概率论与数理统计：随 机 事 件 的 概 率

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1、理学院应用数学系理学院应用数学系 第一章第二节第一章第二节 随随 机机 事事 件件 的的 概概 率率随机事件的频率随机事件的频率FrequencyA=“出现正面出现正面”u随机试验随机试验抛掷一枚均匀的硬币抛掷一枚均匀的硬币u试验总次数试验总次数n 将硬币抛掷将硬币抛掷n次次u随机事件随机事件u事件事件A出现次数出现次数m出现正面出现正面m次次u随机事件的频率随机事件的频率 频率及概率的统计定义频率及概率的统计定义德德.摩摩 根根 试试 验验 者者 抛抛 掷掷 次次 数数n 出现正面的次数出现正面的次数m 出现正面的频率出现正面的频率m/n 2048 1061 0.518 蒲蒲 丰丰 4040

2、 2048 0.5069 皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005 维维 尼尼 0.4998 14994 30000 抛掷硬币的试验抛掷硬币的试验Experiment of tossing coinu历史纪录历史纪录 随机事件随机事件A在相同条件下重复多次时，事件在相同条件下重复多次时，事件A 发发生的频率在一个固定的数值生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的附近摆动，随试验次数的增加更加明显。增加更加明显。频率和概率频率和概率u 频率的稳定性频率的稳定性u 事件的概率事件的概率 事件事件A的频率稳定在数值的频率稳定在数值p

3、，说明了数值，说明了数值p可以用可以用来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件来刻划事件发生可能性大小，可以规定为事件A的的概率。概率。 对任意事件，在相同的条件下重复进行对任意事件，在相同的条件下重复进行n次试验，次试验，事件发事件发 生的频率生的频率 m/n，随着试验次数，随着试验次数n的增大而稳定地在的增大而稳定地在某个常数某个常数 附近摆动那么称附近摆动那么称p为事件的概率为事件的概率 概率的统计定义概率的统计定义 当试验次数足够大时，可以用事件当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似发生的频率近似的代替事件的代替事件A的概率。的概率。考察如下几个试验：考察如下几个试验：抛两枚均

4、匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。抛两枚均匀的硬币，观察它们出现的正反面的情况。掷骰子一颗，观察其点数。掷骰子一颗，观察其点数。掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的掷一颗骰子并抛一枚硬币，观察骰子的点数和硬币的 正反面情况。正反面情况。它们都具备如下特点：它们都具备如下特点：（1）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。）每次试验中，所有可能的结果只有有限多个。（2）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。）每次试验中，每一种可能的结果发生的可能性相同。满足这些条件的数学模型称作满足这些条件的数学模型称作古典概率。古典概率。 古典概率古典概率 (Classical Prob

5、ability)古典概率的概率定义古典概率的概率定义设一古典概率的试验结果共有设一古典概率的试验结果共有 个基本事件，而事件个基本事件，而事件 A 由由其中的其中的 个基本事件组成，则事件个基本事件组成，则事件 A 的概率为：的概率为：一、模球问题（产品的随机抽样问题）一、模球问题（产品的随机抽样问题）例盒中有只灯泡，其中只次品，只正品，分两例盒中有只灯泡，其中只次品，只正品，分两种情况求下列事件、的概率：种情况求下列事件、的概率：、有放回有放回地从中任取两次，每次取一只；地从中任取两次，每次取一只；、无放回无放回地从中任取两次，每次取一只；地从中任取两次，每次取一只；取到的二只都是次品取到的

6、二只都是次品取到的二只中正、次品各一只取到的二只中正、次品各一只取到的二只中至少有一只正品取到的二只中至少有一只正品例例袋中有袋中有a个白球，个白球，b个黑球，从中任意地连续一个一个黑球，从中任意地连续一个一个地摸出个地摸出k个球（个球（k小于等于小于等于ab），每次摸），每次摸出的球不放回袋中，试求最后一次摸到白球的概率。出的球不放回袋中，试求最后一次摸到白球的概率。解：从解：从a+b个球中不放回地一个个地任意摸出个球中不放回地一个个地任意摸出k+1个球进行排列，个球进行排列，与顺序有关。与顺序有关。S含有含有 个基本事件。个基本事件。设设A=在摸出的在摸出的k+1个球的排列中，最后一个是白

7、球个球的排列中，最后一个是白球例例 某班有某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学求同学MM抽到门票的概率抽到门票的概率.故所求的概率是：故所求的概率是：原来不必原来不必争先恐后！争先恐后！二、分房问题（球在盒中的分布问题）二、分房问题（球在盒中的分布问题）例将张三，李四，王五人等可能地分配到三间房中去，试例将张三，李四，王五人等可能地分配到三间房中去，试求每个房间恰有人的概率。求每个房间恰有人的概率。例将例将n个人等可能地分配到（个人等可能地分配到（n小于等于）间房中的每一小于等于）间房中的每一间去，试求下列事件的概率：间去，试求

8、下列事件的概率：某指定的某指定的n间房中各有人间房中各有人恰有恰有n间房各有人间房各有人某指定的房中恰有某指定的房中恰有m(mn)个人个人所求的概率是：所求的概率是：例例 把把 4 个小球随机放入个小球随机放入 4 个盒内，求恰有一空盒的概率。个盒内，求恰有一空盒的概率。解：把解：把 4 个小球随机放入个小球随机放入 4 个盒内，共有个盒内，共有 种方式，种方式，从从 4 个盒中选出一个空盒，共有个盒中选出一个空盒，共有 种方法，种方法，从余下的从余下的 3 个盒中再选出一个，并在个盒中再选出一个，并在 4 个球中个球中选两个放进去，有选两个放进去，有 种方法，种方法，剩下的两个盒各放一球有剩

9、下的两个盒各放一球有 2！种方式。！种方式。故所求的概率是：故所求的概率是：（设小球和盒均可分辩）（设小球和盒均可分辩）生日问题生日问题某班有某班有50个学生，求他们的生日无重复的概率个学生，求他们的生日无重复的概率（设一年（设一年365天）天） A=“生日不相重复生日不相重复”u分析分析此问题可以用球在盒中分布情况来模拟此问题可以用球在盒中分布情况来模拟50个学生个学生365天天50个小球个小球365个盒子个盒子即生日重复即生日重复的概率的概率0.97!例例 从全体三位数中任取一个数，求下列事件的概率：从全体三位数中任取一个数，求下列事件的概率：（1）三位数中三个数字没有重复；）三位数中三个

10、数字没有重复；（2）三位数中恰有两个数字相同。）三位数中恰有两个数字相同。解：全体三位数共有解：全体三位数共有 个，其中没有重复数字的有个，其中没有重复数字的有个，恰有两个数字相同的有个，恰有两个数字相同的有 个。个。所以：（所以：（1）所求概率为：）所求概率为： （2）所求概率为：）所求概率为：三、随机取数问题三、随机取数问题小小 结结 本节首先给出古典概型的定义；然本节首先给出古典概型的定义；然后讨论了古典概型中事件概率求法：后讨论了古典概型中事件概率求法：若事件若事件A包含包含m个基本事件，有个基本事件，有 P(A)=m (1/n)=m/n；最后，给出了几个古典概型中求随机事件最后，给出

11、了几个古典概型中求随机事件概率的典型应用实例。概率的典型应用实例。理学院应用数学系理学院应用数学系 第一章第三节第一章第三节 概率的公理化定义及其性质概率的公理化定义及其性质下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义 1933年，前苏联数学家年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率柯尔莫哥洛夫给出了概率的的公理化定义公理化定义。 给定一个随机试验，给定一个随机试验，是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于任意一个事件，赋予一个实数任意一个事件，赋予一个实数P(A)，如果如果P()满足满足下列三条公理，那么，称下列三条公理，那么，称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。v 概率的公理

12、化定义概率的公理化定义u非负性非负性：()0 u 规范性规范性：()=1 u 可数可加性可数可加性：两两互不相容时两两互不相容时（1 2 ）=（1）+（2）+ 证明证明: 由公理由公理 3 知知 所以所以 v 概率的性质概率的性质不可能事件的概率为零不可能事件的概率为零(1) 证明证明: 在公理在公理3中 , 取取i = （i=n+1,n+2, ）.n 如果如果A1，A2， , An两两互不相容，则两两互不相容，则v 概率的性质概率的性质 (2) (2) 证明证明: 由于与其对立事件互不相容，由性质由于与其对立事件互不相容，由性质2有有 而而 所以所以 逆事件的概率逆事件的概率: :v 概率的

13、性质概率的性质 (3) (3) （）（）（）（）（）（） n 差事件的概率差事件的概率: :若若 A B，则，则 P (B A) = P(B) P(A)v 概率的性质概率的性质 (4) (4) 一般地，只有一般地，只有n 加法定理加法定理: :对任意两个随机事件、对任意两个随机事件、 ，有，有 v 概率的性质概率的性质 (5) (5) BCAn 加法定理加法定理 : :v 概率的性质概率的性质 (6) (6) 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为为 0.85 ，乙击中的概率为，乙击中的概率为 0.8 两人都击中的概率为两人都击中的概率为 0

14、.68 求目标被击中的概率求目标被击中的概率 解解设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示设表示甲击中目标，表示乙击中目标，表示目标被击中，目标被击中， 则则 0.85 0.8 0.68 0.97 已知已知P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A)=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形试在下列两种情形下分别求出下分别求出:P(A-B):P(A-B)与与P(B-A)P(B-A)(1) (1) 事件事件A,BA,B互不相容互不相容(2) (2) 事件事件A,BA,B有包含关系有包含关系解解(2) (2) 由已知条件和性质由已知条件和性质3,3,推得必定有推得必定有设设求求解：解：小小 结结 本节首先介绍了频率的概念，指出在本节首先介绍了频率的概念，指出在试验次数充分大条件下，频率接近于概率试验次数充分大条件下，频率接近于概率结论；然后给出了概率的公理化定义及概结论；然后给出了概率的公理化定义及概率的主要性质。率的主要性质。 重点概率的公理化定义及概率的主要重点概率的公理化定义及概率的主要性质。性质。作业：作业：习题一习题一P258、9、10、11、 13说明：说明：作业只需要写题号，不用抄原题目。作业只需要写题号，不用抄原题目。