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1、LOGO 固体物理学 Solid State Physics Click to edit Master text stylesLOGO 第三章晶格在振动与晶体的热学性质 3.3 三维晶格振动 3.2 一维双原子晶格振动 3.1 一维单原子晶格振动 3.4 声子 3.5 晶格振动模式密度 3.6 固体热容 3.7 非简谐效应：热膨胀 3.8 非简谐效应：热传导 Click to edit Master text stylesLOGO 原子固定在格点位置（平衡位置） 理想状态 实际上，在一定温度下，组成晶体的原子总是围绕 着格点，并以格点为平衡位置做幅度甚小的振动。 这种晶体中原子的振动称为晶格振
2、动。 晶格振动的含义：格子本身固定不动，而格子中的 原子则在格子附近做往复振动。 晶格振动是晶体中原子的主要运动形式。 晶格振动对晶体的许多性质有重要的影响。如晶体 的热学性质、电学性质、光学性质、磁性、超导电性 。 Click to edit Master text stylesLOGO 3.1 一维单原子晶格振动 晶格振动相互作用力f相互作用势能U(r) 当原子偏离平衡位置时，在相互作用 力f 的作用下，原子围绕平衡位置做振动 ，且某个原子的振动会带动其他原子的 振动，从而使振动在全部晶体中传播， 即激发起波动。 晶体中的原子振动称作晶格振动，由 晶格振动而引起的相应的机械波称作 格波。
3、晶格振动与格波的传播是不可分割的物理现象。 Click to edit Master text stylesLOGO 模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m. 代表第n个原子离开平衡位置的位移。 第n个原子和第n+1个原子间的相对位移是 Click to edit Master text stylesLOGO 常数 设 为平衡位置时两相邻原子间的相互作用势能 为相对位移 当 很小，即振动很微 弱时，势能展开式中可 只保留到 项 简谐近似 简谐近似往往可以得到许多符 合实际情况的结果。 对晶格振动做简谐近似后，可近 似认为原子间如同弹簧相连接。 Click to e
4、dit Master text stylesLOGO 相邻原子间的作用力 恢复力系数 对于微小振动，原子间的相互作用可以视为与位移成正比 。 如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受到的 总作用力： 第n个原子的运动方程： Click to edit Master text stylesLOGO 在最近邻近似下，一维单原子链实际上就简化为质量为m 的小球被弹性系数为 的弹簧连接起来的弹性链。 对于每一个原子，都有一个类似上式的运动方程，因此方 程的数目和原子数相同。 设方程组的解是一振幅为A、角频率为的简谐振动函数 ： 波矢 ， 是第n个原子的相位。 由上式可知，相邻原子的振动相位差相等，
5、为 Click to edit Master text stylesLOGO 如果第m个和第n个原子的相位差（qma-qna）为2的 整数倍时，即 （s为整数） 当第m个原子和第n个原子的距离（ma-na）为 的 整数倍时，原子因振动产生的位移相等，由此可见晶格中 各个原子间的振动相互间都存在着固定的相位关系，也即 在晶格中存在着角频率为的平面波，这种波称为格波。 在简谐近似下，格波为简谐平面波。 Click to edit Master text stylesLOGO 格波的波长： 格波的波矢： 代表沿格波传播方向的单位矢量 格波的相速度： 将 代入运动方程组中，可得 格波 的意义: 连续介
6、质波： 晶体中格波和连续介质波具 有完全类似的形式。一个格波表 示的是所有原子同时做频率为 的振动。在简谐近似下，格波是 简谐平面波， 波数： Click to edit Master text stylesLOGO 或者： 为截止频率 色散关系 由上可见，与q的关系具有明显的周期性， 是q的周期 函数，周期为 ，q与 （i为整数）对应于同 样的角频率，而且由 ，q与 相应于 同样的原子位移，即二者对所有原子的振动完全相同。这就 是说，对应于某一确定的振动状态，可以有无限多个波矢q ，它们间都相差 的整数倍。这里的 实际上是一维晶格的倒格矢。 Click to edit Master text
7、 stylesLOGO 所以，为了保证 的单值性，只须将q限制在 （a为晶格常数），这恰好是一维布拉菲格子的第一布里渊区。 格波1（红色标示）的波矢： 相邻原子的位相差： 格波2（绿色标示）的波矢： 相邻原子的位相差： 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。 Click to edit Master text stylesLOGO 由于频率是波数的偶函数， 色散关系曲线是周期性的 ， 关于O轴对称的。 在q空间的周期为： 频率的极小值： 频率的极大值： 当 ，与其相应频率的变化范围： 只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播 ，其它频率的格波被强烈衰减。因此可以将一维单原子晶 格看作成低通滤
8、波器。 Click to edit Master text stylesLOGO 格波解 与色散关系 有几个重要的性质。 （1）长波极限 的情况 当 ，即波长很长时， 弹性波 在长波极限下，一维单原子晶 格格波的色散关系和连续介质中 弹性波的色散关系一致。 Click to edit Master text stylesLOGO 下面再比较一下长波近似下，格波与弹性波的相速度 弹性波的相速度 ： C弹性模量 连续介质密度 一维单原子晶格格波 ： 格波的相速度： 比较 ： 弹性波与一维单原子晶格格波的相速度相同。 长波极限下，一维单原子晶格格波可以看成弹 性波，晶格可看成连续介质。 Click
9、to edit Master text stylesLOGO （2）短波极限 的情况 在长波和短波极限下，相邻原子的相对运动情况是不同的。 此时 长波极限下：相邻两个原子之间振动的位相差 振幅也接近于相等 。 ，一个波长内包含许 多原子，晶格可以看作是连续介质。 短波极限下： 两个相邻原子的振动位相相反。 Click to edit Master text stylesLOGO （3）相速度和群速度 相速度： 群速度： 描述特定频率为，波矢为q 的纯波的传播速度。 描述平均频率为，波矢为q 的波包的传播速度。 Click to edit Master text stylesLOGO 以上的讨论
10、是将一维单原子晶格 看作无限长来处理的。实际的晶 体都为有限的，这样链两头的原 子就不能用中间原子的运动方程 来描述。玻恩卡门（Born- Karman）提出采用周期性条件 可以解决上述困难。 （4）周期性边界条件 由N个原子头尾相接形成一个 环链，它保持了所有原子等价的 特点，而且N很大，其中的原子 运动近似为直线运动。在处理问 题时要考虑到环链的循环性。 Click to edit Master text stylesLOGO 设第n个原子的位移 ，那么再增加N个原子之后， 第n+N个原子的位移为 ，则： （l为整数） l 只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立 值。由色散关系，给
11、定一个q，总有一个与之对应。给 定一组（，q）就对应于原子的一种振动形式，称振动 模式。从整体上看就表示晶体的一种格波。因此，在一 维单原子晶格中共有N个独立的振动模式，或者说有N个 独立的格波。 Click to edit Master text stylesLOGO 3.2 一维双原子晶格振动 设晶体有N个原胞，每个原胞由两个质量分别为m和M的 原子组成，令Mm，原胞长度即周期为2a，原子间距为a。 体系N个原胞，有2N个独立的方程 类似的，当原子偏离其平衡位置产生位移时，第2n和 第2n+1个原子的运动方程可分别表示为 方程组的解为： A、B分别表示质量为m和M的原子的振幅 Click
12、to edit Master text stylesLOGO 将 带回到运动方程得到 ： 若A、B有非零的解，系数行列式满足： 一维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较， 与q之间存在着两种不同的色散关系 一维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波 Click to edit Master text stylesLOGO 类似的，也只需要关心第一布里渊区内的波矢q，只 是由于周期加倍为2a，布里渊区在倒空间的范围减半。 +一支的频率总比-一支的频率高。事实上，+一支的 格波可以用光来激发，称为光频支，相应的格波称为光学波 ；人们也可以用声波由外界激发频率为-的晶格振动，因此 -的一支称为声频
13、支，相应的格波称为声学波。 Click to edit Master text stylesLOGO 频率较低的声学支类似于一维布 拉菲格子的色散关系，在布里渊 区边界处达到最大值。 频率较高的光学支在布里渊区边 界处为最小值。 在两支色散关系间存在一频隙，所以也可以将一维双原子 晶格看作带通滤波器。 在布里渊区中心 折合质量 Click to edit Master text stylesLOGO 将 和 分别代入 （1）长波极限下，即 （a）声学支 长波极限下，声学波实际上代表原胞 的质心振动，即描述原胞整体的运动 。 声学支在长波极限下原胞内两个原 子振幅相同，相邻原子振动的位相差 ，即
14、振动情况一致，且都 是沿同一方向振动的。 Click to edit Master text stylesLOGO （b）光学支 由于 ，而振动方向相反， 上式表明原胞内两个原子反相运动， 并且 ,表明原胞的质 心不动。可见长波光学波可描述原胞 中原子间的相对运动。 Click to edit Master text stylesLOGO （2）短波极限下，即波矢在布里渊区边界 （a）声学支 这表明质量为m的原子静止，质量为M的原子振动。 （b）光学支 即质量为M的原子静止，质量为m的原子振动。 比较一维布拉菲格子与一维复式格子的色散关系，可得布 拉菲格子只有声学支，而复式格子既有声学支也有光学支。 Click to edit Master text stylesLOGO 设晶体有N个原胞，每个原胞含两个不同的原子。 根据周期性边界条件 （l为整数） 一维双原子晶格的q也只能取N个不同的值，波矢q的 数目等于原胞的数目。这里，对应于一个q值有两个不 同的，所以，角频率数为2N，每一（，q）对应于一 个格波，格波数必为2N，晶体共有2N个振动模式。 Click to edit Master text stylesLOGO 注意：在一维双原子复式晶格的情形，一个原胞的自 由度也是2，这表明频率支的数目与原胞内原子运动的 数目相吻合。详细的理论分析表明这是一个普遍正确的
