广东省广州市某中学2025届高三上学期第一次模拟训练数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=x∈Z|x2+x−2<0，B=x∈N|0≤log2(x+1)<2，则A∪B的真子集的个数为( )A. 16 B. 15 C. 14 D. 82.若复数z满足z(1+2i)=3+i，则z=( )A. 1+i B. 1−i C. 2+i D. 2−i3.已知函数y=fx+1的定义域为−1,4，则y=f2x+1 x−1的定义域为( )A. 1,2 B. −1,9 C. 1,9 D. −1,24.已知直线l1:ax+2y−4=0，l2:x−a−3y−2=0，则“l1//l2”是“a=1”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知向量a=1,−2，b=(cosα,sinα)，若a⊥b，则sinα−2cosα2sinα+cosα的值为( )A. 43 B. −34 C. −32 D. −236.已知F1、F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为( )A. 3 B. 3 C. 2 D. 27.已知圆台的高为1，下底面的面积16π，体积为373π，则该圆台的外接球表面积为( )A. 64π B. 81π C. 100π D. 121π8.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，满足f(x+1)−f(x−1)≥x，f(x+3)−f(x−3)≤3x，且f(1)=1，则f(51)=( )A. 651 B. 676 C. 1226 D. 1275二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则( )A. ab的最小值为18 B. a2+b2的最小值为36C. 2a+1b的最小值为23 D. a+b的最小值为3+4 210.直线y=x−2与抛物线C:y2=2x相交于A､B两点，下列说法正确的是( )A. 抛物线C的准线方程为y=−12B. 拋物线C的焦点为12,0C. 若O为原点，则∠AOB=90∘D. 若Ax1,y1,Bx2,y2，则AB=x1+x2+111.已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若S25a25+a26 D. Snan中最小项为S25a25三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.过点1,0且倾斜角为30∘的直线被圆(x−2)2+y2=1所截得的弦长为 ．13.已知单位向量a,b满足|a+3b|= 13，则a与b的夹角为 ．14.已知函数fx= 3sinωx−cosωx−1(ω>0)在区间0,π上恰有两个零点，则ω的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题12分)在锐角▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m=(cosA,cosB),n=(a,2c−b)，且m//n．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求▵ABC周长的取值范围．16.(本小题12分)已知数列an满足an+1=2an+3×2n,a1=2．(1)证明：数列an2n是等差数列，并求数列an的通项公式．(2)求数列an的前n项和Sn．17.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2的菱形，其对角线交于点O.且AO⊥平面BB1C1C．(1)求证：B1C⊥平面ABC1；(2)若∠B1BC=60∘,OA=OB，求平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值．18.(本小题12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(−1,0)，F21,0，点A1, 22在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)已知直线l与椭圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求▵OMN面积的取值范围．19.(本小题12分)已知函数f(x)=lnx+2ax(a∈R)．(1)当a=e时，求函数f(x)在(1,f(1))处切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若g(x)=f(x)−2x2，不等式g(x)≥−1在[1,+∞)上存在实数解，求实数a的取值范围．参考答案1.B 2.A 3.A 4.A 5.B 6.D 7.C 8.A 9.ACD 10.BC 11.ABD 12.3 13.π3 14.1,73 15.【详解】(1)由m//n，得2c−bcosA=acosB，由正弦定理，得2sinC−sinBcosA=sinAcosB，即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sinA+B=sinC，而C∈(0,π2)，sinC≠0，则cosA=12，又A∈(0,π2)，A=π3．(2)由正弦定理得：bsinB=csinC=2 32=4 33，则b=4 33sinB，c=4 33sinC，b+c=4 33(sinB+sinC)=4 33[sinB+sin(π3+B)]=4 33(32sinB+ 32cosB)=4sin(B+π6)，由锐角▵ABC，得0=m⋅nmn=− 3 5×1= 155，故平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为 155；方法2，由BB1=2，四边形BB1C1C为菱形，∠B1BC=60∘，则△BB1C是边长为2的等边三角形，所以OC1=OB=BCsin60∘=2× 32= 3,OB1=OC=1,OA=OB= 3，所以AB= OA2+OB2= 6．取AB中点D，连接OD,CD，在等腰直角▵AOB中，OD⊥AB且OD=12AB= 62，由勾股定理得AC= OA2+OC2=2．因为BC=2=AC，则CD⊥AB，CD= BC2−BD2= 22− 622= 102．注意到OD⊥AB,CD⊥AB，平面ABC1∩平面ABC=AB，所以平面ABC1与平面ABC的夹角即为∠ODC．在▵ODC中，OC=1,OD= 62,CD= 102，则OC2+OD2=CD2，即OC⊥OD⇒cos∠ODC=ODCD= 155，故平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为 155． 18.解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，依题意： 12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,∴椭圆C的方程为x22+y2=1．椭圆的离心率为e=ca= 22．(2)当直线OM不垂直于坐标轴时，直线OM的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx(k≠0)，由y=kxx2+2y2=2，消去y得x2=22k2+1，则|OM|= x2+y2= 1+k2|x|= 2⋅ 1+k2 2k2+1，直线ON： y=−1kx，同理|ON|= 2⋅ 1+(−1k)2 2(−1k)2+1= 2⋅ k2+1 k2+2，则△OMN的面积S△OMN=12|OM||ON|=k2+1 2k2+1⋅ k2+2=k2+1 2(k2+1)−1⋅ (k2+1)+1=1 −(1k2+1)2+1k2+1+2，令t=1k2+1∈(0,1)，则S△OMN=1 −t2+t+2=1 −(t−12)2+94∈[23, 22),当直线OM垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令|OM|= 2,|ON|=1，则S△OMN= 22，所以△OMN面积的取值范围是[23, 22]． 19.【详解】(1)当a=e时，f(x)=lnx+2ex(x>0)，则f′(x)=1x+2e，所以f(1)=2e，f′(1)=1+2e，故在(1,f(1))处切线方程为y−2e=(1+2e)(x−1)，所以(1+2e)x−y−1=0．(2)由题设f′(x)=1x+2a，且x>0，当a≥0时，f′(x)>0，即f(x)的递增区间为(0,+∞)，无递减区间；当a<0时，00，x>−12a有f′(x)<0，此时f(x)的递增区间为(0,−12a)，递减区间为(−12a,+∞)．(3)原条件等价于g(x)=lnx−2x2+2ax≥−1在[1,+∞)上存在实数解．所以a≥−lnx+2x2−12x在[1,+∞)上存在实数解，令ℎ(x)=−lnx+2x2−12x，则ℎ′(x)=x−1x+4x−−lnx+2x2−12x2=2x2+lnx2x2，在[1,+∞)上2x2+lnx>0，得ℎ′x>0，故ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=12，故a≥12时不等式g(x)≥−1在[1,+∞)上存在实数解． 第8页，共8页。