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1、第七章第七章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算本章提要本章提要 本章主要介绍了变形体的虚功原理，利用虚功原理，本章主要介绍了变形体的虚功原理，利用虚功原理，建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应建立了结构在荷载作用下的位移计算的一般公式及其应用；用；建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同建立了静定结构在支座位移时位移的计算公式。同时介绍了线弹性变形体系的互等定理。时介绍了线弹性变形体系的互等定理。 通过本章的学习，应掌握：通过本章的学习，应掌握： 1.1.理解虚功原理；理解虚功原理； 2.2.掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用掌握荷载作用下位移计算的一般公式及其应用
2、3.3.掌握静定结构在支座位移时位移计算公式；掌握静定结构在支座位移时位移计算公式； 4.4.了解线弹性变形体系的互等定理。了解线弹性变形体系的互等定理。本章内容本章内容7.17.1 概述概述7.27.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理7.37.3 荷载作用下位移计算的一般公式荷载作用下位移计算的一般公式7.47.4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算7.57.5 图乘法图乘法7.67.6 静定结构在支座移动时位移计算静定结构在支座移动时位移计算7.7 7.7 弹性变形体系弹性变形体系互等定理互等定理7.1 7.1 概概 述述7.1.1 7.1.1 结构的位移结构的
3、位移 结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。结构变形后，构件上各点的位置会这种改变称为变形。结构变形后，构件上各点的位置会发生变动，这种位置的变动称为发生变动，这种位置的变动称为位移位移。结构的位移通常有两种：结构的位移通常有两种： 线位移线位移，即即各截面形心各截面形心的移动量；的移动量； 角位移角位移，即截面转动角度。即截面转动角度。 如图如图1，图，图2所示。其中：所示。其中： A A 、B B - -绝对线位移；绝对线位移；
4、 ABAB=A A + +B B - -相对线位移；相对线位移； A A 、B B - -绝对角位移；绝对角位移； ABAB - -相对角位移。相对角位移。图图1 1图图2 27.1.2 7.1.2 结构位移计算的目的结构位移计算的目的 (1) (1) 为了校核结构的刚度，即保证结构的位移不超为了校核结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许值。过允许值。(2) (2) 为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结为计算超静定结构奠定基础。在计算超静定结构时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必须考构时，仅仅利用静力平衡条件无法完全求解，还必须考虑位移条件。虑位移条件。另外，在结构的制作、架设、养护
5、等过程中，往往另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。施，因而也需要进行位移计算。7.2 7.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理7.2.1 7.2.1 实功和虚功实功和虚功 一一. .实功实功 力在自身所引起的位移上做功，力在自身所引起的位移上做功， 称为称为实功实功。 如如图图 (a)(a)中，力中，力P P的相应位移的相应位移 =AAcosAAcos，力，力P P所做的功所做的功: : T=T=PAAcosPAAcos 如如图图 (b)(b)中中, ,转盘受力偶
6、转盘受力偶M=PDM=PD作作 用用, ,力偶所做的功应为力偶所做的功应为 : : T=M. T=M. 可以用一个公式来统一表达力或力偶做功：可以用一个公式来统一表达力或力偶做功： T = P.T = P. 其中其中: P : P 称为称为 广义力，广义力， 称为称为 广义位移。广义位移。 二、虚功二、虚功 力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。虚功。其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。 如图示如图示简支梁，在简支梁，在P P1 1作用下达作用下达到平衡时，到平衡时，P P1 1作用点沿
7、作用点沿P P1 1方向上产方向上产生的位移为生的位移为1111如图如图a a示。然后再施示。然后再施加加P P2 2产生位移产生位移1212， 1212由零增加由零增加至最终值的过程中，至最终值的过程中，P P1 1保持不变是保持不变是常力，因此常力，因此P P1 1沿沿1212做虚功为：做虚功为： T T1212=P=P1.1.1212 7.2.2 7.2.2 虚功原理虚功原理 变形体的虚功原理可概括表述为：变形体的虚功原理可概括表述为： 外力虚功外力虚功W=W=内力虚功内力虚功WW 做功的外力和内力称为做功的外力和内力称为力状态或第一状态力状态或第一状态，它们必，它们必须满足平衡条件；位
8、移和变形称为须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或第二状态位移状态或第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。它们必须满足变形和支座约束条件。 若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为时，虚功原理也称为虚位移原理虚位移原理；反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为际
9、的，这时，虚功原理也称为虚力原理虚力原理。7.3 7.3 荷载作用下位移计算的一般公式荷载作用下位移计算的一般公式 如如图图5(a)5(a)所示结构在均布荷载所示结构在均布荷载q q作用下发生了图中虚作用下发生了图中虚线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方向线所示变形。现在欲求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如上的位移，如K K截面的水平位移截面的水平位移KK。 首先，由虚功原理，确定两个状态：位移状态和力首先，由虚功原理，确定两个状态：位移状态和力状态。状态。 已知状态欲求位移，故定为位移状态。还须建立力已知状态欲求位移，故定为位移状态。还须建立力状态，为此，在状态，为此，在K
10、 K点上作用一个水平的单位荷载点上作用一个水平的单位荷载P PK K=1=1，它，它应与应与KK相对应，如图相对应，如图5(b)5(b)所示。所示。其次，求外力虚功和内力虚功。其次，求外力虚功和内力虚功。 外力所做虚功为：外力所做虚功为： W=PW=PK KK=K K=K 内力所做虚功为：内力所做虚功为： 在图在图5(a)5(a)上取上取dsds微段，其上由于实际荷载所产生的微段，其上由于实际荷载所产生的图5内力内力M MP P、Q QP P、N NP P作用下所引起的相应变形为作用下所引起的相应变形为dd、dd、dd分别如图分别如图5(c)5(c)、(d)(d)、(e)(e)所示，分别为所示
11、，分别为： 相对转角相对转角dd=1/ds=1/ds=KdsKds相对剪切变形相对剪切变形dd= =dsds 相对轴向变形相对轴向变形dd= =dsds 由材料力学公式，有： 微段上所做内力虚功为：微段上所做内力虚功为： 整根杆件的内力虚功可由积分求得为：整根杆件的内力虚功可由积分求得为： 整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，即即 ： 则，由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公则，由虚功原理得荷载作用下位移计算的一般公式：式：其中：其中：7.4 7.4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算1、梁和刚架、梁和刚架2、桁架
12、桁架一、计算公式：一、计算公式：二、计算步骤二、计算步骤(1)(1) 根据欲求位移建立相应的虚拟状态；根据欲求位移建立相应的虚拟状态；(2)(2) 列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程；的内力方程；(3)(3) 将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。求总和即可计算出所求位移。三、虚拟单位荷载的建立三、虚拟单位荷载的建立(1)(1) 欲求欲求A A点的水平线位移时，在点的水平线位移时，在A A点沿水平方向加一点沿水平方向加一单位集中力如单位集中力如图图6(b)6(b)
13、所示；所示；(2)(2) 欲求欲求A A点的角位移，在点的角位移，在A A点加一单位力偶如图点加一单位力偶如图6(c)6(c)所示；所示；(3)(3) 欲求欲求A A、B B两点的相对线位移，在两点的相对线位移，在A A、B B两点沿两点沿ABAB连连线方向加一对反向的单位集中力，如线方向加一对反向的单位集中力，如图图6(d)6(d)所示；所示；(4)(4) 欲求欲求A A、B B两截面的相对角位移，在两截面的相对角位移，在A A、B B两截面处两截面处加一对反向的单位力偶，如加一对反向的单位力偶，如图图6(e)6(e)所示。所示。图6 例例1.1.求求图图示悬臂梁示悬臂梁B B端的竖向位移端
14、的竖向位移BVBV。EIEI为常数。为常数。解:(1) 取图(b)所示虚力状态。 (2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正B为原点)MP=1/2qx2 (0xl) M =x (0xl) (3) 将MP及M代入位移公式，得例例2 2 求求图图示简支梁在均布荷载示简支梁在均布荷载q q作用作用下：下：(1) B(1) B支座处的转角；支座处的转角； (2) (2) 梁跨中梁跨中C C点的竖向线位移。点的竖向线位移。EIEI为常数。为常数。解：(1) 求B截面的角位移。在B截面处加一单位力偶m=1，建立虚力状态如图(b)。 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)：MP
15、 =ql2x-q/2x2M =-1/lx 将MP、M代入位移公式得： B的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。(2) 求跨中C点的竖向线位移在C点加一单位力P=1，建立虚力状态如图(c)所示 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)，当0xl/2时，有由对称关系得：CV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位力方向相同，即C点位移向下。 例例3 3 求求图图示悬臂刚架示悬臂刚架C C截面的角位移截面的角位移C C。刚架。刚架EIEI为常数。为常数。解：(1) 取图18.9(b)所示虚力状态。(2) 实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉
16、为正)横梁BC(以C为原点)MP=-Px1 (0x1l)M=-1 (0x1l)竖柱BA(以B为原点)MP=-Pl (0x2l)M=-1 (0x2l) (3) 将MP、M代入位移公式：7.5 7.5 图乘法图乘法一一. .图乘法图乘法 计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目较多时，积分计算相当繁琐。但当组成结构各杆段较多时，积分计算相当繁琐。但当组成结构各杆段符合符合下述条件：下述条件：(1) (1) 杆轴为直线；杆轴为直线； (2) EI(2) EI为常数；为常数； (3) M(3) M与与M MP P弯矩图中至少有一个是直线图形。弯矩图中至少
17、有一个是直线图形。则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。 如图所示如图所示，设结构上，设结构上ABAB杆段为等截面直杆，杆段为等截面直杆，EIEI为常为常数，数，M M图为一段直线，而图为一段直线，而M MP P图为任意形状。现以图为任意形状。现以M M图的基图的基线为线为x x轴，以轴，以M M图的延长线与图的延长线与x x轴的交点轴的交点O O为原点，建立为原点，建立xOyxOy坐标系，则积分式坐标系，则积分式(a)(a)可写成可写成: : 由此可知，由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积积
18、w w乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标y yC C，再除以，再除以EIEI，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称即称图乘法图乘法。 二二. .图乘法步骤图乘法步骤(1)(1) 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图画出结构在实际荷载作用下的弯矩图M MP P；(2)(2) 根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图弯矩图M M；(3)(3) 分段计算一个弯矩图形的面积分段计算一个弯矩图形的面积w w及其形心所对及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标应的另一个弯矩图形
19、的竖标y yC C；(4)(4) 将将w w、y yC C代入图乘法公式计算所求位移。代入图乘法公式计算所求位移。三三. .常见弯矩图图乘常见弯矩图图乘四四. .常见图形的面积和形心常见图形的面积和形心例例1 1 求求图图(a)(a)所示简支梁所示简支梁A A端角位移端角位移A A及跨中及跨中C C点的竖向点的竖向位移位移CVCV。EIEI为常数。为常数。解：解：(1)(1) 求求AA 实际荷载作用下的弯矩图实际荷载作用下的弯矩图MPMP如如图图(b)(b)所示。所示。 在在A A端加单位力偶端加单位力偶m=1m=1，其单，其单位弯矩图位弯矩图M M如图如图(c)(c)所示。所示。 MPMP图
20、面积及其形心对应图面积及其形心对应M M图图竖标分别为：竖标分别为： w=2/3*l*1/8*qlw=2/3*l*1/8*ql2 2*l=ql*l=ql3 3/12/12 yCyC=1/2=1/2 计算计算AAAA=1/EI*w*=1/EI*w*yCyC =1/EI* ql =1/EI* ql3 3/12*1/2=ql/12*1/2=ql3 3/24EI/24EI (2)(2) 求求CVCV MPMP图仍如图图仍如图(b)(b)所示。所示。 在在C C点加单位力点加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如图如图(d)(d)所示。所示。 计算计算w w、y yC C。 由于由于M M图
21、是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。弯矩图均对称，故计算一半取两倍即可。w w=2/31/8q=2/31/8ql l2 2l/2=qll/2=ql3 3/24/24y yC C=5/8=5/8l l/4=5/4=5l l/32/32 计算计算CVCVCVCV=2(1/EI*=2(1/EI*w*w*y yC C)= 5q)= 5ql l4 4/384EI ()/384EI ()例例2 2 求求图图(a)(a)所示梁所示梁A A截面的角位移截面的角位移A A及及C C点的竖向线位点的竖向线位移移CVCV。EIEI为常数。为常
22、数。解：解：( (1)1) 分别建立在分别建立在m=1m=1及及P=1P=1作作用下的虚设状态，如用下的虚设状态，如图图(c)(c)、(d)(d)所示。所示。(2)(2) 分别作荷载作用和单位分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如力作用下的弯矩图，如图图 (b)(b)、(c)(c)、(d)(d)。(3)(3) 图乘。图乘。 将图将图(b)(b)与图与图(c)(c)相乘，则得相乘，则得 A A=-1/EI(Pa=-1/EI(Pa2 2/6+qa/6+qa3 3/12)/12)结果为负值，表示结果为负值，表示A A的方向的方向与与m=1m=1的方向相反。的方向相反。 计算计算CVCV，将图，将图
23、(b)(b)与图与图(c)(c)相乘，则得：相乘，则得：CV CV =1/EI(2Pa=1/EI(2Pa3 3/3+7qa/3+7qa4 4/24)()/24)() 注意的是注意的是MPMP图图BCBC段的弯矩图是非标准的抛物线，所段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加。部分，然后叠加。例例4 4 计算计算图图(a)(a)所示悬臂刚架所示悬臂刚架D D点的竖向位移点的竖向位移DVDV。各杆。各杆EIEI如图示。如图示。解：解：( (1)1) 实际荷载作用下的弯矩图实际荷载作用下的弯矩图MPMP
24、如如图图(b)(b)所示。所示。(2)(2) 在在D D端加单位力端加单位力P=1P=1，单位弯矩图，单位弯矩图M M如如图图(c)(c)所示所示(3)(3) 计算计算w w、y yC C分分ABAB、BCBC、CDCD三段进行图乘，由于三段进行图乘，由于CDCD段段M=0M=0，可不，可不必计入。故只计算必计入。故只计算ABAB、BCBC两段。两段。ABAB段：段： w w1 1= 2l= 2l2 2/3 (/3 (取自取自M M图图) )y y1 1=Pl/4=Pl/4 BCBC段：段： w w2 2=2l=2l2 2/9/9y y2 2=Pl/4=Pl/4(4)(4) 计算计算DVDVD
25、VDV=1/EI(w1*y=1/EI(w1*yC1C1)+1/2EI(w)+1/2EI(w2*2*y yC2C2) ) = -5Pl= -5Pl3 3/(36EI)/(36EI)()()7.6 7.6 静定结构在支座移动时位移计算静定结构在支座移动时位移计算 静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内力，且其内部亦不产生变形，但整个结构会产生位移。力，且其内部亦不产生变形，但整个结构会产生位移。如图如图(a)(a)所示所示刚架，支座移动为刚架，支座移动为C1C1、C2C2、C3C3，致使整个结，致使整个结构移动到了虚线位置。构移动到了虚线位置。 利
26、用虚功原理求结构上任一点利用虚功原理求结构上任一点K K沿沿i-ii-i方向的位移方向的位移KiKi。以以图图(a)(a)为实际状态为实际状态( (位移状态位移状态) )。为了建立虚功方。为了建立虚功方程还需选取虚拟状态程还需选取虚拟状态( (力状态力状态) )，为此在，为此在K K点沿点沿i-ii-i方向加方向加一个单位集中力一个单位集中力P PK K=1=1，如，如图图(b)(b)所示。所示。 由于由于P PK K=1=1而引起的与实际位移而引起的与实际位移C1C1、C2C2、C3C3相应的支相应的支座反力座反力R1R1、R2R2、R3R3。 外力虚功为：外力虚功为： W=PW=PK*K*
27、KiKi+RC+RC (a) (a)内力虚功应等于零，即：内力虚功应等于零，即：W=0 (b)W=0 (b)由虚功原理由虚功原理W=WW=W， 即：即： P PK K* *KiKi+RC+RC=0=0而而P PK K=1=1，代入上式整理得，代入上式整理得 KiKiKiKi=-RC=-RC=-RC=-RC例例1 1 已知简支梁已知简支梁ABAB跨度为跨度为l l，右支座，右支座B B竖直下沉竖直下沉，如，如图图(a)(a)所示。求梁中点所示。求梁中点C C的竖向位移的竖向位移CVCV。解：解：(1) (1) 在梁中点在梁中点C C处加单位力处加单位力P=1P=1，如，如图图(b)(b)所示。所
28、示。(2)(2)计算单位荷载作用下的支计算单位荷载作用下的支座反力座反力: :由于由于A A支座无位移，故只需计支座无位移，故只需计算算B B支座反力支座反力R RB B即可。即可。由对称得由对称得B B支座反力支座反力 R RB B=1/2 ()=1/2 ()(3) (3) 计算计算CVCV CVCV=-RC=-RC =-(-1/2)=/2 () =-(-1/2)=/2 () 例例2 2 图示三铰刚架跨度图示三铰刚架跨度l l=12m=12m，高为，高为h=8mh=8m。已知右支座。已知右支座B B发生了竖直沉陷发生了竖直沉陷C C1 1=6cm=6cm，同时水平移动了，同时水平移动了C C
29、2 2=4cm (=4cm (向右向右) )，如，如图图(a)(a)所示。求由此引起的左支座所示。求由此引起的左支座A A处的杆端转角处的杆端转角A A。解解: : (1)(1) 在在A A处虚设单位力偶处虚设单位力偶m=1m=1，如，如图图(b)(b)所示。所示。(2)(2) 计算单位荷载作用下的支座计算单位荷载作用下的支座反力反力由于由于A A支座无位移，故只需计算支座无位移，故只需计算B B支座反力即可。支座反力即可。取整体为隔离体，由取整体为隔离体，由M MA A=0=0得得: :R RBVBVl l-1=0-1=0R RBVBV=1/=1/l l () () 取右半刚架取右半刚架BC
30、BC为隔离体，由为隔离体，由M MC C=0=0得得R RBHBHh-Rh-RBVBVl l/2=0/2=0R RBHBH=1/2h=1/2h(3)(3)计算计算A AA A=-RC=-R=-RC=-RBVBVCC1 1+R+RBHBHCC2 2) )=0.0075rad=0.0075rad计算结果为正，说明计算结果为正，说明A A与虚设单位力偶与虚设单位力偶m=1m=1的转向的转向一致。一致。7.7 7.7 弹性变形体系的弹性变形体系的互等定理互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理 第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在
31、第一状态的位移上所做的虚功。等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。二、二、位移互等定理位移互等定理 第二个单位力第二个单位力(P(P2 2=1)=1)在第一个单位力作用点沿其方在第一个单位力作用点沿其方向所引起的位移向所引起的位移(1212) )，等于第一个单位力，等于第一个单位力(P(P1 1=1)=1)在第在第二个单位力作用点沿其方向所引起的位移二个单位力作用点沿其方向所引起的位移(2121) )。三、反力互等定理三、反力互等定理 支座支座1 1发生单位位移，在支座发生单位位移，在支座2 2处引起的反力，等于处引起的反力，等于支座支座2 2发生单位位移，在支座发生单位位移，在支座1 1处引起的反力。处引起的反力。再再 见见
