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1、第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质例如：1. 原函数一、原函数和不定积分的概念 定义1那么函数 若 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 的原函数 F(x) .（下章证明）定理（原函数存在定理）连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. 满足什么条件，其原函数一定存在？问题：（1） 若 f (x) 在 I 上有原函数 F (x) ，原函数是否唯一？ F (x) 是 f (x) 在 I 上的一个原函数.又 F (x) + C 也是 f (x) 在 I 上的一个原函数.即：若 f (x) 有原函数 ，则原函数有无穷多个.又知故这表明，
2、与 只差一个常数，即任意两个原函数之间至多只相差一个任意常数 C. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数 ，则 f (x) 的全体原函数可表示为 F(x) +C. (C为任意常数）（2）全体原函数之间什么关系?，即任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数 不定积分被被积积表表达达式式积积分分变变量量定义2 若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ，则 f (x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 内的不定积分，记为【例1】求解解【例2】求【例3】求解【例4】 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解
3、设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)解 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为 先由此求 再由此求处以初速力, 求它的运动规律. 垂直上抛,不计阻【例5】质点在距地面先求 . 由 知故再求由 知于是所求运动规律为【例5】某汽车在限速80km/h的路段上行驶，在途中发生了事故，警察测得该车的刹车痕迹为 30 m，而该车型的满刹车时的加速度 a = -15m/s2 ，警察判该车超速行驶，应当承担一部分责任，为什么？ 设该车刹车后行驶的路程和时间 t 的关系为 s = s（t） 加速
4、度 a 为：依题意，速度 v(t) 为：解是否超速行驶，应判别刹车之前的行驶速度 v0是否大于 80 km/h .速度为： 因为开始刹车时刻（ t = 0 ）车速为 v0 ，代入上式，得 c = v0，所以： 汽车刹车后，行驶路程 s 和时间 t 的关系为：汽车从刹车到停止（ v = 0 ）所花的时间为： 依题意，当 t = 0 时，s(0)=0 ，故 C = 0，汽车刹车后的运动规律为：将 代入上式，得刹车后汽车行驶的路程：超速！超速！将 a = -15m/s2 ， 代入上式，得：xyx 所以 的几何意义表示一族相互平行的曲线族. 在相同横坐标 x 点处切线是相互平行的，即切线斜率都等于 不
5、定积分的几何意义 函数 f (x) 的原函数 F (x) 的图形称为 f (x) 的积分曲线. 由于 不定积分与微分(导数)的关系 是 f (x) 的原函数，所以有：F (x) 是 的原函数，所以有：结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的. 由此可根据微分公式得出积分公式.是常数)基基本本积积分分表表二、基本积分表【例6】求积分【例7】求积分解解【例8】求积分解【例9】 求积分解【例10】 求积分解证故性质(1)成立. 可推广到有限个函数.性质1性质2三、不定积分的性质解【例11】求积分解【例12】求积分解【例13】求积分解【例14】求积分解解 有时, 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本
6、积分表.【例15】求积分【例16】求积分解【例17】求积分【例18】求积分解解【例19】求积分【例20】已知解由得可用求导数的方法验证正确性. （1） 求导数的结果是唯一的 , 但求不定积分的结果不是唯一的.注意： （2）初等函数都可求导数，且导数一般也是初等函数，但有些初等函数的不定积分不能用初等函数来表示 . 这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .（3）分段函数积分：如果一个函数的原函数存在，原函数一定是可导的，因而原函数是连续的. 这一点在求分段函数的原函数或不定积分时一定要注意.【例21】在区间（-，+）连续，故原函数在（-，+）存在，但下面的函数不是它的原函数： 因
7、为F1(x)在 x=0 点处不连续，所以在 x=0 处也不可导，故其导数不等于 f (x).当 x0当 x 0因为 F(x) 在 x=0 点处连续，故：记： C = C13. 基本积分表基本积分表4. 不定积分的性质不定积分的性质 1. 原函数的概念：原函数的概念：2. 不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结四、小结思考题思考题1.1. 求积分求积分解解思考题思考题2.2. 求积分求积分解解练习题练习题练习题答案练习题答案【例5】求初速度为零的自由落体在头4秒钟所经过 的路程s.解解下落路程是速度的原函数：由s(0)=0，得： C=0当 t=4 秒时，解【例12】求积分【例13】求积分解解【例例1717】求积分解解 原式解解故该曲线的方程为【例例2424】已知一曲线过点(0,2)，且任意点的切线斜率为 ，求该曲线的方程。【例12】 求积分解
