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1、第三单元 基本初等函数()及应用教材复习课“基本初等函数()”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算过双基一、根式与幂的运算1根式的性质(1)()n.(2)当n为奇数时,.(3)当n为偶数时,|a|(4)负数的偶次方根无意义(5)零的任何次方根都等于零2有理数指数幂(1)分数指数幂:正分数指数幂:a(a0,m,nN*,且n 1)负分数指数幂:a(a0,m,nN*,且n 1)0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0,r,sQ)(ar)sars(a0,r,sQ)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)二、对数及对数运算1对数的定义一般地,如果ax
2、N(a0,且a1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作xloga N,其中a叫作对数的底数,N叫作真数2对数的性质(1)loga1,logaa.(2)alogaN,logaaN.(3)负数和没有对数3对数的运算性质如果a0,且a1,M 0,N 0,那么(1)loga(M N)logaMloga N.(2)logalogaMloga N.(3)logaMnnlogaM(nR)(4)换底公式logab(a0且a1,b0,m0,且m1)1化简(a0,b0)的结果是()AaBabCa2b D.解析:选D原式ab.2若xlog43,则(2x2x)2()A. B.C. D.解析:选D由xlog43,得4x
3、3,即4x,(2x2x)24x24x32.3.log2()A2 B22log23C2 D2log232解析:选Blog2log232log23log2322log23.4已知f(x)2x2x,若f(a)3,则f(2a)()A11 B9C7 D5解析:选C由题意可得f(a)2a2a3,则f(2a)22a22a(2a2a)227.清易错1在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数易忽视字母的符号2在对数运算时,易忽视真数大于零1化简的结果是()A B.C D.解析:选A依题意知x0,y0,x2y0,故xy不符合题意,舍去所以x
4、4y,即4.答案:4二次函数过双基1二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)ax2bxc(a0)(2)顶点式:f(x)a(xm)2n(a0)(3)零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)图象定义域RR值域单调性在上单调递减;在上单调递增在上单调递增;在上单调递减对称性函数的图象关于直线x对称1若二次函数y2x24xt的图象的顶点在x轴上,则t的值是()A4 B4C2 D2解析:选C二次函数的图象的顶点在x轴上,168t0,可得t2.2(2018唐山模拟)如果函数f(x)x2ax3在区间(,4上单调递
5、减,那么实数a的取值范围为()A8,) B(,8C4,) D4,)解析:选A函数f(x)图象的对称轴方程为x,由题意得4,解得a8.3(2017宜昌二模)函数f(x)2x26x(2x2)的值域是()A20,4 B(20,4)C. D.解析:选C由函数f(x)2x26x可知,二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x,当2x0,ac4幂函数过双基1幂函数的定义一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,为常数2常见的5种幂函数的图象3常见的5种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0,)x|xR,且x0值域R0,)R0,)y|yR,且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性
6、增(,0减,0,)增增增(,0)减,(0,)减定点(0,0),(1,1)(1,1)1幂函数yf(x)的图象过点(4,2),则幂函数yf(x)的图象是()解析:选C令f(x)x,则42,f(x)x.故C正确2(2018贵阳监测)已知幂函数yf(x)的图象经过点,则f()A. B2C. D.解析:选C设幂函数的解析式为f(x)x,将代入解析式得3,解得,f(x)x,f,故选C.3若函数f(x)(m2m1)xm是幂函数,且在x(0,)上为增函数,则实数m的值是()A1B2C3 D1或2解析:选Bf(x)(m2m1)xm是幂函数,m2m11,解得m1或m2.又f(x)在x(0,)上是增函数,所以m2.
7、清易错幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示,则m的值为()A1m3 B0C1 D2解析:选C从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m22m30,即1m0,且a1)a10a1图象定义域R值域(0,)性质当x0时,y1,即过定点(0,1)当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,0y1;当x0时,y1在R上是增函数在R上是减函数1函数f(x)ax21(a0,且a1)的图象必经过点()A(0
8、,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)解析:选D由f(2)a012,知f(x)的图象必过点(2,2)2函数f(x)的定义域是()A(,0 B0,)C(,0) D(,)解析:选A要使f(x)有意义须满足12x0,即2x1,解得x0.3函数yaxa(a0,且a1)的图象可能是()解析:选C当x1时,ya1a0,所以函数yaxa的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.4设a,b,c,则a,b,c的大小关系是()Aacb BabcCcab Dbca解析:选A构造指数函数yx(xR),由该函数在定义域内单调递减可得b0时,有xx,故,即ac,故acb.5下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,
9、y0,函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数C指数函数 D余弦函数解析:选C由指数运算的规律易知,axyaxay,即令f(x)ax,则f(xy)f(x)f(y),故该函数为指数函数清易错指数函数yax(a0,且a1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意区分a1或0a0,且a1)在区间1,2上的最大值比最小值大,则a的值为_解析:当a1时,f(x)ax为增函数,f(x)maxf(2)a2,f(x)minf(1)a.a2a.即a(2a3)0.a0(舍去)或a1.a.当0a0,且a1)a10a1图象定义域(0,)值域性质当x1时,y0,即过定点(1,0)当0x1时
10、,y(0,)当0x1时,y(,0)在(0,)上为增函数在(0,)上为减函数1若函数f(x)loga(3x2)(a0,且a1)的图象经过定点A,则A点坐标是()A. B.C(1,0) D(0,1)答案:C2已知a0,且a1,函数yax与yloga(x)的图象可能是()解析:选B由题意知,yax的定义域为R,yloga(x)的定义域为(,0),故排除A、C;当0a1时,yax在R上单调递增,yloga(x)在(,0)上单调递减,结合B、D图象知,B正确3函数ylog2|x1|的单调递减区间为_,单调递增区间为_解析:作出函数ylog2x的图象,将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知,函数ylog2|x1|的单调递减区间为(,1),单调递增区间为(1,)答案:(