江苏省锡东高级中学2026届高三9月阶段性检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A= x1x−1<1,B= x2x>12，则( )A. A∩B=x|x>2 B. A∩B=x|−1 −1 D. A∪B=R2.若复数z满足zi=2+i，则z=( )A. 1−2i B. 1+2i C. −1+2i D. −1−2i3.已知函数f(x)=tanx，则“x0=kπ,k∈Z”是“f(x)的图象关于点x0,0对称”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x3+ax2−a+1(a为常数)，则不等式f(3x+5)> −2的解集为( )A. (−∞,−1) B. (−1,+∞) C. (−∞,−2) D. (−2,+∞)5.已知α,β∈0,π4，cos2α−sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为( )A. π12 B. π6 C. π4 D. π36.若向量a,b,c都是单位向量，且a+b=c，则a与a−b的夹角为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π67.函数f(x)=sinπx+1x−1，则y=f(x)的图象在−2, 4内的零点之和为( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 88.若函数f(x)=x−13sin2x+asinx在R上单调递增，则a的取值范围是A. [−1,1] B. −1,13 C. −13,13 D. −1,−13二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )A. 当a>1时，f(x)有三个零点B. 当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C. 存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D. 存在a，使得点1,f(1)为曲线y=f(x)的对称中心10.将函数f(x)=sinωx−π6(0<ω<6)的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，若0,πω是g(x)的一个单调递增区间，则( )A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)在2π3,4π3上单调递增C. 函数F(x)=f(x)+g(x)的最大值为 3D. 方程f(x)=−12在0,2π上有5个实数根11.若f(x+1)为奇函数，且f(3−x)=f(1+x)，则下列说法正确的是( )A. f(1)=0 B. f(x)的一个周期为2C. f(x−4)=f(x) D. k=12026f(4k+1)=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量a=(3,4)，c⊥a，且c=1，则向量c的坐标为 ．13.已知函数f(x)=lnx3，g(x)=mx，若关于x的方程f(x)=g(x)恰有两个实数根，则实数m的取值范围是 ．14.已知a,b满足a= 3,b=1，且对任意的实数x，不等式a+xb≥a+b恒成立，设a,b的夹角为θ，则tan2θ= ．四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)设函数f(x)=cosxcosx−π6+ 3sin2x−3 34．(1)当x∈π12,π2时，求函数f(x)的最小值并求出对应的x；(2)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a= 3，且fA2+π3= 34，求▵ABC周长的取值范围．16.(本小题15分)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．(1)设BC⋅CA=CA⋅AB，判断△ABC的形状；(2)设向量s=(2sinC,− 3)，t=(cos2C,2cos2C2−1)，且s//t，若sinA=23，求sin(π3−B)的值．17.(本小题15分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AC上，且满足DB:DA:DC=2:3:4，▵ABC的面积S=BD⋅b⋅sinB2(1)证明：2b2=7ac(2)求cos∠ABC．18.(本小题17分)已知函数f(x)=12ax2−ex(a∈R)(e为自然对数的底数)．(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点0,f(0)处的切线方程；(2)若当x≥0时，不等式f(x)≤−x−1恒成立，求实数a的取值范围．19.(本小题17分)已知函数f(x)=lnx−2ax+1(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．参考答案1.D 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.C 9.AD 10.ACD 11.ACD 12.45,−35或−45,35 13.0,3e 14.2 2 15.(1)因为f(x)=cosxcosx−π6+ 3sin2x−3 34= 32cosxcosx+12cosxsinx+ 3sin2x−3 34= 32cos2x+14sin2x+ 3sin2x−3 34= 32sin2x− 34+14sin2x=14sin2x− 34cos2x=12sin(2x−π3)，即f(x)=12sin(2x−π3)，因为x∈π12,π2，所以2x−π3∈−π6,2π3，由y=sinx的图像与性质知，当2x−π3=−π6，即x=π12时，函数f(x)取到最小值为−14，即当x∈π12,π2时，函数f(x)的最小值为−14，此时x=π12．(2)因为fA2+π3= 34，由(1)得到12sin2×(A2+π3)−π3=12sin(A+π3)= 34，即sin(A+π3)= 32，又因为A+π3∈(π3,4π3)，所以得到A+π3=2π3，即A=π3，又a= 3，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得到3=b2+c2−bc，又由基本不等式知，bc≤b+c22，当且仅当b=c取等号，所以3=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc≥14(b+c)2，得到b+c≤2 3，又因为b+c>a= 3，所以2 31时，令ℎ′(x)=0，解得：x=lna，当x∈0,lna时，ℎ′(x)>0，则g′(x)单调递增，此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在0,lna上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，即当x∈0,lna时，f(x)> −x−1，即f(x)≤−x−1不恒成立，可知a>1不合题意．综上所述，a∈(−∞,1]． 19.(1)函数f(x)=lnx−2ax+1，定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−2a，当a≤0时，f′(x)>0．故f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，此时无减区间．当a>0时，令f′(x)=1x−2a=0，得x=12a>0；当x∈0,12a时，f′(x)>0，故f(x)单调递增；当x∈12a,+∞时，f′(x)<0，故f(x)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，此时无减区间；当a>0时，f(x)在0,12a上单调递增，在12a,+∞上单调递减．(2)由(1)知，a≤0时，f(x)至多一个零点，不符合题意；当a>0时，f(x)在x∈0,12a上单调递增，在x∈12a,+∞上单调递减．f(x)要有两个零点，需满足f12a>0，即01．因为f1e=−1−2ae+1<0，所以f(x)在0,12a有一个零点；因为1a2>12a，f1a2=−2lna−2a+1．令ℎ(a)=−2lna−2a+1，ℎ′(a)=−2a+2a2=2(1−a)a2>0，所以ℎ(a)在0,12单调递增，ℎ(a)<ℎ12=2ln2−3<0，所以f1a2<0，所以f(x)在12a,+∞上有一个零点．所以0