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1、高等数学教学课件高等数学教学课件山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部山东信息职业技术学院基础部1第六节 微分及其应用二、微分的几何意义三、微分公式与法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义 2引例引例:问此薄片面积改变了多少? 变到边长由设正方形面积为 A , 则关于x 的线性主部故称为函数在 处的微分的高阶无穷小的高阶无穷小时为时为时时,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其3处的处的微分微分,在点 x 处的增量可表示为则称函数而 称为记作即定理定理: 函数函数在点在点 x 处可微的处可微的充要
2、条件充要条件是是即在点处处可微可微,定义定义定义定义: : : : 若函数若函数若函数若函数4则有从而导数也叫作微商导数也叫作微商已知导数求微分已知导数求微分已知微分求导数已知微分求导数若则故在点 x 处可微，若即则必要性必要性充分性充分性定理定理: 函数函数在点在点 x 处可微的处可微的充要条件充要条件是是即5例例1 求函数求函数 当当x由由1改变到改变到1.01时的微分时的微分.解解 函数的微分为函数的微分为例例2 求下列函数的微分：求下列函数的微分：解解6切线纵坐标的增量MNTP故时时,设,则 x =2时切线方程为7（二）设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数为常数)（一
3、）基本初等函数的微分公式 (见 P61表)例证：8例例3 设设 ，求，求 .解法一解法一应用微分和导数的关系应用微分和导数的关系方程两边同时求关于方程两边同时求关于 x 的导数得的导数得解得解得所以所以9例例3 设设 ，求，求 .解法二解法二应用微分法则应用微分法则方程两边分别求微分得方程两边分别求微分得即即所以所以10分别可微 ,的微分为微微分分形形式式不不变变性性（三）复合函数的微分则复合函数例例4 设例例5 求，求11例例4 设，求解法一解法一解法二解法二12例例5 求解法二解法二解法一解法一13当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:14很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明
4、: 令得特别当15的近似值解解: 设取则例例6 求16的近似值解解:例例7 计算17为了提高球面的光洁解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )只球需用铜多少克 估计一下, 每度，要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm , 例例8 有一批半径为1cm 的球 ,181 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2 微分运算法则微分形式不变性 ：( u 是自变量或中间变量 )3 微分的应用近似计算191. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .202. 2.21由方程确定,解解: 方程两边求微分, 得当时由上式得求6. 设 且则5. 设22P66 4 (1)，(3 )，(5 )，(7 )，( 9)作业谢谢！谢谢！23
