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1、 混沌与随机数教学幻灯片四一个最根本的混沌模型 虫口模型 虫口模型又称为Logistic映射 ： 在某一范围内单一种类的昆虫繁衍时，其 第n年的数量与第n+1年的数量可以表示为： xn+1=xn(a-bxn) 其中a表示增长率，-bxn表示思索到争夺 食物等要素引起的虫口饱和。一个最根本的混沌模型 虫口模型为了数学上处置的方便，我们再设a=b=,因此思索以下关系式： xn+1=xn(1-xn) 我们下面进一步分析Logistic方程所描画的虫口问题的一些特征 一个最根本的混沌模型 虫口模型当取=2.5,xo=0.5时 x1=0.625 x2=0.5859375 x28=0.599999998
2、x29=0.6 x30=0.6 一个最根本的混沌模型 虫口模型可以看出，当n的值大于29时，x的值不再改动，即使改动x0的值，只需=2.5,迭代方程最终会收敛到0.6，不同的只是到达收敛值的迭代途径。即不论初值为什么，迭代方程最终都会被吸引到一个固定值，这个固定值被称为吸引子。一个最根本的混沌模型 虫口模型我们再取=3.3，x0=0.5，可得： . x32=0.479427020 x33=0.823603283 x34=0.479427020 x35=0.823603283 .一个最根本的混沌模型 虫口模型 可见，当取3.3时，有两个吸引子， 这种收敛轨迹被称为周期2轨迹。 一个最根本的混沌模
3、型 虫口模型 我们根据参数的取值讨论如下：大于0小于等于1 时 除了不动点Xs=0外，在也没有其他周期点，且Xs为吸引不动点吸引子，即迭代方程最后会归于0，虫子最终会灭绝。大于1小于3时不动点0，1-1/为仅有的两个周期点，且0为排斥不动点，1-1/为吸引不动点。一个最根本的混沌模型 虫口模型大于等于3小于等于4时系统的动力学形状非常复杂，系统由倍周期通向混沌。前面的=3.3就是这样。大于4时系统的动力学形状更复杂。一个最根本的混沌模型 虫口模型以下图给出了不同的值下虫口模型的时间序列 特征量n Lyapunov指数n Lyapunov维数n kolmogorov熵 Lyapunov指数 混沌
4、运动的根本特点是运动对初值条件极为敏感。两 个很接近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方 式分别，我们用Lyapunov指数来描画这一景象。 与初始值的选取没有关系，称为Lyapunov指数。 它表示平均每次迭代所引起的指数分别中的指数。 Lyapunov指数指数分别我们用以下图表示 x0-x0+ n次迭代 F(x0)- en -F(x0+) 故0可作为系统混沌行为的一个判据 。对Logistic映 射，思索参数3.44，假设=3.5699, =3.5699, 0,对应混沌运 动。Lyapunov维数我们设Lyapunov指数按从大到小的顺序陈列为： 123.，那么混沌吸引子的Lyapuno
5、v维数定义为：其中, ，k是保证Sk0的最大k值。kolmogorov熵 思索一个n维动力系统，将它的相空间分割成一个个边长为的n维立方体盒子，对于形状空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道xt，取时间间隔为一个很小的量，令P(i0,i1,.id)表示起始时辰系统轨道在第i0个格子中，t=在第i1个格子中，t=d在第id个格子中的结合概率，那么Kolmogonov熵定义为：kolmogorov熵同样，我们可以运用K值可判别系统运动的性质：1、假设K=0，表示系统做规那么运动； 2、假设K=，表示系统做随机运动； 3、假设K取有限正值，表示系统做混沌运动。常见运动形状的特征量表我们再给出几种常
6、见的运动形状的特征量，如下表： 吸引子 维数 Lyapunov 指数 K熵 稳定定态 点 0 0 0周期运动 闭曲线 1 0 0混 沌 奇怪 非整数只有10 0K0,对于恣意的0和x属于V，在x的邻域内存在y和自然数n，使得d(f(x),f(y) 。拓扑传送性。对于V上的恣意一对开集X,Y, 存在k0,使f(X)Y。f的周期点集在V中稠密。 那么称f是在Devaney意义下V上的混沌映射或混沌运动。 Logistic方程作为模型的混沌序列发生器 选择Logistic方程作为模型 只需给定适宜的大于3.5699值， 就能使产生的序列满足混沌特性 。 我们选择很接近的两个初值0.3256和 0.3
7、257，而取3.9，生成5050的矩 阵，如以下图： Logistic方程作为模型的混沌序列发生器Logistic方程作为模型的混沌序列发生器混合光学双稳模型产生的混沌序列 我们还可以选取混合光学双稳模型作为混沌序列的生成模型： 两个参数A、xB，分别取4和2.5 ，赋给它不同的初值x0将得到不同的混沌序列 混沌时间序列的判别方法 n功率谱方法n Lyapunov指数法 功率谱方法n谱图假设具有单峰或几个峰，那么对应于周期序列；n假设无明显的峰值或峰值连成一片，那么对应于湍流或混沌序列。n 以下图是虫口模型时间序列的功率谱密度。功率谱方法Lyapunov指数法 在Lyapunov指数0的方向，相体积收缩，运动稳定，且对初始条件不敏感；在0的方向轨道迅速分别，长时间行为对初始条件敏感，运动呈混沌形状；=0对应于稳定边境，属于一种临界情况。假设系统最大Lyapunov指数大于0，那么该系一致定是混沌的，所以时间序列的最大Lyapunov指数能否大于0可作为该序列能否混沌的一个判据。
