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1、21.2求曲线的方程求曲线的方程1在在我我们的的现实生生活活中中，处处可可见曲曲线的的身身影影，从从飞逝逝的的流流星星到到雨雨后后的的彩彩虹虹，从从古古代代的的石石拱拱桥到到现代代雄雄伟壮壮观的的跨跨江江(河河)桥梁梁，从从众众多多的的商商品品设计到到卫星星上上天天的的控控制制等等等等，无无不不体体现人人们对曲曲线的的刻刻画画和和应用用随随着着科科学学技技术的的运运用用，设计者者运运用用点点的的坐坐标来来刻刻画画曲曲线，即即把把曲曲线数数量量化化，曲曲线与与点点的的坐坐标如何建立如何建立联系呢？系呢？2你你能能求求出出到到A(2，3)和和B(4，1)的的距距离离相相等等的的点点所所满足的方程足
2、的方程吗？求曲？求曲线方程的一般步方程的一般步骤是什么？是什么？求曲线的方程的一般步骤求曲线的方程的一般步骤步步骤方法方法(1)建系建系设点点建立适当的坐建立适当的坐标系，用有序系，用有序实数数对(x，y)表示曲表示曲线上上任意一点任意一点M的坐的坐标(2)找等量找等量写出适合条件写出适合条件P的点的点M的集合的集合PM|P(M)(3)列方程列方程用坐用坐标表示条件表示条件P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0(4)化化简化方程化方程f(x，y)0为最最简形式形式(运算要合理，准确运算要合理，准确)(5)检验检验所求的方程中有无特殊点情况所求的方程中有无特殊点情况教材教材P36例例3例例1
3、.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的每的上方，它上面的每一点到一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建立建立适当的坐标系，求这条曲线的方程适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0, 所以曲线的方程是所以曲线的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B
4、，2.建立适当的坐标系建立适当的坐标系(1)若若条条件件中中只只出出现现一一个个定定点点，常常以以定定点点为为原原点点建建立立直直角角坐坐标系；标系；(2)若若已已知知两两定定点点，常常以以两两定定点点的的中中点点为为原原点点，两两定定点点所所在在的直线为的直线为x轴建立直角坐标系；轴建立直角坐标系；(3)若若已已知知两两条条互互相相垂垂直直的的直直线线，则则以以它它们们为为坐坐标标轴轴建建立立直直角坐标系；角坐标系；(4)若若已已知知一一定定点点和和一一定定直直线线，常常以以点点到到直直线线的的垂垂线线段段的的中中点点为为原原点点，以以点点到到直直线线的的垂垂线线的的反反向向延延长长线线为为
5、x轴轴建建立立直直角角坐坐标系标系已已知知RtABC，|AB|2a(a0)，求求直角直角顶点点C的的轨迹方程迹方程解题过程解题过程以以AB所所在在直直线线为为x轴轴，AB的的中中点点为为坐坐标标原原点点，建建立立如如图图所所示的直角坐标系，则有示的直角坐标系，则有A(a,0)，B(a,0)，设顶点，设顶点C(x，y)由由ABC是直角三角形可知是直角三角形可知|OC|OB|a，C点的轨迹是以点的轨迹是以O为圆心，以为圆心，以a为半径的圆为半径的圆(除去除去A、B两点两点)C点的轨迹方程为点的轨迹方程为x2y2a2(xa)题题后后感感悟悟(1)求求曲曲线线的的方方程程时时，若若题题设设条条件件中中
6、无无坐坐标标系系，则则需需要要恰恰当当建建系系，要要遵遵循循垂垂直直性性和和对对称称性性的的原原则则，即即借借助助图图形形中中互互相相垂垂直直的的直直线线建建系系，借借助助图图形形的的对对称称性性建建系系一一方方面面让让尽尽量量多多的的点点落落在在坐坐标标轴轴上上，另另一一方方面面能能使使求求出出的的轨轨迹迹方方程程形式简洁形式简洁(2)如如果果动动点点的的轨轨迹迹满满足足某某种种已已知知曲曲线线的的定定义义，则则可可依依据据定定义义结结合合条条件件写写出出动动点点的的轨轨迹迹方方程程利利用用定定义义法法求求轨轨迹迹要要善善于于抓住曲线的定义特征抓住曲线的定义特征2.过点点P(2,4)作作两两
7、条条互互相相垂垂直直的的直直线l1、l2，若若l1交交x轴于于A点点，l2交交y轴于于B点点，求求线段段AB的中点的中点M的的轨迹方程迹方程动点点M在在曲曲线x2y21上上移移动，M和和定定点点B(3,0)连线的中点的中点为P，求，求P点的点的轨迹方程迹方程3.已已知知点点A是是抛抛物物线yx24上上的的动点点，过A作作ABx轴，垂垂足足为B，试求求线段段AB的的中中点点M的的轨迹方程迹方程解解析析： 设设M(x，y)，A(x0，y0)，则则B点点坐坐标标为为(x0,0)M为线段为线段AB的中点，的中点，3求曲线方程求曲线方程(轨迹方程轨迹方程)常见的方法常见的方法直接法直接法动点点满足的几何
8、条件本身就是几何量的等量关系，只需足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把把这种关系种关系“翻翻译”成含成含x，y的等式就得到曲的等式就得到曲线的的轨迹方程迹方程定定义法法动点点满足已知曲足已知曲线的定的定义，可先，可先设定方程，再确定其中定方程，再确定其中的基本量的基本量代入法代入法动点点满足的条件不便用等式列出，但足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一点是随着另一动点点(称之称之为相关点相关点)而运而运动的如果相关点所的如果相关点所满足的条件是明足的条件是明显的，或是可分析的，的，或是可分析的，这时我我们可以用可以用动点坐点坐标表示相关点表示相关点坐坐标，根据相关点所，根据相关点所满
9、足的方程即可求得足的方程即可求得动点的点的轨迹方程迹方程待定系数待定系数法法根据条件能确定曲根据条件能确定曲线的的类型，可型，可设出方程形式，再根据出方程形式，再根据条件确定待定的系数条件确定待定的系数1已已知知A(1,0)，B(1,0)，动点点M满足足|MA|MB|2，则点点M的的轨迹方程是迹方程是()Ay0(1x1) By0(x1)Cy0(x1) Dy0(|x|1)答案：答案：C 解解析析：根根据据圆圆的的定定义义，到到定定点点的的距距离离等等于于定定长长的的点点的的轨轨迹迹是是圆圆，故故点点M的的轨轨迹迹是是以以O为为圆圆心心、以以2为为半半径径的的圆圆弧弧故故选选D.答案：答案：D4已
10、已知知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第第三三个个顶顶点点C在在曲曲线线y3x21上上移移动动，求求ABC的的重重心心的的轨迹方程轨迹方程 等等腰腰三三角角形形的的顶点点是是A(4,2)，底底边一一个个顶点点是是B(3,5)，求求另另一一个个顶点点C的的轨迹迹方方程程，并并说明它的明它的轨迹是什么？迹是什么？【错错因因】造造成成以以上上错错误误的的原原因因是是没没有有认认真真考考虑虑题题目目要要求求的的几几何何条条件件实实际际上上有有两两个个：(1)A、B、C三三点点要要组组成成一一个个三三角角形形；(2)A、B、C三三点点组组成成的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形错错解解过过程程中中，只只是是根根据据条条件件(2)，由由|AC|AB|求求出出方方程程，所所得得方方程程保保证证满满足足条条件件(2)，而而无无法法保保证证满满足足条条件件(1)，解解题题后后没没有有进行检验，因此造成解题不严密进行检验，因此造成解题不严密
