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1、1 1线 性 代 数 线 性 代 数 2 2xiesongfa126 Linear Algebra 线 性 代 数 谢 松 法 华中科技大学数学与统计学院 3 3一、教学内容一、教学内容 线性代数是工科各性代数是工科各专业必修的重要根底必修的重要根底实际课， 线性代数的主要内容包括：行列式、矩性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、向量代数、 是工科是工科 线性代数在工程技性代数在工程技术、科学研、科学研讨 本本课堂堂仅引引见前六个方面的内容，且其中前六个方面的内容，且其中带 “* 号号 学学习线性代数的性代数的难点在于点在于“入入门，即如何尽快地去了解，即如何尽快地去了解 和和顺应它所
2、引入的新的数学言它所引入的新的数学言语与数学工具。与数学工具。 数学教学的主要数学教学的主要课程之一。程之一。 和各行各和各行各业中有着广泛的运用。中有着广泛的运用。 线性方程性方程组、特征、特征值与特征向量、二次型、与特征向量、二次型、线性空性空间与与线性性 变换等。等。 的内容不需求掌握。的内容不需求掌握。 4 4二、教学及考核方式二、教学及考核方式考考试方式：方式： 闭卷卷作作业： 每周一次每周一次主要参考主要参考书略略答疑：答疑： 每周一次每周一次课堂教学：堂教学： 40 学学时考考试成果：成果： 作作业占占 20%，考，考试占占80%( (练习练习册册) )5 5线性代数研讨的主要问
3、题：线性代数研讨的主要问题：解线性方程组解线性方程组线性方程组的几种表示：6 61 1，规范式，规范式三元一次方程组：N元一次方程组：7 72 2，矩阵式，矩阵式设8 83 3，向量式，向量式设9 94 4，内积式，内积式设1010线性代数与解析几何的关系线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看它是一个平面，它的法向量是从线性代数看它是一个方程。1111线性代数与解析几何的关系线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看普通情况下它是两个平面交出的一条直线，从线性代数看它是一个方程组。1212线性代数与解析几何的关系线性代数与解析几何的关系同理对于下面对象：从解析几何看它是一个
4、超平面，它的法向量是从线性代数看它是一个方程。1313线性代数与解析几何的关系线性代数与解析几何的关系对于下面对象：从解析几何看普通情况下它是m个平面交出的一个仿射体，从线性代数看它是一个方程组。1414线性代数与解析几何的关系线性代数与解析几何的关系结论：几何中多个平面相交的不同情况对应着线性代数中线性方程组的解的不同情况。15第一章 行列式 第一章第一章 行列式行列式1.2 行列式的性行列式的性质质与与计计算算1.3 克莱姆克莱姆 (Cramer) 法那么法那么1.1 行列式的定行列式的定义义16第一章 行列式 1.1 行列式的定义 1.1 行列式的定行列式的定义义一、二阶与三阶行列式一、
5、二阶与三阶行列式二、二、n 阶行列式阶行列式17第一章 行列式 1.1 行列式的定义 利用消元法求解二元利用消元法求解二元线性方程性方程组一、二一、二阶与三与三阶行列式行列式行列式的引入来源于求解行列式的引入来源于求解线性方程性方程组，求解是数学与工程中最根本的求解是数学与工程中最根本的问题之一。之一。而而线性方程性方程组的的得得得得两式相减消去两式相减消去 得得引例引例 P 1 18第一章 行列式 1.1 行列式的定义 方程方程组的解的解为两式相减消去两式相减消去 得得类似地，消去类似地，消去 得得当当 时，时，由此引入二由此引入二阶行列式的定行列式的定义19第一章 行列式 1.1 行列式的
6、定义 称下式称下式为二二阶行列式行列式 定定定定定定义义义 对角角线法法副副对角角线主主对角角线一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式1. 二二阶阶行列式行列式 P 2 20第一章 行列式 1.1 行列式的定义 利用二利用二阶行列式求解二元行列式求解二元线性方程性方程组对于二元于二元线性方程性方程组当当 时，时，方程方程组的解的解为其中其中记记记记问题问题问题当当 时，时，方程方程组的解会怎的解会怎样样？ P 2 21第一章 行列式 1.1 行列式的定义 解解例例求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (独一解独一解) )22第一章 行列式 1.1 行列式的定义 解解例例求解二元线性方程组求
7、解二元线性方程组( (无无穷穷多解多解 ? ) ? ) 23第一章 行列式 1.1 行列式的定义 解解例例求解二元线性方程组求解二元线性方程组( (无解无解 ? ) ? ) 24第一章 行列式 1.1 行列式的定义 2. 三三阶阶行列式行列式一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式利用消元法求解三元利用消元法求解三元线性方程性方程组逐渐消去逐渐消去 可得可得引例引例其中其中由此引入三由此引入三阶行列式的定行列式的定义补补 25第一章 行列式 1.1 行列式的定义 称下式称下式为三三阶行列式行列式 定定定定定定义义义2. 三阶行列式三阶行列式一、二阶与三阶行列式一、二阶
8、与三阶行列式1. 二阶行列式二阶行列式问题问题问题三三阶行列式有何行列式有何计算算规律？它与二律？它与二阶行列式如何一致？行列式如何一致？补补 26第一章 行列式 1.1 行列式的定义 (1) 对对角角线线法法 三三阶行列式行列式计算算规律的律的讨论 ?补补 27第一章 行列式 1.1 行列式的定义 (2) 沙路法沙路法 三阶行列式计算规律的讨论三阶行列式计算规律的讨论 ?补补 28第一章 行列式 1.1 行列式的定义 (3) 陈陈列法列法 三三阶行列式共有行列式共有 6 项，即，即 3! 项每每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘都是位于不同行不同列的三个元素的乘积为陈列为陈列 的逆序数的逆
9、序数 (?)为自然数为自然数 的一个陈列的一个陈列;其中其中 三阶行列式计算规律的讨论三阶行列式计算规律的讨论 ?补补 29第一章 行列式 1.1 行列式的定义 (4) 递递推法推法 三阶行列式计算规律的讨论三阶行列式计算规律的讨论 ?利用已定利用已定义的二的二阶行列式来行列式来计算三算三阶行列式，行列式，即即补补 30第一章 行列式 1.1 行列式的定义 计算三阶行列式计算三阶行列式例例按对角线法那么，有按对角线法那么，有解解31第一章 行列式 1.1 行列式的定义 方程左端为方程左端为解解例例 求解方程求解方程由由 解得解得或或32第一章 行列式 1.1 行列式的定义 利用三利用三阶行列式
10、求解三元行列式求解三元线性方程性方程组对于三元于三元线性方程性方程组那么三元那么三元线性方程性方程组的解的解为令令补补 33第一章 行列式 1.1 行列式的定义 求解线性方程组求解线性方程组例例解解故方程故方程组的解的解为34第一章 行列式 1.1 行列式的定义 由由题意得意得求一个二次多项式求一个二次多项式 使使例例设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为解解故所求多项式为故所求多项式为由由有有35第一章 行列式 1.1 行列式的定义 二、二、n 阶行列式行列式前面从二元与三元前面从二元与三元线性方程性方程组的求解的求解问题出出发，分，分别 引出了二引出了二阶与三与三阶行列式的概念，行列式的
11、概念， 那么，那么，这些行列式的概念以及些行列式的概念以及线性方程性方程组的求解方法的求解方法 阶行列式求解二元与三元行列式求解二元与三元线性方程性方程组的方法。的方法。 能否推行并运用到能否推行并运用到 n 元元线性方程性方程组的求解的求解问题呢？呢？ 在在对三三阶行列式的行列式的计算所算所讨论的几种的几种规律中，究竟哪一种律中，究竟哪一种 更具有普通性呢？更具有普通性呢？ 并并给出了利用二出了利用二阶与三与三 特特别是是 P 2 36第一章 行列式 1.1 行列式的定义 二、二、n 阶行列式阶行列式经过前人不懈的努力，前人不懈的努力，终于探求出了一致的于探求出了一致的规律。律。本本课堂将采
12、用堂将采用递推法来定推法来定义普通的行列式，普通的行列式，避开避开诸如如陈列、逆序等一些概念。列、逆序等一些概念。人人们发现前面提到的前面提到的对角角线法与沙路法并不适宜普通法与沙路法并不适宜普通 的情形，的情形， 还是是对陈列法有所了解。列法有所了解。而而陈列法与列法与递推法才是真正可以推行的方法。推法才是真正可以推行的方法。 其目的是其目的是不不过有有兴趣的同窗最好趣的同窗最好 P 2 37第一章 行列式 1.1 行列式的定义 并按照特定的运算法那么并按照特定的运算法那么对应到到二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式把元素把元素 ai j 所在的第所在的第
13、i 行和第行和第 j 列划去后，列划去后，(n-1) 列元素列元素组组成成 (n-1) 阶阶行列式，行列式，剩下的剩下的 (n-1) 行行即：即：将将 个数排成个数排成 n 行行 n 列列, 一个数，一个数，?称之称之为 n 阶行列式，行列式，记为 P 3 38第一章 行列式 1.1 行列式的定义 二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式称称 Ai j 为元素元素 ai j 的代数余子式的代数余子式 .称称 Mi j 为元素元素 ai j 的余子式的余子式 .定定定定定定义义义记记 P 3 39第一章 行列式 1.1 行列式的定义 设行列式设行列式例如例如那么那么
14、为元素元素 a23 的余子式，的余子式，为元素元素 a23 的代数余子式的代数余子式 .留意留意无无论是行列式是行列式还是余子式，其是余子式，其结果都是果都是“数数.那么它那么它们究竟以什么究竟以什么样的运算法那么得到一个数呢？的运算法那么得到一个数呢？40第一章 行列式 1.1 行列式的定义 二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式和代数余子式余子式和代数余子式2. 行列式的行列式的递递推定推定义义定定义称下式称下式为 n 阶行列式行列式 当当 时，时，当当 时时.其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 .P 3定义定义1.141第一章 行列式 1.1 行列式的定义 计算行列式计算行列式例
15、例解解42第一章 行列式 1.1 行列式的定义 定理定理其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式 .对于恣意的对于恣意的 j 都有都有 称此称此计算方式算方式为将行列式按第将行列式按第 j 列展开列展开 .当当 时，时，当当 时时. 将行列式按恣意列展开将行列式按恣意列展开 证明证明(略略)P 5定理定理1.143第一章 行列式 1.1 行列式的定义 计算行列式计算行列式例例解解按第二列展开，得按第二列展开，得44第一章 行列式 1.1 行列式的定义 例例 计算行列式计算行列式解解按第二列展开，按第二列展开，得得45第一章 行列式 1.1 行列式的定义 二、二、n 阶行列式阶行列式1. 余子式
16、和代数余子式余子式和代数余子式2. 行列式的递推定义行列式的递推定义3. 几个典型的行列式几个典型的行列式补补 (1) 对对角行列式角行列式留意：留意： 行列式行列式 不是对角行列式。不是对角行列式。 46第一章 行列式 1.1 行列式的定义 3. 几个典型的行列式几个典型的行列式(2) 上三角行列式上三角行列式启启发 能否将一个普通行列式能否将一个普通行列式(的的计算算问题)转化化为对角或者角或者上三角行列式上三角行列式(的的计算算问题)？(3) 下三角行列式下三角行列式47第一章 行列式 1.1 行列式的定义 附：附：n 阶行列式的另一种定行列式的另一种定义其中其中为自然数为自然数 的一个陈列的一个陈列;为陈列为陈列 的逆序数的逆序数求求 的系数的系数.知知思索题思索题答案答案 的系数为的系数为48第一章 行列式 1.1 行列式的定义 轻松一下吧
