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1、高中数学必修高中数学必修2 2第二章第二章2.3.12.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例实例引入实例引入旗杆与地面垂直旗杆与地面垂直大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？几个吗？（3）旗杆）旗杆AB与地面上不过点与地面上不过点B的任意一的任意一条直线位置关系如何？条直线位置关系如何？它们所成的角为多少度？它们所成的角为多少度？（2）随着时间的变化，影子的位置会）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否
2、发移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生了改变？生了改变？A构构建建直直线线与与平平面面垂垂直直的的概概念念（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？成的角度是多少？思思考考构构建建直直线线与与平平面面垂垂直直的的概概念念思思考考记作：记作： .1、定义：如果直线、定义：如果直线 与平面与平面内的内的任意任意一条直线都一条直线都垂直，垂直， 就说直线就说直线 与平面与平面 互相垂直。互相垂直。A A A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足 2 2、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平
3、行四边形的一边垂直，如画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示图所示判断： 1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直线都垂直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（ ） BCl 直线直线 l 垂直于平面垂直于平面 ，则直线，则直线 l 垂垂直于平面直于平面中的任意一条直线中的任意一条直线 如下图，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验：ABCD 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）。折痕AD与桌垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 垂直？探探究
4、究直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判断断定定理理折图ABCD发现：发现： 当且仅当折痕当且仅当折痕AD是是BC边上的高时，边上的高时，这样翻折之后竖立的折痕这样翻折之后竖立的折痕AD才不偏不倚才不偏不倚地站立着，即地站立着，即AD与桌面与桌面垂直，其他位置垂直，其他位置都不能使都不能使AD与桌面与桌面垂直。垂直。折痕折痕ADAD与桌面与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证上的一条直线垂直，是否足以保证ADAD垂垂直桌面直桌面? ?探探究究直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判断断定定理理思思考考ABCD由折痕由折痕ADBCADBC，翻折之后这一垂直关系是一个不变关，翻折之后这一垂直关系是一个不变
5、关系，即有系，即有ADAD CD，AD BD，你能得到什么结论呢？，你能得到什么结论呢？ABCD 一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的两条两条相交相交直线都垂直，则该直线与此平面直线都垂直，则该直线与此平面垂直。垂直。定理：定理：探探究究直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判断断定定理理思思考考abp简记为简记为：线线垂直线线垂直 线面垂线面垂直直判断： 3. （ ）bamn判判定定定定理理的的应应用用C1、如图，空间中直线、如图，空间中直线l和三角形的两边和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的同时垂直，则这条直线和三角形的第三边第三边AB的位置关系是（的位置关系是（ ）
6、A 平行平行 B 垂直垂直 C 相交相交 D 不确定不确定AB练习练习B练习练习PABCO 如图，直四棱柱ABCD-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，AC BD ?CAABDBCD判判定定定定理理的的应应用用PAO四、直线和平面所成的角：四、直线和平面所成的角：斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。平面所成的角。斜线斜线斜足斜足射影射影一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，
7、它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角直线和平面所成角直线和平面所成角的范围是的范围是0 ，90 直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：1)2)3)是平面的一斜线是平面的一斜线与它在平面内的射影的夹角与它在平面内的射影的夹角关键在于作关键在于作线面垂直线面垂直找找射影射影D1DCBAC1B1A1OO线面角的计算线面角的计算线面角的计算线面角的计算教材例教材例2：例例2 2 在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，D D为为PBPB的中点，的中点，求证：求证：ADPC.ADPC.PABCD特
8、例：四面体特例：四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影在平面上的射影O1) P到三顶点距离相等到三顶点距离相等 0是是 ABC的外心的外心 3) P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等 0是是 ABC的内心或旁心的内心或旁心 2) 对棱相互垂直对棱相互垂直 0是是 ABC的垂心的垂心PA、PB、PC两两垂直两两垂直回顾反思回顾反思 通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？1.1.定定义义：如如果果一
9、一条条直直线线垂垂于于一一个个平平面面内内的的任任何何一一条条直直线线，则则此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面. .2.2.判定定理判定定理: :如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。那么此直线垂直于这个平面。3.3.如如果果两两条条平平行行直直线线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平平面面，那那么么另另一一条条也垂直于同一个平面。也垂直于同一个平面。归纳整理、整体认识归纳整理、整体认识(1)请同学们归纳一下，获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。直观感知直观感知-操作确认操作确认-获得判定定理获得判定定理(
10、2)直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？定理体现了定理体现了“直线与平面垂直直线与平面垂直”与与“直线与直线直线与直线垂直垂直”互相转化的数学思想。互相转化的数学思想。1.对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l( )A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它们与一个平面所成的角一定相等吗？4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ACVABC当堂检测当堂检测(4题)2.如图，PA 面ABC, ABC中， ACB =90，则图中Rt的个数为_个.（2题）PA
11、BCB44.如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABC P中中, PA面面ABC, ACBC, 若若AE PB,AF PC 求证：求证：EFPBAFEPCB练习练习HO2 2、已知、已知ABCDABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P P是平面是平面ABCDABCD 外一点，外一点，M M是是PCPC的中点，在的中点，在DMDM上取一点上取一点G G，过过G G和和APAP作平面与面作平面与面MBDMBD交于交于GH,GH,求证求证AP/GHAP/GH。ACBDGPM再来一题再来一题线面平行的判定线面平行的判定1、如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，A1C1上分别有
12、两点E，F，且A1N=AM.求证：MN平面BB1C1C.线面平行的判定线面平行的判定变式式2：已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ.求证：PQ平面CBE.线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，B1CBD.求证：AB1BD.线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定例2如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若PDA45，求证：MN平面PCD.线面垂直的判定线面垂直的判定5(
13、2010山东淄博)正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN_.线面角的求法线面角的求法（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC， BAD=90，PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点. （1）求证：PBDM； （2）求BD与平面ADMN所成的角. 线面角求法线面角求法3 3 如图所示，四面体如图所示，四面体ABCS中，中，SA、SB、SC两两垂两两垂直，直，SBA=45=45， SBC=60=60，M为为AB的中点的中点. .求：求： （1 1）BC与平面与平面SAB所成的角；所成的角； （2 2）SC与平面与平面ABC所成的角的正切值所成的角的正切值. .线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定线面垂直的判定如图所示如图所示, ,已知已知PA矩形矩形ABCD所在平面所在平面, ,M，N分别是分别是AB，PC的中点的中点.(1).(1)求证：求证：MNCD； (2)(2)若若PDA=45=45，求证：，求证：MN平面平面PCD. .直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角直线与平面所成角2010年全国卷直线与平面所成角直线与平面所成角
