点对称操作

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1、晶体学和晶体结构  Fundamentals of Crystallography 主讲：王辉    副教授  王     辉    #8-235 第 1章  点对称操作  华南理工大学   材料科学 与工程 学院  金属材料系  研究生课程  2012年秋季学期  本章内容  1. 引言  2. 点对称操作   旋转对称   中心 对称   镜面对称   旋转倒反   旋转

2、反映  2 1. 引言：晶体的结构特征   晶体 是由原子或分子按照一定周期性规律在空间重复排列而成的 固体  3 晶体的对称性   对称操作 symmetry operation：晶体在某种操作变换前后不可 区分（复原，重合 ）   点 对称：旋转，倒反，反映   非点式 对称：平移对称及其与点对称 的组合   宏观对称性与微观对称性  4 分子的对称性  vs 晶体的对称性  5 C60的分子结构和晶体结构  2.点对称操作   点对称操作 ：操作过程中保持空间中至少有一

3、个不动点的对称操作，如 旋转、反演、镜面对称   而 使空间中所有点都移动的对称操作称为 非点式对称操作 ，如 平移、螺旋 和 滑移  6 inversion rotation reflection translation 对称要素   对称操作据以进行的几何元素，包括点、线、面，这些几何要素在对称操作中不发生 位移  7 center of inversion mirror plane rotation axis 旋转轴  对称中心  反映面  对称操作的数学描述  8 参考轴 右手规则  R表示 对称

4、算符  对称操作的符号和投影  9 点对称操作的分类   第一类点对称操作   旋转  真旋转 /纯旋转  客体 无 手性 变化   第二类点对称操作   反映 /镜面、反演 /倒反、旋转倒反 /旋转反映  非真旋转  客体 有手性 变化  10 左型 ， learus，即 L型  右型， dexter， 即 D型   第一类点对称操作：旋转 Rotation 绕某轴 反时针 旋转 =360/n度的对称操作， n称为 旋转轴次 ，n=1, 2, 3, 4, 6。 称

5、为 基转角 ，分别为 360,180,120,90,60度   轴次定理 决定了晶体中只存在 5种旋转对称，这是 平移对称对 点对称操作 的制约所致   旋转对称操作的符号为 n (Cn)，需要时在后面标出它的方向  国际符号也称为赫尔曼 -毛古因 Hermann-Mauguin符号，括号内为熊夫利斯 Schnflies 符号  在一些教科书中还 采用另一种习惯 符号： Ln 恒等 操作   对客体不做任何操作的操作，或将物体绕任意一条轴线转动 360的操作   符号为 1 (E, C1) 对称要素是一条虚设的轴线，称为 1次旋转轴，

6、简称 1次轴  2次旋转 2-fold rotation 国际符号： 2(C2) 投影符号：   对称要素是 2次旋转轴，简称 2次 轴   重复 点数为 2 2次轴垂直于纸面  2次轴平行于纸面  13 纸面上方  纸面下方  3次旋转操作 3-fold rotation 国际符号： 3(C3) 投影符号：   对称要素是 3次轴，重复点数为 3 连续两次操作也是对称操作  33232 333CCC 14 3个一般等效位置  4次旋转操作 4-fold rotation 国际符号： 4(C4)

7、 投影符号：   对称要素是 4次轴，重复点数为 4 与 4次轴相关的对称操作  2242 24CC 34C15 6次旋转操作 6-fold rotation 国际符号： 6(C6) 投影符号：   对称要素是 6次轴，重复点数为 6 六角坐标   与 6次轴相关的对称操作  )(1)(6),(2)(6),(3)(6 166623633262 CCCCCC 16 4个旋转轴  17 第二类点对称操作   倒反（反演）   反映（镜面）   旋转倒反   旋转反演  18 倒反 操作 I

8、nversion 将空间点的每一个位置由坐标为 (x， y， z)变换到 (- x， - y，  - z)的操作   符号为 i( ， Ci)，投影：   倒反操作改变客体的 手性   对称要素称为 反演中心 /对称中心 ，重复点数为 2 镜面 /反映操作 Reflection 定义：   对称要素是镜面 /反映面，符号 m 投影符号   反映操作改变了客体的手性   在符号后面标以该镜面的法线方向，如 m 010 纸面为镜面  旋转倒反 Roto-inversion 旋转操作和倒反操作的复合操作   与

9、此类复合操作相联系的对称要素是倒反轴   独立的倒反轴只有 1种  21 2次旋转倒反   先进行 2次旋转，然后进行倒反操作的复合操作   对称要素是 2次反轴： 2   2次反轴等价于一个与之垂直的反映面  m 22 3次旋转倒反   先进行 3次旋转，然后进行倒反操作的复合操作   对称要素是 3次反轴，重复点数为 6 3次倒反轴可分解为一个 3次轴和一个反演中心  0,6 1 2 3 4 5 23 4次旋转倒反   先进行 4次旋转，然后进行倒反操作的复合操作   对称要素是

10、4次反轴，重复点数为 4 4次反轴 是一个独立的对称要素   4次反轴隐含一个 2次轴  0,4 1 2 3 组成复合操作的每一个操作本身可能不是对称操作  24 6次旋转倒反   先进行 6次旋转，然后进行倒反操作的复合操作   对称要素是 6次反轴，重复点数为 6 6次倒反轴可分解为一个 3次轴和反映面  0,3 1 2 25 小结   8个独立的点对称要素：  1， 2， 3， 4， 6， i， m，   2次反轴即反映面   3次反轴可分解为 3次轴加对称中心   6次反轴等价

11、于 3次轴加反映面  4对称要素符号  27 对称要素符号  28 本章要求   晶体对称 性和分子对称性   第一类点对称操作和第二类点对称操作   对称要素的符号和 投影，点对称操作   复合操作  29 思考题   下列物体包含 哪些对称要素 和 对称操作？   H2O水分子   埃及金字塔   正四面体  30 下一章节要点   点阵、阵点、结构基元、晶格、晶胞、晶体结构的基本概念   如何从点对称性约束推导出七个晶系，每个晶系单胞的特征对要素是什么？   4次旋转轴是立方晶系的必要条件吗？  31