切线的性质和判定定理

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1、点和圆的位置关系有几种？点和圆的位置关系有几种？ 点到圆心的距离为点到圆心的距离为d d，圆的半径为圆的半径为r r，则：，则：点在圆外 dr;点在圆上 d=r；点在圆内 dr.ABC位置关系位置关系数形结合：数形结合：数量关系数量关系判断一个点和圆的位置关系方法是判断一个点和圆的位置关系方法是：判断点到圆：判断点到圆心的距离心的距离d和圆的半径和圆的半径r的大小关系的大小关系(2)直线和圆有直线和圆有唯一个唯一个公共点公共点, 叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切, 这条直线叫这条直线叫圆的切线圆的切线， 这个公共点叫这个公共点叫切点。切点。(1)直线和圆有直线和圆有两个两个公共点公共点, 叫做

2、直线和圆叫做直线和圆相交相交， 这条直线叫这条直线叫圆的割线，圆的割线， 这两个公共点叫这两个公共点叫交点。交点。(3)直线和圆直线和圆没有没有公共点时公共点时, 叫做直线和圆叫做直线和圆相离。相离。一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）直线和圆相交直线和圆相交d rrdrdrd数形结合：数形结合：位置关系位置关系数量关系数量关系二、直线和圆的位置关系（用圆心二、直线和圆的位置关系（用圆心o o到直线到直线l l的的 距离距离d d与圆的半径与圆的半径r r的大小关系来判断）的大小关系来判断）总结：总结：判定直线与圆的位置关系的方法有判定直线与圆的位置关系的方法有_种：种：（1 1）根

3、据定义，由）根据定义，由_ 的个数来判断；的个数来判断；（2 2）根据性质，由）根据性质，由_ 的大小关系来判断。的大小关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两两直线与圆的公共点直线与圆的公共点圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d与半径与半径r r切线的性质和判定切线的性质和判定张店区马尚一中张店区马尚一中钱宝玉钱宝玉 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞当你在下雨天快速转动雨伞时水飞

4、出的方向是什么方向？出的方向是什么方向？2 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？么方向？情景导入想一想 过圆过圆过圆过圆0 0 0 0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径过半径过半径过半径OAOAOAOA上一点（上一点（上一点（上一点（A A A A除外）能作圆除外）能作圆除外）能作圆除外）能作圆O O O O的切线吗？过点的切线吗？过点的切线吗？过点的切线吗？过点A A A A呢？呢？呢？呢？OOr rl l A A经过

5、半径的外端且垂于这条半径经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。 条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径； OAllOA，A A点是点是 O上一点上一点直线直线l是是O的切线的切线符符号号语语言言表表达达说明：说明：在此定理中，题设是在此定理中，题设是“经过半径的外端经过半径的外端”和和“垂直于垂直于这条半径这条半径”，结论为，结论为“直线是圆的切线直线是圆的切线”，两个条件缺一不，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线

6、不是圆的下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：切线：定理辨析判 断1. 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（ ）3. 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A1 1、如何

7、判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的切线；切线；(3)(3)经过经过半径外端并且垂直于这条半径的半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直线是圆的切线；(d=r(d=r) )归纳：归纳：例例1 直线直线直线直线ABAB经过经过经过经过 OO上的点上的点上的点上的点C,C,并且并且并且并且OA=OB,CA=CB,OA=OB,CA=CB, 求证求证求证求证: :直线直线直线直线ABAB是是是是 OO的切线的切线

8、的切线的切线. .证明证明: 连接连接OCOA=OB, CA=CBOA=OB, CA=CBOABOAB是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形,OC,OC 是底边是底边是底边是底边ABAB上的中线上的中线上的中线上的中线OCOCABABABAB是是是是 OO的切线的切线的切线的切线OCBA这种证明方法简记为：这种证明方法简记为：“证切线：连半径，证证切线：连半径，证垂直垂直”注意：注意：使用此方法时使用此方法时必须已知直线与圆有必须已知直线与圆有一公共点。一公共点。练练习习1、如如图图4，AB是是O的的直直径径，ABC=45，AC=AB，AC是是O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？

9、BACO解：解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即即ABAC AB是是 O的直径的直径 AC是是 O的切线的切线变式练习练习练习2、如图、如图:线段线段AB经过圆心经过圆心O，交，交 O于于点点A、C，BAD=B = 30，边，边BD交圆交圆于点于点D。BD是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？ AOBCD解：解：BD是是 O的切线的切线连接连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即：即： ODDB BD是是 O的切线的切线变式练习证明：连结证明：连结OPOP。 ABAB为直径为直径 OB=OAOB=OA， BP=PCBP=P

10、C， OPACOPAC。 又又 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为0 0的切线。的切线。练习练习3,ABC3,ABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O，交，交边边BCBC于于P P，BP=PC, PEACBP=PC, PEAC于于E E。 求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P变式练习例例2 2: : : :已知：已知：已知：已知：O O O O为为为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，ODABODABODABODAB于于于于D,D,D,D,以以以以O O O O为圆心，为圆心，为

11、圆心，为圆心，ODODODOD为为为为 半径作半径作半径作半径作O O O O。求证：求证：求证：求证：O O O O与与与与ACACACAC相切。相切。相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。小 结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ? (1) (1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点和圆则连结这点和圆心心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所

12、作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线段长再证垂线段长等于半径长。简记为：等于半径长。简记为：作垂直作垂直, ,证半径证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D.OOA AL L 如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线L L是是是是 OO的切线的切线的切线的切线, ,切点为切点为切点为切点为A,A,那么半径那么半径那么半径那么半径O

13、AOA与直线与直线与直线与直线L L是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢是不是一定垂直呢? ?一定垂直一定垂直一定垂直一定垂直( (可用反证法来证）可用反证法来证）可用反证法来证）可用反证法来证）切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径直线直线L是是 O的切线，的切线，A是是切点。切点。 LOA于于A点点简记为：简记为：“知切线，连半径，得垂直知切线，连半径，得垂直”切线的性质定理反证法切线的性质定理反证法 假设切线假设切线l l不垂直于过切点的半不垂直于过切点的半径径OAOA， 过点过点O O作一条作一条l l的垂线的垂线OBOB。则。则

14、OBOBOAOA这条半径由直线和圆的位这条半径由直线和圆的位置关系中的数量关系，得置关系中的数量关系，得l l和和O O相交，这与已知直线相交，这与已知直线l l和圆相切相和圆相切相矛盾。矛盾。 所以，半径所以，半径OAOA和直线和直线l l垂直。垂直。例例3如图，如图，AB是是 O的直径的直径, C为为 O上一点，上一点，AD和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D. 求证：求证：AC平分平分 DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是 O的切线，的切线，OC CD.又又ADCD , OC/AD. ACO CAD .又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO

15、 ,故故AC平分平分DAB1， 如图：如图：AC是是 O的切线，的切线，B=600。求。求CAD=BACOD 2、 已已知知如如图图，ABC为为等等腰腰三三角角形形，O是是底底边边BC的的中中点点， O与与腰腰AB相相切切于于点点D。AC与与 O相相切切吗吗？为什么为什么?E解：解：AC与与 O相切相切 连接连接OD,作作OEAC OEC=900 AB是是 O的切线的切线ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是是BC的中点的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与与 O相切相切课堂小结1. 1. 判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共

16、点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2. 2. 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径作垂直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线3.3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即即“连半径，得垂直连半径，得垂直”。