第二章第二章 流体静力学流体静力学v 流体静力学流体静力学-----研究流体在外力作用下的静止平衡规研究流体在外力作用下的静止平衡规律及其在工程上应用的科学律及其在工程上应用的科学Ø流体相对于惯性参考坐标系没有运动时，称为流体处于静流体相对于惯性参考坐标系没有运动时，称为流体处于静止（或平衡）状态止（或平衡）状态Ø流体相对于非惯性参考坐标系没有运动时，称为流体处于流体相对于非惯性参考坐标系没有运动时，称为流体处于相对静止（或相对平衡）状态相对静止（或相对平衡）状态Ø 流体处于静止或相对静止状态，流层间没有相对滑动流体处于静止或相对静止状态，流层间没有相对滑动，，粘性作用表现不出来粘性作用表现不出来-------流体静力学为无黏性流体的力流体静力学为无黏性流体的力学模型注：不是流体没有粘性注：不是流体没有粘性 第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性一、流体的静压强定义：一、流体的静压强定义：流体的压强流体的压强(pressure) ：：在流体内部或固体壁面所存在的单位在流体内部或固体壁面所存在的单位 面积上面积上 的法向作用力的法向作用力流体静压强流体静压强（（static pressure)：：流体处于静止状态时的压强流体处于静止状态时的压强。
平均静压强：平均静压强：压强单位压强单位(Units)§ 国际单位（国际单位（SI））制：制：Pa；；§ 工程单位制：工程单位制：Kgf/m2§ 其它，如大气压（其它，如大气压（atm）， 1atm=101325Pa 特性特性1. 流体的静压强必须垂直于其所作用的面流体的静压强必须垂直于其所作用的面 积，积， 并指向作用面的内法线方向并指向作用面的内法线方向注：研究流体静力学得根本问题就是研究流体静注：研究流体静力学得根本问题就是研究流体静压强问题压强问题二、流体的静压强特性：二、流体的静压强特性：v证明：证明：（（反证法）反证法）假设：压强假设：压强p不垂直于它所作用的面积，不垂直于它所作用的面积，则则:可以将压力可以将压力P分解成沿分解成沿ΔA面的法线方向面的法线方向和切线方向上的两个力和切线方向上的两个力P 与与τ，，τ的切向力必的切向力必将破坏流体的平衡，引起流动将破坏流体的平衡，引起流动因此，当流体相对静止时，只有法线方向的因此，当流体相对静止时，只有法线方向的力存在，而且沿着内法线方向作用力存在，而且沿着内法线方向作用。
PPnτΔA 特性特性2、、某一点上的流体静压强的大小与作用面的方向某一点上的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关即无关，只与该点的位置有关即px= py= pz= pnv证明：证明： 在相对静止的流体中取出一个包括在相对静止的流体中取出一个包括O点在内的微元四面体点在内的微元四面体设设: :①①直角坐标原点与直角坐标原点与O O点点重合 ② ②微元四面体正交的三个边长分别为微元四面体正交的三个边长分别为dx，，dy和和dz表面力表面力: 分析其受力情况分析其受力情况：： 因为微元四面体处于静止状态，所因为微元四面体处于静止状态，所以作用在其上的力是平衡的以作用在其上的力是平衡的. . (dAn为为△△A ABC的面积）的面积） PxPzxydydxPnPydzozABC 质量力：质量力：设质量力设质量力F沿沿x、、y、、z轴为轴为Fx、、Fy、、Fz ，， X、、Y、、Z为单位质量力在为单位质量力在x、、y、、z轴向的分力轴向的分力PxPzxydydxPnPydzozABC则：则：因因为为: :微微元元四四面面体体处处于于平平衡衡状状态态，，故：作用在其上的一切力在任意故：作用在其上的一切力在任意 轴上投影的总和等于零。
轴上投影的总和等于零对于直角坐标系，则对于直角坐标系，则：：在在X轴方向上力的平衡方程为：轴方向上力的平衡方程为： 即：在相对静止的流体中，沿任何方向作用于某一固定点的静即：在相对静止的流体中，沿任何方向作用于某一固定点的静压强均有相同的数值压强均有相同的数值 把把PX，，Pn和和Fx 的各式代入得：的各式代入得：因为：因为：则上式变成：则上式变成：或：或： 略去高阶无穷小量，得到：略去高阶无穷小量，得到：同理得到：同理得到：所以：所以： PxPzxydydxPnPydzozABC §或者说：各点的位置不同，压强可能不同，位置一或者说：各点的位置不同，压强可能不同，位置一定，则不论哪个方向大小完全相同定，则不论哪个方向大小完全相同 §因此：流体静压强是空间的单值函数，因此：流体静压强是空间的单值函数，即：即： p=f（（x，，y，，z））AB水水 v思考题：思考题：1)在如图情况下容器里装有液体，这时在如图情况下容器里装有液体，这时px=py=pz，，结论是否成立？结论是否成立？v2））在管道内有运动的流体，在此情况下在管道内有运动的流体，在此情况下px=py=pz结结论是否成立？论是否成立？水水 第二节第二节 流体的平衡微分方程流体的平衡微分方程一、推导过程一、推导过程 在处于平衡状态下的流体中任取一微元平行六面体。
其边长为在处于平衡状态下的流体中任取一微元平行六面体其边长为dx、、dy、、dz.研究研究 p=f（（x，，y，，z））的具体表达形式的具体表达形式dxdydzzoxyp 设设其中心点压力为其中心点压力为p进行受力分析进行受力分析以以x方向为例方向为例：§表面力表面力----作用于此六面体上的静压强作用于此六面体上的静压强在在x轴方向上作用在微六面体上的压力共为：轴方向上作用在微六面体上的压力共为： 质量力：质量力：设在设在x轴方向上流体单位质量的质量力分别为轴方向上流体单位质量的质量力分别为X，， 则在这个方向上微六面体的质量力为则在这个方向上微六面体的质量力为Xρdxdydz §根据平衡的条件，根据平衡的条件，沿沿x轴的各力之和应等于零，故轴的各力之和应等于零，故§此式为流体的此式为流体的平衡微分方程式（欧拉平衡微分方程式平衡微分方程式（欧拉平衡微分方程式)(1775年年)§上式表明：哪个方向有质量力，哪个方向就有压强的变化上式表明：哪个方向有质量力，哪个方向就有压强的变化 质量力的方向即为压强递增的方向质量力的方向即为压强递增的方向。
二、适用范围二、适用范围 静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体同理同理（（2-7-1b））即：即： 第三节第三节 流体的静力学基本方程式流体的静力学基本方程式(The Governing Pressure-Field Equation in a Static Fluid)一、方程的推导一、方程的推导§将欧拉平衡方程中各式分别乘以将欧拉平衡方程中各式分别乘以dx、、dy、、dz，，然后将它们相加起来然后将它们相加起来:dxdydz因为：静压强因为：静压强p只是坐标的连续函数，只是坐标的连续函数，p=f（（x，，y，，z）），，所以所以: 压强压强p的全微分的全微分(the total derivative):上式可以写成：上式可以写成： §这就是仅处于重力作用下的流体这就是仅处于重力作用下的流体静力学基本方程式静力学基本方程式适用条件：平衡状态下不可压缩均质重力流体适用条件：平衡状态下不可压缩均质重力流体流体的重度流体的重度γ=ρg，，于是于是对于液体为不可压缩流体，对于液体为不可压缩流体，γ是常数，将上是常数，将上式积分，得：式积分，得：或或当流体的质量力只是重力时，即：当流体的质量力只是重力时，即：X=0，，Y=0，，Z= - g，，则：则：（（2-2-4）） z ——单位重量流体的距基准面的位置高度或位置水头单位重量流体的距基准面的位置高度或位置水头 二、方程的几何与二、方程的几何与 物理意义物理意义——单位重量流体的单位重量流体的 压力水头压力水头——单位重量流体的静水头单位重量流体的静水头v几何意义：几何意义：即：在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等即：在重力作用下静止流体中各点的静水头都相等 z ——单位重量流体的位势能单位重量流体的位势能——单位重量流体的压力势能单位重量流体的压力势能——单位重量流体的总势能单位重量流体的总势能即：在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能即：在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能保持不变保持不变。
v物理意义 三、讨论与说明三、讨论与说明1.已知液体中任意点的静压强和该点在空间的坐标，已知液体中任意点的静压强和该点在空间的坐标，可求出另一任意点的静压强可求出另一任意点的静压强 2.液体与气体交界面上各点的压强液体与气体交界面上各点的压强p是相等的，是相等的，（这样的等压面称为（这样的等压面称为自由表面自由表面））3.令自由表面的坐标为令自由表面的坐标为z0，，或或 是静止流体中任意点在自由液面下的深度是静止流体中任意点在自由液面下的深度 •式中式中则：则：q该式为静力学基本方程的另一种形式该式为静力学基本方程的另一种形式q该式为自由表面以下任意深度该式为自由表面以下任意深度h处的压强式，它说明了处的压强式，它说明了平衡液体中压强的分布规律平衡液体中压强的分布规律2-2-3）） 由此得到三个重要结论：由此得到三个重要结论： (1)在在重重力力作作用用下下的的静静止止液液体体中中，，静静压压强强随随深深度度按按线线性性规规律律变变化化，，即随深度的增加，静压强值成正比增大即随深度的增加，静压强值成正比增大 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成： 一部分是自由液面上的压强一部分是自由液面上的压强p0 ；；另一部分是该点到自由液面的另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量单位面积上的液柱重量γγh。
(3)在静止液体中，位于同一深度在静止液体中，位于同一深度(h=常数常数)的各点的静压强相等的各点的静压强相等流体中压强相等的点所组成的面称为等压面流体中压强相等的点所组成的面称为等压面这表明任一水平面都这表明任一水平面都是等压面是等压面 §特别注意：流体静压强的分布特别注意：流体静压强的分布规律只适用于静止、同种、连规律只适用于静止、同种、连续的流体续的流体 v书上图书上图2-10v例题例题2-2 第四节第四节 压强计量基准及压强计量单位压强计量基准及压强计量单位一、计量基准：一、计量基准：绝对压强：绝对压强：以完全真空为基准计量的压强以完全真空为基准计量的压强(absolute pressure)相对压强：以大气压强为基准的计算压强相对压强：以大气压强为基准的计算压强(gage pressure)正压：大于同高度的大气压强为正压正压：大于同高度的大气压强为正压负压：小于同高度的大气压强为负压负压：小于同高度的大气压强为负压pg= p - pav大气压的相对压为大气压的相对压为0v负压的绝对值为真空度负压的绝对值为真空度apa 二、压强的三种度量单位：二、压强的三种度量单位：1、以压强基本定义为基准：、以压强基本定义为基准： SI制：制：N/m2, Pa. 工程制：工程制：kgf/m2 2、、以大气压强为基准：以大气压强为基准： SI制：制：1 标准大气压标准大气压=101325Pa 工程制：工程制： 1工程大气压工程大气压=105Pa3、、以液柱高度为基准：以液柱高度为基准：1 标准大气压标准大气压=10.33m水柱水柱=760mm汞柱汞柱(自行推倒）自行推倒） 1工程大气压工程大气压=10m水柱水柱由由P=r h, h= P/ r 而来而来例题：例题：P24:2- 3 第五节第五节 测量压强的仪器测量压强的仪器流流 体体 的的 压压 强强 可可 用用 液液 柱柱 高高 度度 表表 示示 ，， 因因 此此 液液 柱柱 式式 测测 压压 计计(manometer)是是测测量量流流体体压压强强常常用用的的仪仪器器，，其其工工作作液液体体一一般为水、酒精、四氯化碳或水银等。
般为水、酒精、四氯化碳或水银等 应用液体平衡原理可以测量流体的压强所使用的这类仪器应用液体平衡原理可以测量流体的压强所使用的这类仪器叫叫液压计液压计 分类：分类：机械式压力传感器：机械式压力传感器：电气式压力传感器：电气式压力传感器：液柱式压力计液柱式压力计弹簧管式压力计弹簧管式压力计活塞净重式压力计活塞净重式压力计压电压力计压电压力计压阻压力计压阻压力计 1、测压管、测压管(Pressure Tube)原理：原理： 从玻璃管这一侧来看，如果从点从玻璃管这一侧来看，如果从点A算算 起，管内液柱高度为起，管内液柱高度为h，则点，则点A上的压强上的压强§单直管测压计特点：单直管测压计特点： 较精确、简单，但只能测液体的较低压强如果测管内径很较精确、简单，但只能测液体的较低压强如果测管内径很细，有毛细管现象，影响读数的精确性细，有毛细管现象，影响读数的精确性结构：一根内径为结构：一根内径为10mm左右的直玻璃管的下左右的直玻璃管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通，气相通， 2、、U型管型管(the U-shaped tube)测压计测压计§U型管测压计特点：型管测压计特点： 既可测液体较高的压强，也可测气体较低压强或真空度。
既可测液体较高的压强，也可测气体较低压强或真空度 由于由于 U形管是双管，因毛细管现象产生的读数误差就可抵消，形管是双管，因毛细管现象产生的读数误差就可抵消，测管可细小而精确测管可细小而精确U形管也可测量压差形管也可测量压差U形管的形管的1与与2是等压面，即是等压面，即p1=p2，，则：则：若容器内是气体，则若容器内是气体，则γ1＜＜＜＜γ2，即，即γ1 H 可忽可忽略不计，容器内的压强略不计，容器内的压强 pc为为ρ２２ 3、复合式测压计、复合式测压计——两点压强的计算两点压强的计算如图如图已知：已知：ρρ1 1、、ρρ2 2、、ρρ3 3，，h h1 1、、h h2 2、、h h3 3，，求求p pA A-p-pB Bv方法：找等压面方法：找等压面1—2—31—2—3和和4—54—5因为：因为：所以：所以： 另一种方法：另一种方法：根据根据“从一边开始，找等压面，向上减，向下加从一边开始，找等压面，向上减，向下加”的原则进行的原则进行解：此处的等压面有两个，解：此处的等压面有两个，1—2—31—2—3和和4—54—5根根据据“从从一一边边开开始始，，找找等等压压面面，，向向上上减减，，向向下下加加”的的原原则则得得到：到：例题：例题：2-4 4、单管杯式测压计（、单管杯式测压计（杯形压强计）杯形压强计） 该液压计是该液压计是U管压强计的一种变形，管压强计的一种变形，U形管的一侧用一个形管的一侧用一个大截面的杯形容器代替，杯的截面积远较玻璃管为大大截面的杯形容器代替，杯的截面积远较玻璃管为大 。
当当压压强强计计与与测测压压口口连连通通时时，，左左杯杯端端连连接接到到高高压压端端，，则则杯杯中中液液面面下下降降ΔhΔh的的高高度度至至o’o’－－o’o’的的位位置置，，而而此此时时右右管管中中液液面面上上升升h h的高度容器中气体的绝对压力为容器中气体的绝对压力为其表压力为其表压力为 §由于利用这种测压计测量压力时只需由于利用这种测压计测量压力时只需进行一次读数，因此读数的绝对误差进行一次读数，因此读数的绝对误差可比可比U型管测压计减小一半型管测压计减小一半根据体积平衡的原理根据体积平衡的原理若忽略杯内液面的变化，容器中气体的表压力为若忽略杯内液面的变化，容器中气体的表压力为使用这种压强计时，必须记住较高压强处总是与杯形端相接，才能使压使用这种压强计时，必须记住较高压强处总是与杯形端相接，才能使压强在玻璃管上反映出来强在玻璃管上反映出来 5、倾斜微压计、倾斜微压计----测定微小压强（或压差）测定微小压强（或压差）由图由图h＝＝lsinα如图：微压计一般用于测定气体压强，它的测压管是如图：微压计一般用于测定气体压强，它的测压管是倾斜放置的，其倾角为倾斜放置的，其倾角为αα 容器中气体的绝对压力为：容器中气体的绝对压力为：§其表压力为：其表压力为：又根据体积平衡又根据体积平衡则：则：h §当测定时当测定时α为定值，只需测得倾斜长度为定值，只需测得倾斜长度l，，就可得出压差。
就可得出压差§由于由于l=h／／sinα，，说明倾斜角度越小，说明倾斜角度越小，l比比h放大的倍数就越放大的倍数就越大，量测的精度就更高大，量测的精度就更高§由上式还可知，在由上式还可知，在pg一定时，一定时，γ愈小，读数愈小，读数l就越大因此，就越大因此，工程上常用容重比水更小的液体，例如酒精（纯度工程上常用容重比水更小的液体，例如酒精（纯度96%的的酒精酒精，，γ=7.944kN／／m3））以提高精度以提高精度若忽略杯内液面的变化，容器若忽略杯内液面的变化，容器中气体的表压力为中气体的表压力为h 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题：静止液体作用在平面上的总压力包括三个问题：1.1.总压力的总压力的大小大小2.2.总压力的总压力的作用点作用点3.3.总压力的总压力的方向方向 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力一、平面壁的总作用力及作用点一、平面壁的总作用力及作用点方向方向：平面壁上所受液体静压强的总和 dA上的压强为 dA上总压力 结论：静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度、重力加速度、平面面积和形心淹深的乘积。
式中 是整个淹没平面面积A对OX轴的面积矩，hc为平面A的形心C到OX轴的距离，称为形心y坐标 如果保持平面形心的淹深不变，改变平面的倾斜角度，则静止液体作用在该平面的总压力值不变，即静止液体作用于淹没平面上的总压力与平面的倾斜角度无关作用在静止液体中任一淹没平面上液体的总压力也相当于以平面面积为底，平面形心淹深为高的柱体的液重 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力总压力的作用点总压力的作用点计算方法和定义：计算方法和定义：淹没在静止液体的平面上总压力的作用点，即总压力作用线与平面的交点，称为压力中心由合力矩定理可知，总压力对OX轴之矩等于各微元面积上的总压力对OX轴之矩的代数和平行轴定义：平行轴定义：——受压面积A对其心轴（过形心C，平行x轴）的二次矩是面积对于通过它形心且平行于OX轴的轴线的惯性矩 从这个方程式可以看到，压力中心的位置与Θ角无关，即平面面积可以绕与OX轴平行且通过压力中心的轴旋转Jx表示受压面表示受压面A对对x轴的惯性矩轴的惯性矩 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力方法二：图解法方法二：图解法作用点：作用点：V的形心处的形心处——2h/3总作用力总作用力：： 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力 截面几何图形面积A型心yc惯性距Icx bh 1/2h 1/12bh3 1/2bh 2/3h 1/36bh3 1/2h(a+b) 2.5 液体对壁面的作用力液体对壁面的作用力二、二、二、二、 静止流体作用于曲面壁的总压力静止流体作用于曲面壁的总压力静止流体作用于曲面壁的总压力静止流体作用于曲面壁的总压力液体作用在曲面上的液体作用在曲面上的总压力总压力为为 总压力的倾总压力的倾斜角斜角为为 作用点通过压力体体积的形心 。