AC 上的点 则使AED ABC 的条件是 第 7 题 A B C D 第 5 题图 O A1A2A3A4A B B1 B2 B3 1 4 A E C B D 图 3 第 12 题 A BC E D 8 如图 4 已知 AB BD ED BD C 是线段
10、 BD 的中点 且 AC CE ED 1 BD 4 那么 AB 9 如图 在ABC 中 DE 分别是ABAC 的中点 若5DE 则BC的长是 10 如图 3 要测量A B两点间距离 在O点打桩 取OA的中点 C OB的中点D 测得 CD 30 米 则AB 米 三 解答题三 解答题 1 如图 5 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面积 2 如图 在等腰 ABC 中 CH 是底边上的高线 点 P 是线段 CH 上不
11、与端点重合的任意一 点 连接 AP 交 BC 于点 E 连接 BP 交 AC 于点 F 1 证明 CAE CBF 2 证明 AE BF 3 以线段 AE BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG 点 E 与点 F 重合于点 G 记 ABC 和 ABG 的面积分别为 S ABC和 S ABG 如果存在点 P 能使得 S ABC S ABG 求 C 的取值范 围 3 如图 10 四边形 ABCD DEFG 都是正方形 连接 AE CG AE 与 CG 相交于点 M CG 与 AD 相交于点 N 求证 1 CGAE 2 MNCNDNAN 4 如图 在RtABC 中 90A 6AB 8AC DE
12、 分别是边ABAC 的 中点 点P从点D出发沿DE方向运动 过点P作PQBC 于Q 过点Q作 QRBA 交AC于R 当点Q与点C重合时 点P停止运动 设BQx QRy 1 求点D到BC的距离DH的长 2 求y关于x的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 5 如图 四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 点R为DE的中点 BR分别 交ACCD 于点PQ F C A B P E H A BC D E R P H Q 1 请写出图中各对相似三角形 相似比为 1 除外 2 求 BP PQ QR 6 如图 ABCD 中 E 是 CD 的延长线上一点 BE 与 AD 交于点 F CDDE 2 1
13、求证 ABF CEB 若 DEF 的面积为 2 求 ABCD 的面积 7 如图 在平面直角坐标系中 点 3 0 C 点AB 分别在x轴 y轴的正半轴上 且 满足 2 310OBOA 1 求点A 点B的坐标 2 若点P从C点出发 以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动 连结AP 设 ABP 的面积为S 点P的运动时间为t秒 求S与t的函数关系式 并写出自变量的取 值范围 3 在 2 的条件下 是否存在点P 使以点ABP 为顶点的三角形与AOB 相 似 若存在 请直接写出点P的坐标 若不存在 请说明理由 A B C D E P O R 第 21 题图 y x A OC B 8 如图 已知 ABC是
14、边长为 6cm 的等边三角形 动点P Q同时从A B两点出发 分别 沿AB BC匀速运动 其中点P运动的速度是 1cm s 点Q运动的速度是 2cm s 当点Q到 达点C时 P Q两点都停止运动 设运动时间为t s 解答下列问题 1 当t 2 时 判断 BPQ的形状 并说明理由 2 设 BPQ的面积为S cm2 求S与t的函数关系式 3 作QR BA交AC于点R 连结PR 当t为何值时 APR PRQ 9 如图 10 所示 E是正方形ABCD的边AB上的动点 EF DE交BC于点F 1 求证 ADE BEF 2 设正方形的边长为 4 AE x BF y 当x取什么值时 y有最大值 并求出 这个最大值 10 如图 在 ABD 和 ACE 中 AB AD AC AE BAD CAE 连结 BC DE 相交于点 F BC 与 AD 相交于点 G 1 试判断线段 BC DE 的数量关系 并说明理由 2 如果 ABC CBD 那么线段 FD 是线段 FG 和 FB 的比例中项吗 为什么
