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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节第四节利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用定积分的应用 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 第四节定积分的元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 , 求其面积 A .一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 目录 上页 下页 返回 结束 解决步骤解决
2、步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得目录 上页 下页 返回 结束 3) 求和求和.4) 取极限取极限. 令则曲边梯形面积目录 上页 下页 返回 结束 定积分定义1) 所求量所求量 是区间是区间a , b上的非均匀连续分布的量上的非均匀连续分布的量2) 对区间对区间 a , b 具有可加性具有可加性 ,即分布在即分布在a , b 上的总量等于分布在各个子区间上的局部量上的总量等于分布在各个子区间上的局部量之
3、和。之和。目录 上页 下页 返回 结束 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量的求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、已知平行截面面积函数的二、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第四节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 目录 上页 下页 返
4、回 结束 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲那么边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由由得交点目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算抛物线计算抛物线与直线的面积 . 解解: 由由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式目录 上页
5、下页 返回 结束 2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为目录 上页 下页 返回 结束 对应 从 0 变例例4. 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:到 2 所围图形面积 . 目录 上页 下页 返回 结束 心形线 例例5. 计算心形线计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 所求面积目录 上页 下页 返回 结束 二、已知平行截面面积函数的立体体积二、已知平行截面面积函数的立
6、体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,目录 上页 下页 返回 结束 特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求两个半径为求两个半径为R的圆柱体中心轴垂直相交，求的圆柱体中心轴垂直相交，求它们公共部分的体积它们公共部分的体积V.解解:由对称性，我们只画出该图由对称性，我们只画出该图形的形的1/8并建立坐标系如图，并建立坐标系如图，图中正方形截面面积：体积微元：公共部分的体积目录 上页 下页 返回 结束 例例8.一个平面图形
7、由双曲线一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线与直线x=a、x=2a及及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：产生的旋转体体积：（1x轴轴 （2直线直线y=1 (3) y轴轴解：解： （1分割区间a,2a,任取子区间x, x+dx.过点x, x+dx分别作垂直于x轴的平面，则该立体被这两个平面截出一个“薄片”，其上下底面近似相等，所以可以近似地看成一个圆柱体。其底面积为目录 上页 下页 返回 结束 例例8.一个平面图形由双曲线一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线与直线x=a、x=2a及及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所
8、轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：产生的旋转体体积：（1x轴轴 （2直线直线y=1 (3) y轴轴高为dx，于是体积微元所求旋转体体积为目录 上页 下页 返回 结束 （2过x, x+dx且垂直于x轴的两平面截出该立体的一个“薄片”，其上下底面均为圆环，面积看做近似相等，所以该“薄片体积的近似值，即所求的体积微元为积分即得旋转体的体积为目录 上页 下页 返回 结束 （3分割区间a,2a,任取子区间x, x+dx.把该子区间对应的小曲边梯形近似地看成是小矩形。因而它绕y轴转一周产生的立体可以看成是一个内半径为x，外半径为 x+dx，高为y=a/x的“圆柱壳。从而所求的体积微元
9、为积分即得所求立体的体积为目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 计算摆线计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性 目录 上页 下页 返回 结束 注注注意上下限 !绕 y 轴旋转而成的体积为目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .目录 上页 下
10、页 返回 结束 考虑考虑: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称目录 上页 下页 返回 结束 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长目录 上页 下页 返回 结束
11、(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 计算摆线计算摆线一拱的弧长 .解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界
12、方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上求弧长时积分上下限必须上大下小下限必须上大下小目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :绕 y 轴 :目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题定积分在物理学上的应用 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下
13、沿 x 轴从 x a 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .在其上所作的功元素为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 例例1.一个单求电场力所作的功 . 解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为说明说明:位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 目录 上页 下页 返回 结束 面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为目
14、录 上页 下页 返回 结束 小窄条上各点的压强例例2. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 引力问题引力问题质量分别为的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图建立坐
15、标系如图. 细棒上小段对质点的引力大小为故铅直分力元素为在试计算目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,则有目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 先用元素法求出它的微分表达式 dQ一般元素的几何形状有:扇、片、壳扇、片、壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力等.条、段、环、带、条、段、环、带、
