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1、2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数 学本试卷共4页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，由共轭复数的定义可知，.故选：D2. 在三棱柱中，为棱的中点设，用基底表示向量，则（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取的中点，连接，根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】取的中点，连接， 因为是的中点，所以.故选：A3. 两条直线与之间的距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.【详解】由两平行线之间的距离公式可得.故选：C4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；对于B，若
3、两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.故选：D5. 如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，下列叙述中错误的是（ ）A. 平面B. C. D. 平面平面【答案】C【解析】【分析】用线面平行判定定理得到选项A是正确的；先证平面，再由线面垂直的性质定理得到B选项正确；计算与的数量积，得到，从而得出选项C错误；由面面垂直的判定定理易证选项D正确【详解】对于选项A：在矩形中，平面，平面，平面，故选项A正确；对于选项
4、B：平面，平面，在矩形中，平面，所以平面，而平面，故选项B正确；对于选项C：因为平面，而平面，所以，所以，而，在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确；对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确综述：只有选项C不正确故选：C.6. 已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由焦半径的性质即可得.【详解】，故.故选：B.7. 下列双曲线中以为渐近线的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出各个选项的渐近线，找到满足渐近线为的方程即可.【详解】对于选项A:由，焦点在轴上，易得,所
5、以渐近线为，即，故选项A正确；对于选项B:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项B错误；对于选项C:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项C错误；对于选项D:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项D错误.故选：A.8. 已知点，若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又圆外，所以只需，可得.故选：D9. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一
6、象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.【详解】设双曲线的方程为，在椭圆中，则，因为是以为底边的等腰三角形，所以，由椭圆的定义可知，所以，再由双曲线的定义可得，所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以，故双曲线的标准方程为.故选：C.10. 如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点Q，使得B. 存在点Q，使得平面C. 三棱锥的体积是定值D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为【答案】B【解析】【分析】A由、即可判
7、断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，所以，故不可能平行，错；B：若为中点，则，而，故，又面，面，则，故，面，则面，所以存在Q使得平面，对；C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，故三棱锥的体积不是定值，错；D：构建如下图示空间直角坐标系，则，且，所以，若它们夹角为，则，令，则，当，则，；当则；当，则，；所以不在上述范围内，错.故选：B第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11. 若直
8、线与直线垂直，则的值为_【答案】【解析】【分析】由两直线垂直的条件求解.【详解】结合题意：由两直线垂直可得：解得：.故答案为：.12. 复数的实部为_【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，由此可得出复数的实部.【详解】，因此，复数的实部为.故答案为：.13. 已知圆则圆的圆心坐标为_；若圆与圆内切，则_【答案】 . . 【解析】【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可.【详解】圆心为，半径；圆心为，半径；设两圆的圆心距为，则由几何关系知两圆内切.故答案为：；.14. 如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为_；平面与平面夹角的余弦值为_【答案】
9、 . # . 【解析】【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.【详解】由于，所以是异面直线与直线所成角或其补角，而四边形是正方形，所以.连接交于，则，连接，由于，是的中点，所以，所以是平面与平面夹角，设正方体的边长为，则，所以在直角三角形中，.故答案为：；15. 已知直线，则与的交点坐标为_；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_【答案】 . . 答案不唯一（只需写出中的一个即可）【解析】【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.【详解】解方程组，得，所以与的交点坐标为；由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，只需经过，或与平行，或与平行.
10、当经过时，图1所示，；当与平行时，图2所示，；当与平行时，图3所示，.故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）. 图 1 图 2 图 316. 已知曲线，给出下列四个命题：曲线关于轴、轴和原点对称；当时，曲线共有四个交点；当时，当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】将点代入方程，判断方程是否满足即可；联立曲线方程求得或，进而求交点个数；由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断.【详解】设点在上，对于点，代入方程，也在上；对
11、于点，代入方程，也在上；对于点，代入方程，也在上；所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；联立可得，即或，当时，都有，即存在交点；当时，都有，即存在交点；综上，共有四个交点，正确；当时，则，故，可得，曲线上任意一点到原点距离，当时，结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是3，正确.当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为，设，则，故，故，故，故在的内部，故的面积不大于的面积，故错误.故答案为：三、解答题共5小题，共70分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17. 已知复数（1）求；（2）若，求；（3）若，且是纯虚数，求【答案
12、】（1） （2） （3）或【解析】【分析】（1）根据模的计算公式直接求解；（2）利用复数除法进行计算；（3）设，根据条件列方程求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】设，则，所以，因为是纯虚数，所以由联立，解得 或所以或18. 已知的三个顶点分别为（1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程；（2）求边上的高线的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.【小问1详解】设的坐标为，则，即，所以 ，则中线所
13、在直线方程为，即 【小问2详解】由题意得 则直线的方程为，即中，边上的高线的长就是点到直线的距离 19. 已知直线与抛物线相交于两点（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）求弦长【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为 （2）16【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可；（2）直线与抛物线方程联立，根据弦长公式求得弦长.小问1详解】由抛物线的方程可知，抛物线开口向右，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为【小问2详解】将代入，整理得设，则，所以.20. 如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；（3）先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.【小问1详解】因为是等边三角形，是的中点，所以 平面，又平面平面，平面平面，所以平面；【小问2详解】记的中点为，易知两两互相垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，设平面的一个法向量为，则 令，此时 设直线与平面所成角，则所以直
