2024-2025学年山东省日照市经开区献唐中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.“珍惜生命，注意安全”是一永恒的话题．在现代化的城市，交通安全晚不能被忽视，下列几个图形是国际通用的几种交通标志，其中不是中心对称图形是( )A. B. C. D. 2.方程x2+x−12=0的两个根为( )A. x1=−2，x2=6 B. x1=−6，x2=2C. x1=−3，x2=4 D. x1=−4，x2=33.抛物线y=−x2−x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为( )A. −14 B. 14 C. −4 D. 44.若关于x的一元二次方程(k+2)x2+3x+k2−k−6=0必有一根为0，则k的值是( )A. 3或−2 B. −3或2 C. 3 D. −25.如图，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是( )A. (−3,−2)B. (2,2)C. (3,0)D. (2,1)6.对于二次函数y=3(x+1)(x−2)下列说法正确的是( )A. 图象开口向下 B. 与x轴交点坐标是(1,0)和(−2,0)C. x<−1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=−17.若点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−1,y3)三点在二次函数y=x2−4x−m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1>y2>y3 B. y2>y1>y3 C. y2>y3>y1 D. y3>y1>y28.直线y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，那么y=ax2+bx+3的图象大致为( )A. B. C. D. 9.如图，是抛物线形拱桥的剖面图，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位上升1米，则水面宽度变为( )A. 2B. 2 2C. 2D. 310.如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为( )A. 2B. 2 3C. 2 5D. 2611.若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2024，则一元二次方程a(x−1)2+bx−b+2=0必有一根为( )A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 202512.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③3a+c>0；④(a+c)2
13.若菱形两条对角线的长度是方程x2−4x+3=0的两根，则该菱形的面积为______．14.一元二次方程x2−5x+3=0的两根为x1，x2，则x12−4x1+x2−3x1x2的值为______．15.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2+b2)(a2+b2+1)=12，则这个直角三角形的斜边长为______．16.已知二次函数y=mx2+2mx+1(m>0)，在−2≤x≤3时，有最大值6，则m=______．三、解答题：本题共6小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题12分)正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1)，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：(1)试作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；点B1的坐标为______；(2)作△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；点B2的坐标为______．18.(本小题12分)已知关于x的方程2x2−(k−1)x=−18k2有两个实数根x1、x2．(1)求的取值范围；(2)是否存在k，使得x12+x22=74成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19.(本小题12分)△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE．(1)如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，∠BCE= ______；若AD与BE交于点F，则∠AFB= ______；(2)将图②中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：BE=AD．20.(本小题12分)如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数y=mx+n的图象过点B、D．(1)直接写出点C、D的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)将二次函数y=ax2+bx+3向左平移3个单位，并向下平移1个单位，直接写出得到的函数图象的解析式；(4)根据图像直接写出ax2+bx+3≥mx+n的解集；(5)若将直线BD沿y轴的正方向向上平移k个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时k的值．21.(本小题12分)我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.22.(本小题12分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4)，B(1,0)，C(5,0)，其对称轴与x轴相交于点M．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.D 12.B 13.32 14.−7 15. 3 16.13 17.(1)(0,3)；(2)(4,−1). 18.解：(1)2x2−(k−1)x=−18k2整理得2x2−(k−1)x+18k2=0，根据题意得Δ=[−(k−1)]2−4×2×18k2≥0，解得k≤12；(2)成立．根据题意得x1+x2=k−12，x1⋅x2=116k2，∵x12+x22=74，∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=74，∴(k−12)2−18k2=74，整理得k2−4k−12=0，解得k1=6，k2=−2，∵k≤12，∴当k=−2时，x12+x22=74成立． 19.(1)120°；60°．(2)证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD．在△BCE与△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD．20.解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，∴二次函数y=ax2+bx+3的对称轴为x=−3+12=−1，当x=0时，y=3，∴C(0,3)，∵点C、D是二次函数图象上一对对称点，∴设D(m,3)，∴m+02=−1，解得：m=−2，∴D(−2,3)；(2)二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，∴0=9a−3b+30=a+b+3，解得：a=−1b=−2，∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3；(3)∵y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴二次函数y=ax2+bx+3向左平移3个单位，并向下平移1个单位后为：y=−(x+3+1)2+4−1，即y=−(x+4)2+3，整理得：y=−x2−8x−13；(4)∵二次函数和一次函数y=mx+n的图象过点B、D，且B(1,0)，D(−2,3)，∴ax2+bx+3≥mx+n的解集为：−2≤x≤1；(5)一次函数y=mx+n的图象过点B、D，且B(1,0)，D(−2,3)，∴0=m+n3=−2m+n，解得：m=−1n=1，∴直线BD的解析式为：y=−x+1，∴一次函数向上平移k个单位后的解析式为：y=−x+1+k，∵二次函数为：y=−x2−2x+3，∴−x+1+k=−x2−2x+3，∴x2+x+k−2=0，∵与抛物线只有一个公共点，∴Δ=12−4×1×(k−2)=0，∴1−4(k−2)=0，∴1−4k+8=0，∴−4k=−9，解得：k=94． 21.解：(1)由题意y=(x−5)(100−x−60.5×5)=−10x2+210x−800故y与x的函数关系式为：y=−10x2+210x−800(2)要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=−10x2+210x−800=−10(x−10.5)2+302.5=240解得，x1=8，x2=13∵−10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．(3)∵每件文具利润不超过80%∴x−55≤0.8，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由(1)得y=−10x2+210x−800=−10(x−10.5)2+302.5∵对称轴为x=10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x=9时，取得最大值，此时y=−10(9−10.5)2+302.5=280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元． 22.解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=ax−1x−5，把点A(0,4)代入上式得：a=45，∴y=45x−1x−5=45x2−245x+4=45x−32−165，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；(2)存在，理由如下：∵点A(0,4)，抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6,4)，如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，设直线BA′的解析式为y=kx+bk≠0，把A′(6,4)，B(1,0)代入得4=6k+b0=k+b，解得k=45b=−45，∴y=45x−45，∵点P的横坐标为3，∴y=45×3−45=85，∴P(3,85)；(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，设N点的横坐标为t，此时点N(t,45t2−245t+4)(0