《2020年度九年级中考数学专题训练二次函数压轴题(含答案)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020年度九年级中考数学专题训练二次函数压轴题(含答案)(28页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2020年度九年级中考数学专题训练 二次函数压轴题(含答案)1. 如图,抛物线yax2(a2)x2(a0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点P(m,0)(0m4)过点P作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点M.(1)求a的值;(2)若PNMN13,求m的值;(3)如图,在(2)的条件下,设动点P对应的位置是P1,将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2,旋转角为(090),连接AP2、BP2,求AP2BP2的最小值 图 图第1题图解:(1)A(4,0)在抛物线上,016a4(a2)2,解得a;(2)由(1)可知抛物线解析式为yx2x2,令x0可得y2,OB2,OPm,
2、AP4m,PMx轴,OABPAN,即,PN(4m),M在抛物线上,PMm2m2,PNMN13,PNPM14,m2m24(4m),解得m3或m4(舍去),即m的值为3;(3)如解图,在y轴上取一点Q,使,第1题解图由(2)可知P1(3,0),且OB2,且P2OBQOP2,P2OBQOP2,当Q(0,)时,QP2BP2,AP2BP2AP2QP2AQ,当A、P2、Q三点在一条直线上时,AP2QP2有最小值,又A(4,0),Q(0,),AQ,即AP2BP2的最小值为.2. 如图,已知二次函数yax2bx4的图象与x轴交于A(2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,点P是x轴上方抛
3、物线上的一个动点,过P作PNx轴于N,交直线BC于M.(1)求二次函数表达式及顶点D的坐标;(2)当PMMN时,求点P的坐标;(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H,连接AP交对称轴于E,连接BP并延长交对称轴于F,试证明HEHF的值为定值,并求出这个定值第2题图解:(1)A(2,0),B(4,0)在二次函数的图象上,将A,B点代入二次函数表达式中,得,解得,二次函数的表达式为yx2x4,将其化为顶点式为y(x1)2,顶点D的坐标为(1,);(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0,4),设直线BC的解析式为ykxc(k0),将点B(4,0),点C(0,4)代入得,解得,直线BC的解析式为yx4,(
4、5分)点P在x轴上方的抛物线上,设点P的坐标为(t,t2t4)(2t4),PNx轴于N,点N的坐标为(t,0),PN交BC于M,点M的坐标为(t,t4),(7分)PMMN,点P在点M的上方,PN2MN,即t2t42(t4),解得t12,t24(与B重合舍去),当PMMN时,点P的坐标为(2,4);(8分)第2题解图(3)如解图,过点P作PGx轴于点G,设点P的坐标为(t,t2t4),DHx轴于点H,PGDH,AHEAGP,BGPBHF,EH,FH,(10分)当点G在BH上时,AHBH3,AGt2,BG4t,PGt2t4,EHFH3()3()(t2)(t4)9,同理,当点G在AH上,由抛物线对称
5、性可知,结果相同综上可知,HEHF的结果为定值,且这个定值为9.(14分)3. 如图,在平面直角坐标系中,直线yx1与抛物线yax2bx3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDAB于点D.(1)求a、b及sinACP的值;(2)设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;连接PB,线段PC把PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9 10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由第3题图解:(1)由x10,得x2,A(2,0
6、),由x13,得x4,B(4,3)yax2bx3经过A、B两点,解得,如解图,设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1)PCy轴,ACPAEO.sinACPsinAEO;(2)由(1)知,抛物线的解析式为yx2x3,P(m,m2m3),C(m,m1),PCm1(m2m3)m2m4.在RtPCD中,PDPCsinACP(m2m4)(m1)2.0,当m1时,PD有最大值;存在,m或.【解法提示】如解图,分别过点D、B作DFPC,BGPC,垂足分别为点F、G.第3题解图由图中几何关系可知FDPDCPAEO,cosFDPcosAEO,在RtPDF中,DFcosFDPPDPD(m22m8)又BG4m,.当
7、时,解得m;当时,解得m.m或.4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA3,AB4,在OC上取一点E,使OAOE,抛物线yax2bxc过A,E,B三点(1)求B,E点的坐标及抛物线表达式;(2)若M为抛物线对称轴上一动点,则当|MAME|最大时,求M点的坐标;(3)若点D为OA中点,过D作DNBC于点N,连接AC,若点P为线段OC上一动点且不与C重合,PFDN于F,PGAC于G,连接GF,是否存在点P,使PGF为等腰三角形?若存在,求出所有满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由第4题图解:(1)OA3,AB4, OAOE,A(0,3),B(4,3), E(3,0)将A,B,
8、E三点坐标代入yax2bxc中,得,解得,抛物线的表达式为yx24x3;(3分)(2)抛物线yx24x3的对称轴为直线x2,点A关于对称轴的对称点为点B,当|MAME|最大时,M在直线BE与直线x2的交点处,即连接BE并延长交直线x2于点M,M点即为所求,如解图,(5分)第4题解图设直线BE的解析式为ykxb(k0),直线过B(4,3),E(3,0),直线BE的解析式为y3x9.当x2时, y3,M(2,3);(7分)(3)设P(x,0)(x0),如解图,过点P分别作PFDN于点F,PGAC于点G,过点G作GHOC于点H,交DN于点Q,连接GF,第4题解图OA3,AB4,AOC90,AC5,D
9、为OA的中点,DNBC,PF,sin1,PG,cos1,CG.CGHCAO,GHCG,CHCG,(9分)PHQFOCCHOP4x,GQGHQH,在RtGQF中,GF22.要使PGF为等腰三角形,可分三种情况讨论:()当GFGP时, GF2GP2,x,P1(,0);(11分)()当FGFP时,FG2FP2,x14,x20.点P不与C重合,x4(舍去),P2(0,0);(12分)()当PGPF时,x,P3(,0)(13分)综上所述,存在P1(,0),P2(0,0),P3(,0)使PFG为等腰三角形(14分)5. 已知:直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B,抛物线yx2bxc经过点A、B,且交x轴于
10、点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上一点,且点P在AB的下方,设点P的横坐标为m.试求当m为何值时,PAB的面积最大;当PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,问在直线PD上是否存在点Q,使QBC为直角三角形?若存在,直接写出符合条件的Q点的坐标,若不存在,请说明理由 第5题图 备用图解:(1)直线yx3与x轴、y轴分别交于A、B,则A(6,0),B(0,3),又抛物线yx2bxc经过点A、B,则,解得,抛物线的解析式为yx2x3;(2)点P的横坐标为m,P(m,m2m3),点P在直线AB下方,0m6,第5题解图如解图,过点P作x轴的垂线,交AB于点E,交x轴于点
11、D,则E(m,m3),PEm3(m2m3)m22m,SPABSBPESPEAPEOA(m22m)6(m3)29,当m3时,PAB的面积最大;在直线PD上存在点Q,使QBC为直角三角形;点Q的坐标为(3,)或(3,)【解法提示】直线PD的解析式为:x3,易得C(,0),D(3,0),当BCQ90时,如解图,易证COBQDC,则,可得Q(3,);第5题解图当CBQ90时,如解图,易知Q在AB上,将x3代入直线yx3,得y,Q(3,);第5题解图当BQC90时,如解图,易证CDQQRB,则,即,无解第5题解图综上所述,在直线PD上存在点Q,使QBC为直角三角形,点Q的坐标为(3,)或(3,)6. 如
12、图,抛物线yx24x5与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A,B,C三点的坐标及抛物线的对称轴;(2)如图,点E(m,n)为抛物线上一点,且2m5,过点E作EFx轴,交抛物线的对称轴于点F,作EHx轴于点H,求四边形EHDF周长的最大值;(3)如图,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,B,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 图 图第6题图解:(1)把y0代入yx24x5,得x24x50,解得x11,x25,点B在点A的右侧,A,B两点的坐标分别为(1,0),(5,0),把x0代入yx24x5,得y5,点C的坐标为(0,5),yx24x5(x2)29,抛物线的对称轴为直线x2;(4分)(2)由题意可知,四边形EHDF是矩形,抛物线的对称轴为直线x2,点E坐标为(m,m24m5),EHm24m5,EFm2,矩形EHDF的周长为2(EHEF)2(m24m5m2)2(m25m3)2(m)2,20,2m5,当m时,矩形EHDF的周长最大,最大值为;(8分)第6题解图(