充分统计量

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1、总体结构的信息； 总体分布中未知参数的信息；,5.5 充分统计量,样本中所包含的关于总体分布的信息分为两部分：,一个“好”的统计量，应该能把样本中包含总体的信息全部提炼出来，即不损失信息的统计量充分统计量。,5.5.1 充分性的概念,例5.5.1 为研究某个运动员的打靶命中率，我们 对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第 三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的 观测结果包含了两种信息：,(1) 打靶10次命中8次；,(2) 2次不命中分别出现在第3次和第6次 打靶上。,第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。,设我们对该运动员进行n 次观测，得到 x1, x2, xn， 每个x

2、j 取值非0即1，命中为1，不命中为0。 令 T = x1+xn ，,统计上将这种“样本加工不损失信息”称为“充分性”。,T为观测到的命中次数。,统计量T =T (x1,x2,xn) 抽样分布FT(t) ，,设样本 x=(x1,x2,xn) 分布F (x)，,分析两个分布的区别：,1.抽样分布 FT(t) 有可能包含有关的信息； 2. F(x) 概括了有关 的一切信息。,在统计量T 的取值为 t 的情况下样本 x 的条件分布F(x|T=t) 已不含 的信息，这正是统计量具有充分性的含义。,设总体为二点分布,，,为样本，令,则在给定,的取值后，对任意的一组,该条件分布与,无关,该条件分布与,有关

3、。,2. 定义,定义,1922年英国统计学家Fisher提出了描述总体信息是否被完全提炼的概念充分统计量.,例 设总体为泊松分布,，,为样本，令,则在给定,的取值后，对任意的一组,该分布与参数,无关。说明T是,的充分统计量。,同理：T/n也是,的充分统计量。,二、因子分解定理,1. 充分统计量的判别准则,定理2.3(因子分解定理)(Fisher-Nerman准则),(1) 连续型情况,(2) 离散型情况,说明：,以下将通过几个例子来说明判别法则的应用,例 根据因子分解定理证明,解,例,解,例,解,解：,当 时， ，而 时的概 率函数,由充分统计量的定义知， 不是 的充分统计量.,例,解,是一一对应的，这说明在正态总体场合 常用的,进一步，我们指出这个统计量与,(x, s2 ),( x , s2 ),是充分统计量。,例5.5.4 设x1, x2, , xn是取自总体U(0, )的样本，即总体的密度函数为,于是样本的联合密度函数为,取T =x(n)，并令 g(t ; )= (1/)nIt, h(x)=1， 由因子分解定理知T =x(n) 是 的充分统计量。,p(x1;)p(xn;)=,0, 其它,(1/)n, 0minximaxxi,由于诸xi0，所以我们可将上式改写为,p(x1;)p(xn;) = (1/)nI,x(n),