2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高三（上）9月月考数学试卷一、单选题：本题共4小题，第1-2小题每小题4分，第3-4小题每小题5分，共18分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )A. y=2−x B. y=ln|x| C. y=x23 D. y=sinx2.在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B=1”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3.若数列{an}满足an=( 2)n−128n，其前n项和为Sn，则( )A. Sn既无最大值，又无最小值 B. 当且仅当n=1时，Sn取得最小值C. 当且仅当n=8时，Sn取得最小值 D. ∀n∈N∗，Sn≥S74.已知函数f(x)=2sinx−2cosx，则( )A. f(π4+x)=f(π4−x) B. f(x)不是周期函数C. f(x)在区间(0,π2)上存在极值 D. f(x)在区间(0,π)内有且只有一个零点二、填空题：本题共12小题，第5-10小题每小题4分，第11-16小题每小题5分，共54分。
5.已知集合A={x|−10}，则A∩B= ______．6.若z(1+i)=1−2i，则z= ______．7.设{an}是等比数列，a1=1，a2⋅a4=16，则a5= ______．8.函数f(x)= 3−x+ln(x−1)的定义域是______．9.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a−b|=2，则|a+b|= ______．10.若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1x)=3x，则f(2)的值为______．11.已知(x−1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1=______．12.已知点P与点(3,4)的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为______．13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______．14.若直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，且∠AOB=π3(其中O为原点)，则k的值为______．15.在Rt△ABC中，AC=BC=4，D为AB的中点，P为线段CD上的一个动点，则(PA+PB)⋅PC的最小值为______．16.已知数列{an}，a1=a(0a9；③{a2n}为递增数列；④∀n∈N∗，使得|an+1−an|<1−a．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本题共5小题，共78分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题14分)在△ABC中，a= 3,A=π3,b2=2 63asinB．(1)求sinB；(2)求c以及S△ABC的值．18.(本小题14分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M段PD上．(Ⅰ)求证：EF⊥平面PAC；(Ⅱ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PMPD的值．19.(本小题14分)有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为p1，乙校学生掌握该知识点的概率为p2，试比较p1与p2的大小(结论不要求证明)．20.(本小题18分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；(3)设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21.(本小题18分)已知函数f(x)=(1x+a)⋅ex，a∈R．(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当a=1时，求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅲ)若函数f(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围．答案解析1.【答案】D 【解析】解：对于A，若f(x)=2−x，函数定义域为R，f(−1)=2≠−f(1)=−12，即函数y=2−x不是奇函数，故A错误；对于B，f(x)=ln|x|的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，但f(−x)=ln|−x|=ln|x|=f(x)≠−f(x)，故函数f(x)=ln|x|不是奇函数，即B错误；对于C，函数f(x)的定义域为R，但f(−x)=3(−x)2=3x2=f(x)≠−f(x)，故函数f(x)不是奇函数，即C错误；对于D，f(x)=sinx的定义域为R，且f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x)，即函数f(x)=sinx是奇函数，且因00，且a8=0，逐项判断即可．【解答】解：若数列{an}满足an=( 2)n−128n，其前n项和为Sn，由数列{( 2)n}，{−128n}均为递增数列，可得数列{an}为递增数列，因为a7=( 2)7−1287=8 2−1287=1288 2−1287<0，a8=16−1288=0，故当n≤7时，an<0，当n≥9时，an>0，Sn无最大值，但有最小值，且最小值为S7、S8，即S7=S8．故D正确，A，B，C错误．故选：D．4.【答案】D 【解析】解：对于A：因为函数f(x)=2sinx−2cosx，所以f(x+π2)+f(−x)=2sin(x+π2)−2cos(x+π2)+2sin(−x)−2cos(−x)=2cosx−2−sinx+2−sinx−2cosx=0，所以f(x)关于点(π4,0)对称，所以f(π4+x)=−f(π4−x)，故A错误；对于B：因为f(x+2π)=2sin(x+2π)−2cos(x+2π)=2sinx−2cosx=f(x)，所以2π为函数f(x)的一个周期，故B错误；对于C：因为f(x)=2sinx−2cosx，所以f′(x)=2sinxcosx⋅ln2+2cosxsinx⋅ln2，当00，f(x)单调递增，所以f(x)在(0,π2)上单调递增，故C错误；对于D：令f(x)=2sinx−2cosx=0，即2sinx=2cosx，即sinx=cosx，因为x∈(0,π)，则tanx=1，所以x=π4，所以方程在(0,π)上只有一个根，所以函数f(x)在(0,π)内有且只有一个零点，故D正确．故选：D．对于A：由f(x+π2)+f(−x)=0，即可判断A是否正确；对于B：利用函数周期性的定义，即可判断B是否正确；对于C：利用导数的正负判断函数的单调性，即可判断C是否正确；对于D：利用零点的定义，将问题转化为求解方程的根的个数，即可判断D是否正确．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．5.【答案】(−1,1) 【解析】解：由集合A={x|−10}={x|x>3或x<1}，则A∩B={x|−10，解得：1