2025-2026学年郑州市中牟锐翰高级中学高二上学期第一次月考数学试卷（乙卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.在空间直角坐标系中，点P(1,−2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是( )A. (1,2,3) B. (−1,−2,3) C. (1,−2,−3) D. (−1,2,−3)2.已知空间向量a=(1,0,2)，b=(−2,1,3)，则a+b等于( )A. (−1,1,−1) B. (3,−1,−1) C. (−1,−1,5) D. (−1,1,5)3.已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，且a//b，则实数x的值为( )A. 6 B. −6 C. 3 D. −34.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1)，则a⋅b等于( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 25.已知A(1,2,3)，B(4,5,6)，则向量AB的坐标是( )A. (3,3,3) B. (5,7,9) C. (−3,−3,−3) D. (3,7,3)6.已知a=(1,0,k)，a= 2，b=(2,−1,0)，则a与b的夹角余弦值为( )A. 25 B. 105 C. 25 D. 127.已知a=(1,2,3),b=(2,4,6)，则下列结论正确的是( )A. a⊥b B. a=b C. a//b D. |a|=|b|8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与向量A1D相等的向量有( )A. B1C B. CB1 C. BC1 D. C1B二、多选题：本题共4小题，共24分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.关于空间向量的说法，下列正确的是( )A. 零向量与任何向量平行B. 空间向量可以进行加法、减法和数乘运算C. 如果a⋅b=0，那么a=0或b=0D. 两个相等的向量，它们的坐标也一定相同10.已知向量a=(1,2,3)，则下列运算结果正确的是( )A. 2a=(2,4,6)B. −a=(−1,−2,−3)C. a= 14D. a的单位向量是± 1414,2 1414,3 141411.已知空间向量a=(1,2,λ),b=(2,−1,4)，则下列结论正确的是( )A. 若a与b垂直，则λ=0 B. 若a与b平行，则λ=−8C. 当实数λ=4时，a等于b D. 当实数λ=52时，使得a⋅b=1012.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1,2,3)，则下列叙述正确的是( )A. 点A关于x轴的对称点坐标是(−1,2,3)B. 点A关于Oxy平面的对称点坐标是(−1,−2,3)C. 点A关于原点O的对称点坐标是(−1,−2,−3)D. 点A到Oxy平面的距离是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知a→=(3,−2,1)，则|a→|= ．14.已知A(1,0,1),B(2,1,3)，则AB⃗= ．15.已知a=(2,−1,2),b=(1,3,−1)，则a⋅b= ．16.已知向量a→=(1,1,0)，b→=(−1,0,2)，若ka→+b→与ka→−2b→垂直，则实数k= ．四、解答题：本题共5小题，共66分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题12分)如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设向量AB=a，向量AD=b，向量AA1=c，M，N分别是棱A1D1、C1D1的中点．(1)用向量a,b,c表示向量AC1、向量MN、向量AM；(2)证明MN//AC．18.(本小题12分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,4,1),C(3,6,x)．(1)若A,B,C三点共线，求实数x的值．(2)若AB⊥AC，求实数x的值．19.(本小题14分)如图，在棱长为2的正方体OBCD−O1B1C1D1中，O为坐标原点，OD,OB,OO1分别为x轴、y轴、z轴正方向． (1)建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标．(2)求向量BC1的坐标．(3)求向量OB与BC1的夹角．20.(本小题14分)已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，M是棱PD的中点.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求点A,B,C,D,P,M的坐标．(2)求直线AM,PB的方向向量与平面PCD的法向量(3)证明：AM⊥平面PCD．(4)求直线PB与平面PCD所成角的度数．21.(本小题14分)在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q在棱D1D,BB1上移动，且DP=BQ=λ(0<λ<2)，(1)当λ为何值时，直线BC1与平面EFPQ平行？请说明理由．(2)当平面EFPQ与平面PQMN垂直时，求λ的值．参考答案1.A 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.ABD 10.ABC 11.ACD 12.CD 13. 14 14. 6 15.−3 16.−52或2 17.(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，∵M，N分别是棱A1D1、C1D1的中点，∴MM=12A1C1=12AC=12AB+AD=12a+12b，AM=AA1+A1M=AA1+12AD=12b+c，(2)证明：由(1)知MN⃗=12AC⃗，又MN、AC不共线，所以MN//AC． 18.(1)由题意AB=(1,2,−2),AC=(2,4,x−3)，又A,B,C三点共线，所以12=24=−2x−3，可得x−3=−4，故x=−1；(2)由(1)及AB⊥AC，则AB⋅AC=(1,2,−2)⋅(2,4,x−3)=2+8−2(x−3)=0，所以x=8． 19.(1) 因为正方体的棱长为2，O为坐标原点，则O的坐标为O(0,0,0)，点B在y轴上，则B(0,2,0)，点C1的坐标为C1(2,2,2)．(2)由(1)可知，B(0,2,0)，C1(2,2,2)，则BC1=(2,0,2)．(3)因为O(0,0,0)，B(0,2,0)，则OB=(0,2,0)，且BC1=(2,0,2)，则OB⋅BC1=0×2+2×0+0×2=0，OB= 02+22+02=2，BC1= 22+02+22=2 2，则cos =OB⋅BC1OB⋅BC1=02×2 2=0，且 ∈0,π，所以 =π2，即向量OB与BC1的夹角为π2． 20.(1)由底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，M是棱PD的中点，根据题图知，A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(0,0,2),M(1,0,1)；(2)由(1)知，直线AM,PB的方向向量分别为AM=(1,0,1)，PB=(0,2,−2)，由PC=(2,2,−2)，DC=(0,2,0)，若m=(x,y,z)是平面PCD的一个法向量，所以m⋅PC=2x+2y−2z=0m⋅DC=2y=0，可取m=(1,0,1)；(3)由(2)知m=AM=(1,0,1)，而m是平面PCD的一个法向量，所以AM⊥平面PCD；(4)由(2)，|cosm,PB|=|m⋅PB|m||PB||=22 2× 2=12，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为12，而线面角的范围为[0,π2]，所以直线PB与平面PCD所成角为π6． 21.(1)当λ=1时直线BC1与平面EFPQ平行，理由如下，以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下空间直角坐标系，则B(2,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,1,0)、F(1,0,0)，P(0,0,1)，BC1=(−2,0,2)，FP=(−1,0,1)，则BC1=2FP，故BC1//FP，由BC1⊄平面EFPQ，FP⊂平面EFPQ，因此BC1//平面EFPQ；(2)由(1)知E(2,1,0)、F(1,0,0)、P(0,0,λ)、N(1,0,2)、M(2,1,2)，设平面EFPQ的一个法向量为m=x1,y1,z1，EF=(−1,−1,0)，FP=(−1,0,λ)，由m⋅EF=0m⋅FP=0，可得−x1−y1=0−x1+λz1=0，取x1=λ，则m=(λ,−λ,1)，设平面PQMN的一个法向量为n=x2,y2,z2，MN=(−1,−1,0)，NP=(−1,0,λ−2)，由n⋅MN=0n⋅NP=0，可得−x2−y2=0−x2+(λ−2)z2=0，取x2=λ−2，则n=(λ−2,2−λ,1)，当面EFPQ与面PQMN垂直时，则m⊥n．且m⋅n=λ(λ−2)−λ(2−λ)+1=0，整理可得2λ2−4λ+1=0，0<λ<2，解得λ=1± 22． 第7页，共7页。