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1、第三章第三章 应变状态应变状态物体变形位移与应变的基本关系几何方程应变状态分析位移的单值连续性质 目录目录3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念3.2 3.2 主应变与主应变方主应变与主应变方向向3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移3.1 变形变形2u=x（x，y，z） x=u（x，y，z） v=y（x，y，z） y=v（x，y，z） w=z（x
2、，y，z） z=w（x，y，z） 位移位移u，v，w是是单值连续函数单值连续函数进一步分析假定位移函进一步分析假定位移函数具有连续的三阶导数数具有连续的三阶导数一点的变形一点的变形通过通过微分六面体单元微分六面体单元描述描述微分单元体的变形，分为两部分讨论微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变正应变棱边的伸长和缩短棱边的伸长和缩短 切应变切应变棱边之间夹角（直角）改变棱边之间夹角（直角）改变3.1 变形变形3微分单元体的变形微分单元体的变形3.1 变形变形4正应变与位移正应变与位移3.1 变形变形5切应变与位移切应变与位移3.1 变形变形6几何方程位移分量和应变分量之间的关系几何方程又称柯西方
3、程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角缩小切应变分量大于零3.1 变形变形7几何方程位移导数表示的应变应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形原因是没有考虑单元体位置的改变单元体的刚体转动刚性位移可以分解为平动与转动刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形83.1 变形变形9刚性转动位移刚性转动位移S =ui+uj+ukS =转动分量转动分量3.1 变形变形10刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移位移为坐标的函数3.1 变形变形11刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移N点的位移由点的位移由三部分三部分组成：组成：1随同随同M点作平动位移。点作平动位移。 2绕
4、绕M点作刚性转动在点作刚性转动在N点点产生的位移。产生的位移。3由于由于M点及其邻近区域的点及其邻近区域的变形在变形在N点引起的位移。点引起的位移。微分单元体的刚性转动与协调相关微分单元体的刚性转动与协调相关刚体转动刚体转动位移增量位移增量变形位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形12变形通过应变描述变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化随之坐标改变而变化。应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变状态应变状态新旧坐新旧坐标轴之之间的的夹角的方向余弦角的方向余弦为3
5、.2 主应变主应变23.2 主应变主应变3应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式应变张量应变张量应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴切应变为切应变为0的方向的方向应变主轴方向的正应变应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变43.2 主应变主应变5主应变确定主应变确定应变主轴方向变形应变主轴方向变形NSdS3.
6、2 主应变主应变6应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组齐次线性方程组非零解的条件非零解的条件为方程系为方程系数行列式的值为零数行列式的值为零 展开展开 3.2 主应变主应变7主应变确定主应变确定应变不变量第一，第二和第三应变不变量一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。标变换不影响应变状态是确定的。应变不变量就是应变状态性质的表现应变不变量就是应变状态性质的表现3.2 主应变主应变8应力张量应力张量应变张量应变张量应力不变量应力不变量应变不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性主应变和应变主轴与主应力和应力主
7、轴的特性类似类似各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变9弹性体一点体积的改变量3.2 主应变主应变10变形前：变形前：V=dxdydz 变形后：变形后：体积体积应变应变3.2 主应变主应变11V=dxdydz体积体积应变应变3.2 主应变主应变120, 0, 表示微分单元体膨胀，表示微分单元体膨胀，0, 0, 单元体受压缩单元体受压缩，=0=0，物体变形后的体积是不变的物体变形后的体积是不变的。体积体积应变应变3.3 应变协调方程应变协调方程数学意义：几何方程几何方程6个应变分量通过个应变分量通过3个位移分量描述个位
8、移分量描述力学意义变形连续变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束体变形的约束3.3 应变协调应变协调2例例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。解解：显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。3.3 应变协调应变协调3l要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。l从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得3.3 应变协调应变协调4u将几
9、何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则对x求一阶偏导数，则分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式3.3 应变协调应变协调5u将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u前后两式相加并减去中间一式，则应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程3.3 应变协调应变协调6变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。3
10、.3 应变协调应变协调7证证明明应应变变协协调调方方程程是是变变形形连连续续的的必必要要和和充分条件充分条件。变变形形连连续续的的物物理理意意义义，反反映映在在数数学学上上则则要要求求位位移移分分量量为单值连续函数为单值连续函数。目目标标如如果果应应变变分分量量满满足足应应变变协协调调方方程程，则则对对于于单单连连通通域域，就就可可以以通通过过几几何何方方程程积积分分求求得得单单值值连连续续的的位位移分量移分量。单连通域单连通域物体内任一条物体内任一条闭曲线可以收缩到一点闭曲线可以收缩到一点而不越出界外而不越出界外.3.3 应变协调应变协调8证明证明利用位移和转动分量的全微分，则轮换轮换x,y
11、,z，可得可得du，dv和和dw wy，dw wz 3.3 应变协调应变协调9如通过积分，计算出如通过积分，计算出是单值连续的，则问题可证。是单值连续的，则问题可证。保证单值连保证单值连续的条件是续的条件是积分与积分积分与积分路径无关路径无关 3.3 应变协调应变协调10根据格林公式根据格林公式回代3.3 应变协调应变协调11回代到第四式回代到第四式w wx单值连续的必要与充分条件是单值连续的必要与充分条件是同理讨论同理讨论w wy，w wz的单值连续条件，可得其它的单值连续条件，可得其它4 4式式变形协调方程。变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连由此可证变形协调方程是单连通
12、域位移单值连续的必要和充分条件续的必要和充分条件。3.3 应变协调应变协调12变形协调方程变形协调方程单连通域位移单值连续的必要和充分条件单连通域位移单值连续的必要和充分条件多连通域位移单值连续的必要条件多连通域位移单值连续的必要条件充分条件是位移的连续补充条件充分条件是位移的连续补充条件3.3 应变协调应变协调13位移边界条件位移边界条件 q应变满足应变满足变形协调方程变形协调方程，保证弹性体内部，保证弹性体内部的变形单值连续。的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足边界变形协调要求边界位移满足位移边界位移边界条件。条件。 q位位移移边边界界条条件件临临近近表表面面的的位位移移或或和和
13、变变形与已知边界位移或变形相等。形与已知边界位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调14如果物体表面的位移已知，称为位移边界位移边界用Su表示。如果物体表面的位移 已知边界条件为称为位移边界条件3.3 应变协调应变协调15设物体表面为S位移已知边界Su面力已知边界Ss则 SSuSs弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。3.3 应变协调应变协调16某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件混合边界条件。不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。3.3 应变协调应变协调17
