《Dup常系数线性齐次微分方程实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Dup常系数线性齐次微分方程实用教案（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12. 当当时, 特征方程有两个(lin )相等实根则微分方程(wi fn fn chn)有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程(fngchng)得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为第1页/共20页第一页，共21页。23. 当当时, 特征方程有一对(y du)共轭复根这时原方程有两个(lin )复数解: 利用解的叠加原理(yunl) , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第2页/共20页第二页，共21页。3小结小结(xioji):特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论(jiln)可推广到高阶常系数线性微分方程 .第3页/共20页第三页，共21页。
2、4若特征方程含 k 重复(chngf)根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解(tngji)中必含对应项则其通解(tngji)中必含对应项特征方程: 推广推广:第4页/共20页第四页，共21页。5例例1.的通解(tngji).解: 特征方程特征(tzhng)根:因此(ync)原方程的通解为例2. 求解初值问题解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第5页/共20页第五页，共21页。6例例3.解:由第七节例1 (P293) 知, 位移(wiy)满足质量为m的物体(wt)自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由(zyu)运动,初始求物体的运动规律 立坐
3、标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为自由振动方程 , 第6页/共20页第六页，共21页。7方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:利用(lyng)初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )第7页/共20页第七页，共21页。8解的特征解的特征(t(tzhzhng)ng): :简谐振动(zhndng) A: 振幅(zhnf), : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)第8页/共20页第八页，共21页。9方程(fngchng):特征方程:特征(tzhng)根:小阻尼(zn): n
4、k临界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征第9页/共20页第九页，共21页。13例例4.的通解(tngji). 解: 特征方程特征(tzhng)根:因此(ync)原方程通解为例5.解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解第13页/共20页第十三页，共21页。14例例6. 解: 特征方程:即其根为方程(fngchng)通解 :第14页/共20页第十四页，共21页。15例例7.解: 特征方程:特征(tzhng)根为则方程(fngchng)通解 :第15页/共20页第十五页，共21页。16内容内容(nirng)小结小结特征(tzhng)根:(1) 当时, 通解(tng
5、ji)为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .第16页/共20页第十六页，共21页。17思考思考(sko)与练习与练习 求方程(fngchng)的通解(tngji) .答案:通解为通解为通解为第17页/共20页第十七页，共21页。18备用备用(biyng)题题1为特解的 4 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,并求其通解(tngji) .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为第18页/共20页第十八页，共21页。19备用备用(biyng)题题2为特解的 6 阶常系数(xsh)线性齐次微分方程,并求其通解(tngj
6、i) .解: 根据给定的特解知特征方程有根 :其通解为因此特征方程为即故所求方程为,第19页/共20页第十九页，共21页。20感谢您的欣赏(xnshng)！第20页/共20页第二十页，共21页。内容(nirng)总结1。特 征 根。若特征方程含 k 重复根。若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解(tngji)中必含对应项。解: 特征方程。由第七节例1 (P293) 知, 位移满足。质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,。设 t = 0 时物体的位置为。 : 初相,。大阻尼: n k。临界阻尼: n = k。随时间 t 的增大物体。即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.。最多只与 t 轴交于一点。2) 无振荡现象。解: 特征方程:第二十一页，共21页。
