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1、第章非线性振动理论简介第章非线性振动理论简介1243 35.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性.基本的摄动方法基本的摄动方法.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法.KBM返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类.保守系统保守系统在保守系统中总能量保持常量在保守系统中总能量保持常量,其运动微分方程形式为其运动微分方程形式为式中式中,p (u ) 只与系统位移只与系统位移u 的非线性有势力有关的非线性有势力有关,例如重力、弹性力等例如重力、弹性力等.图图-中的重力摆是保守系统最简单的例子中的重力摆是保守系统最简单的例子,其运动满足微分方程其运动满足微分
2、方程下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类式中式中,g 为重力加速度为重力加速度;l为摆长为摆长.该系统的非线性有势力该系统的非线性有势力对于微小量对于微小量u,可近似可近似sinuu,将系统简化为一线性系统将系统简化为一线性系统.如果振幅并不是如果振幅并不是很小很小,就必须取就必须取sinu 展开级数中更多的项展开级数中更多的项,如可取如可取sinuuu/,将方程将方程(-)简化为简化为即非线性微分方程即非线性微分方程.上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类通常通常,如果运动微分方程形式满足如果运动微分方程形式满足则将这样的方程称作达芬方程则将这样的方程称
3、作达芬方程,式中式中a,b 是常数是常数.对于稍大摆角对于稍大摆角,重力摆运动重力摆运动微分方程微分方程(-)就是达芬方程就是达芬方程,其中其中ag/l、b g/l.Duffing系统的另一个例子是系统的另一个例子是图图- (a)所示端部有集中质量的弹性梁所示端部有集中质量的弹性梁.梁的大挠度变形会产生如图梁的大挠度变形会产生如图- (b)所示的非线性弹性恢复力所示的非线性弹性恢复力,如果端部如果端部集中质量远大于梁的质量集中质量远大于梁的质量,其大挠度振动微分方程近似满足式其大挠度振动微分方程近似满足式(-),此时此时a,b.上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类如果将
4、保守系统与单自由度线性系统相比如果将保守系统与单自由度线性系统相比,有势力有势力p(u)可近似认为是一非可近似认为是一非线性弹簧弹性恢复力的反作用力线性弹簧弹性恢复力的反作用力.因此因此,非线性刚度可定义为非线性刚度可定义为非线性刚度是随系统位移大小而变的非线性刚度是随系统位移大小而变的.如果非线性弹簧满足如果非线性弹簧满足uk (u ) ,则称系统刚度渐硬则称系统刚度渐硬;反之则为刚度渐软反之则为刚度渐软.显然显然,重力摆是一刚度渐软系统重力摆是一刚度渐软系统,而而集中质量的大挠度梁则是刚度渐硬系统集中质量的大挠度梁则是刚度渐硬系统.在机械系统中在机械系统中,间隙与弹性约束的系统随处可见间隙
5、与弹性约束的系统随处可见.图图-所示为弹性约束所示为弹性约束的单自由度系统的单自由度系统,其非线性有势力是位移其非线性有势力是位移u 的分段线性函数的分段线性函数上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类故称这样的系统为分段线性系统故称这样的系统为分段线性系统.显然显然,它是一刚度渐硬系统它是一刚度渐硬系统.非保守系统非保守系统非保守系统的机械能不守恒非保守系统的机械能不守恒,系统存在内部耗能或是吸收外界能量系统存在内部耗能或是吸收外界能量.首先考首先考察由阻尼耗能导致的非保守系统察由阻尼耗能导致的非保守系统其中阻尼力的反力为其中阻尼力的反力为上一页 下一页返回.非线性振动系
6、统的分类非线性振动系统的分类图图-所示为基础做铅垂运动的重力摆所示为基础做铅垂运动的重力摆,其运动微分方程为其运动微分方程为如果基础做铅垂简谐振动如果基础做铅垂简谐振动v (t ) acost,代入式代入式(-),于是运动微分于是运动微分方程为方程为将式将式(-)与式与式(-)进行比较进行比较,非线性项非线性项sin (t ) 的系数由常数的系数由常数g/l变变为时间为时间t的函数的函数(gacost)/l.系统的运动微分方程以时变参数的形式系统的运动微分方程以时变参数的形式反映了环境对系统的激励反映了环境对系统的激励,因此将这样的激励称作参数激励因此将这样的激励称作参数激励;上一页 下一页返
7、回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类相应的振动称作参激振动相应的振动称作参激振动,其特征表现为系统受到纵向激励的作用而发生其特征表现为系统受到纵向激励的作用而发生沿横向的振动沿横向的振动.例如例如,图图-所示为两端铰支所示为两端铰支BernoulliEuler梁在简谐梁在简谐轴向力轴向力f (t ) fcost作用下的微小振动作用下的微小振动.设梁的长度为设梁的长度为l,单位长度质量为单位长度质量为A,抗弯刚度为抗弯刚度为EI.梁在轴向压力作用下沿梁在轴向压力作用下沿横向振动的微分方程为横向振动的微分方程为以两端铰支以两端铰支BernoulliEuler梁的固有振型作为基底梁的固有振型
8、作为基底,将挠度表示为将挠度表示为上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类将式将式(.)代入式代入式(.),根据固有振型的加权正交性得到一组解耦根据固有振型的加权正交性得到一组解耦的常微分方程的常微分方程式中式中引入引入上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类以以O代表对新时间变量代表对新时间变量 的导数的导数,得到得到式式(-)为一参数激励系统为一参数激励系统.年年Mathieu在研究椭圆薄膜振动问题时提到这种形式的微分方在研究椭圆薄膜振动问题时提到这种形式的微分方程程.因此因此,将它称作将它称作Mathieu方程方程.进一步研究表明进一步研究表明,一
9、旦激励频率一旦激励频率 与梁的与梁的某阶固有频率某阶固有频率r 的二倍足够接近时的二倍足够接近时,梁受到横向微小扰动时将发生参激梁受到横向微小扰动时将发生参激振动而失稳振动而失稳.上一页 下一页返回.非线性振动系统的分类非线性振动系统的分类非线性系统的分类除了按保守与非保守以外非线性系统的分类除了按保守与非保守以外,还可按自治与非自治进行分还可按自治与非自治进行分类类.自治系统是指方程自治系统是指方程(-)的特殊形式的特殊形式其非线性力不显含时间其非线性力不显含时间t,不具备这种形式的系统称作非自治系统不具备这种形式的系统称作非自治系统.上一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性处理非线
10、性微分方程的解析过程是困难的处理非线性微分方程的解析过程是困难的,它要求广泛的数学研究它要求广泛的数学研究.大家知大家知道非线性系统的精确解是相对很少的道非线性系统的精确解是相对很少的,非线性系统学科的大部分发展来自非线性系统学科的大部分发展来自近似解和图解以及在计算机上所做的研究近似解和图解以及在计算机上所做的研究.然而然而,应用状态空间方法以及研应用状态空间方法以及研究在相平面内描述的运动究在相平面内描述的运动,能获得很多关于非线性系统知识能获得很多关于非线性系统知识.考察单自由度自治系统考察单自由度自治系统自治系统的一个基本性质是自治系统的一个基本性质是:对于时间坐标对于时间坐标t的平移
11、其运动微分方程形式的平移其运动微分方程形式保持不变保持不变.因此因此,今后一般不再写出时间变量今后一般不再写出时间变量t,并取系统初始时刻为并取系统初始时刻为t.下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性 相轨线相轨线用系统位移用系统位移u 和速度和速度u组成二维状态向量组成二维状态向量将式将式(-)改写为改写为上一页 下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性在给定初始条件后在给定初始条件后,方程方程 (-)的解的解u (t),u (t)(t)是是 (u,u )平面平面上随参数上随参数t增加而变化的一条积分曲线增加而变化的一条积分曲线.通常通常,称称 (u,u )平面为相平面平面
12、为相平面,称称上述解曲线为相轨线上述解曲线为相轨线,而相轨线的全体构成相图而相轨线的全体构成相图,将状态向量所存在的空间将状态向量所存在的空间称为相空间称为相空间.另一个有用的概念是状态速度另一个有用的概念是状态速度v,它由下列方程定义它由下列方程定义当状态速度为零时当状态速度为零时,达到平衡状态达到平衡状态.式式(-)消去消去dt,得到相轨线的切方向得到相轨线的切方向上一页 下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性它仅依赖于相轨线在相平面上的位置它仅依赖于相轨线在相平面上的位置 (u,u ),而与时间而与时间t无关无关.只要式中只要式中分子和分母在分子和分母在(u,u )处不同时为零
13、处不同时为零,则相轨线在该处的切方向是唯一确则相轨线在该处的切方向是唯一确定的定的,即过即过 (u,u )有且仅有一条相轨线有且仅有一条相轨线.自治系统在相空间各点都有确自治系统在相空间各点都有确定不变的状态速度定不变的状态速度,相轨线在它经过的所有点都与该点的速度相切相轨线在它经过的所有点都与该点的速度相切. 平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性系统在相平面上的速度和加速度同时为零的相点称为平衡点系统在相平面上的速度和加速度同时为零的相点称为平衡点,记为记为us.从方从方程程(-)不难看出不难看出,平衡点平衡点us 满足满足上一页 下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性对照式对照式(-
14、),相轨线的切方向在平衡点处不唯一相轨线的切方向在平衡点处不唯一.因此因此,平衡点又称为平衡点又称为奇点奇点.在平衡点上在平衡点上,所有状态变量的变化率所有状态变量的变化率us 均为零均为零.由于变化率为零由于变化率为零,状状态变量不会改变态变量不会改变;另一方面另一方面,状态变量不改变状态变量不改变,其结果是系统就只能静止在其结果是系统就只能静止在原来的位置上原来的位置上,不可能运动不可能运动.如果在一个平衡点的领域中不存在其他的平衡如果在一个平衡点的领域中不存在其他的平衡点点,这样的平衡点称为孤立平衡点这样的平衡点称为孤立平衡点.如上所述如上所述,在平衡点上状态点移动的速度和加速度都为零在
15、平衡点上状态点移动的速度和加速度都为零,而由于连续性的而由于连续性的关系关系,在平衡点附近状态点移动的速度和加速度也无限小在平衡点附近状态点移动的速度和加速度也无限小.因此因此,从理论上从理论上讲讲,系统沿着一条轨线运动到平衡点所需时间是无限长的系统沿着一条轨线运动到平衡点所需时间是无限长的.因此平衡点可以因此平衡点可以说是可趋近而不可即的说是可趋近而不可即的.但在工程实践中但在工程实践中,当时间足够长时当时间足够长时,就认为系统的就认为系统的状态点已达到平衡点状态点已达到平衡点.上一页 下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性:若对于任给的
16、若对于任给的,存在存在 ( ) ,使当使当u ( ) us ( ) 时时,系统的运动满足系统的运动满足则称系统的平衡点则称系统的平衡点us 是稳定的是稳定的,否则称为不稳定否则称为不稳定.如果在稳定前提下还有如果在稳定前提下还有则称系统的平衡点则称系统的平衡点us 是渐近稳定的是渐近稳定的.稳定的平衡点与不稳定的平衡点的差稳定的平衡点与不稳定的平衡点的差别并不在于平衡点本身的状态别并不在于平衡点本身的状态,而在于系统在略微偏离平衡点时的运动趋而在于系统在略微偏离平衡点时的运动趋势是趋向于回到平衡点保持在平衡点附近运动势是趋向于回到平衡点保持在平衡点附近运动,还是趋向于偏离该平衡点还是趋向于偏离
17、该平衡点越来越远越来越远,相应的相应的,该平衡点称为渐近稳定的该平衡点称为渐近稳定的,仅稳定的或不稳定的仅稳定的或不稳定的.上一页 下一页返回.非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性应该弄清楚应该弄清楚“平衡平衡”与与“稳定稳定”这两个概念之间的联系与差别这两个概念之间的联系与差别,须知须知“平平衡衡”并不一定并不一定“稳定稳定”,而稳定则一定是围绕着平衡点而言的而稳定则一定是围绕着平衡点而言的.这些概念这些概念对于工程实践是至关重要的对于工程实践是至关重要的.一般来说一般来说,如果要求一个工程系统稳定运行如果要求一个工程系统稳定运行,则它当然应该工作在其平衡点上则它当然应该工作在其平衡点上,但
18、这样说还不够确切但这样说还不够确切,应该说应该说,它必须工它必须工作在其稳定平衡点上作在其稳定平衡点上.这是由于一个真实的系统必然经受各种各样的扰动这是由于一个真实的系统必然经受各种各样的扰动,只有稳定平衡点才具有抗扰动的能力只有稳定平衡点才具有抗扰动的能力,从而能将系统维系在其周围而稳定从而能将系统维系在其周围而稳定地运转地运转.对于处在这种平衡状态下的系统对于处在这种平衡状态下的系统,短暂、微小的扰动只会引起其工短暂、微小的扰动只会引起其工作状态短暂的、微小的变化作状态短暂的、微小的变化,而这些变化一般是工程实践可以容忍的而这些变化一般是工程实践可以容忍的.可是可是对于不稳定平衡点来说对于
19、不稳定平衡点来说,任何短暂、微小的扰动都足以使系统永远、大幅任何短暂、微小的扰动都足以使系统永远、大幅度地偏离其正常工作点度地偏离其正常工作点,完全破坏系统的工作条件完全破坏系统的工作条件.由于这种不稳定平衡状由于这种不稳定平衡状态不具备抗干扰的能力态不具备抗干扰的能力,因此只是一种理论上的平衡状态因此只是一种理论上的平衡状态,实际上是观察不实际上是观察不到的到的.上一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法摄动法是适用于解决小参数摄动法是适用于解决小参数u 与微分方程的非线性项相结合的问题与微分方程的非线性项相结合的问题.这类这类问题的解是由摄动参数问题的解是由摄动参数u 的级数构成的的级数构成
20、的,它是在线性问题解的邻域中发展它是在线性问题解的邻域中发展的结果的结果.如果线性问题的解是周期性的如果线性问题的解是周期性的,且且u 是小的是小的,那么可以期望摄动解那么可以期望摄动解也是周期性的也是周期性的.“摄动法摄动法”的基本思想是首先就一种比较基本、比较简单的情况的基本思想是首先就一种比较基本、比较简单的情况,确定一确定一个分析问题的基本解答个分析问题的基本解答,然后考虑与问题有关的参数的微小变化对基本解然后考虑与问题有关的参数的微小变化对基本解答所造成的影响答所造成的影响,即所谓即所谓“摄动摄动”.而这种影响是以级数的形式给出的而这种影响是以级数的形式给出的,其其目的是对基本解答进
21、行修正目的是对基本解答进行修正.所取级数的项数越多所取级数的项数越多,修正就越完善修正就越完善,其结果其结果就越精确就越精确;另一方面另一方面,公式也越复杂公式也越复杂,计算量也越大计算量也越大.摄动法被用于解决拟线摄动法被用于解决拟线性系统的振动分析问题性系统的振动分析问题,其要点是将系统运动方程中的非线性项看成是一其要点是将系统运动方程中的非线性项看成是一种微小的摄动项种微小的摄动项,而设法寻求此摄动项对相应的线性系统的解的影响与修而设法寻求此摄动项对相应的线性系统的解的影响与修正正.下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法研究的对象限于弱非线性自治系统的初值问题研究的对象限于弱非线性自治
22、系统的初值问题式中式中,是一小参数是一小参数.由于时间坐标平移不改变自治系统的形式由于时间坐标平移不改变自治系统的形式,因因此将时间起点选在初速为零的时刻此将时间起点选在初速为零的时刻.当当时时,式式(-)退化为派生系统退化为派生系统,其运动为其运动为称作派生解称作派生解.本节将要介绍的几种定量分析方法都是研究本节将要介绍的几种定量分析方法都是研究时非时非线性因素对系统运动的影响线性因素对系统运动的影响,获得对派生解获得对派生解(-)的某种修正的某种修正.上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法.LindstedtPoincare摄动法摄动法此法是比较经典的摄动法此法是比较经典的摄动法
23、.方程方程(-)含有小参数含有小参数,其解其解u (t) 仅与仅与 有有关关.系统自由振动的频率系统自由振动的频率 与非线性项有关与非线性项有关,也依赖于也依赖于.因此因此,将将u (t) 和和 展开为展开为 的幂级数的幂级数通过对未知系数通过对未知系数ur (t) ,br(r,)的确定的确定,得到方程得到方程(-)在派生解在派生解附近的一个周期解附近的一个周期解.将这种方法称为摄动法将这种方法称为摄动法,即在简单问题的解附近求解复即在简单问题的解附近求解复杂问题级数解的方法杂问题级数解的方法.上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法式式(-)右边的第一项分别表示相应的线性系统的振动位
24、移及其振动右边的第一项分别表示相应的线性系统的振动位移及其振动频率频率,而其后的各项则分别表示由于微小非线性而其后的各项则分别表示由于微小非线性pu(t),u (t) 的存在对系的存在对系统的解所造成的影响和修正统的解所造成的影响和修正,这里同时考虑到非线性项对振动位移这里同时考虑到非线性项对振动位移u (t) 和和振动频率振动频率 的双重影响的双重影响.将式将式(-)分别代入式分别代入式(-a)和式和式(-b),得得上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法要想使式要想使式(-)对任意的参数对任意的参数都成立都成立,等式两端等式两端 的同次幂系的同次幂系数均应相等数均应相等.由此可以得
25、到一系列线性常微分方程的初值问题由此可以得到一系列线性常微分方程的初值问题上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法这些线性微分方程初值问题可依次求解这些线性微分方程初值问题可依次求解.方程方程(-a)是线性无阻尼系统自由振动问题是线性无阻尼系统自由振动问题,对其求解对其求解,得得将其代入式将其代入式(-b),得到得到上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法显然显然,函数函数p(acost,asint)是时间是时间t 的周期函数的周期函数,因此函数因此函数p (t)也是时间也是时间t的周期函数的周期函数.这是线性无阻尼系统在周期激励下的振动问题这是线性无阻尼系统在周期激励下的振动
26、问题.将将激励激励p (t) 展为展为Fourier级数级数将式将式(-)中各简谐激励引起的响应进行叠加便形成系统中各简谐激励引起的响应进行叠加便形成系统(-)的的响应响应.若若p (t) 中含有中含有cost或或sint,则响应中将含有则响应中将含有tcost或或tsint这这种随时间增加而趋于无穷的永年项种随时间增加而趋于无穷的永年项,即系统即系统(-)将发生共振将发生共振.要想使该要想使该系统做周期运动系统做周期运动,需要消除永年项需要消除永年项.为此为此,令式令式(-)中中cost和和sint项项的系数为零的系数为零,即即上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法此时此时,方程方
27、程(.)变为变为通过式通过式(-)和式和式(-),可得到派生解的一阶修正可得到派生解的一阶修正u (t ) 和自由振和自由振动频率的修正动频率的修正b.再将结果代入式再将结果代入式(-c),即可确定二阶修正即可确定二阶修正u (t ) 和和b.上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法.多尺度法多尺度法根据根据.节节,自治系统周期振动的相位为自治系统周期振动的相位为它包含了不同的时间尺度它包含了不同的时间尺度多尺度法就是将这些时间尺度视为独立变量多尺度法就是将这些时间尺度视为独立变量,将方程将方程(-)的解表示成的解表示成上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法并通过偏导数算子表
28、示导数算子并通过偏导数算子表示导数算子将式将式(-)、式、式(-)代入方程代入方程(-)中中,比较比较 同次幂的系数得同次幂的系数得一系列线性偏微分方程一系列线性偏微分方程上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法这组方程可依次求解这组方程可依次求解.现讨论上述线性偏微分方程的求解方法现讨论上述线性偏微分方程的求解方法.首先首先,式式(-a)的解形如的解形如为了方便求解为了方便求解u,将式将式(-)写作复数形式写作复数形式式中式中,cc 代表其前面各项的共轭代表其前面各项的共轭.将这一解代入式将这一解代入式(-b),得到得到上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法为了消除永年项为
29、了消除永年项,式式(.)右端不能含有右端不能含有eiT 或或eiT 这样的项这样的项,即上式右端的即上式右端的Fourier系数为零系数为零式式(-)的三角函数形式是的三角函数形式是上一页 下一页返回.基本的摄动方法基本的摄动方法分离实部和虚部得到分离实部和虚部得到在这组条件下求解方程在这组条件下求解方程 (-),得到一次修正得到一次修正u (T,T,),同同u (T,T, )一起代入方程一起代入方程 (-c),类似地类似地,消除永年项消除永年项,解出解出u (T,T, ).上一页返回.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法年林斯泰特为了消除永年项年林斯泰特为了消除永年项,提出对基本摄动法的改进提出
30、对基本摄动法的改进.年庞加莱证明了此方法的合理性年庞加莱证明了此方法的合理性,其基本思想是认为当其基本思想是认为当时非线性系统时非线性系统的振动频率不再是常数的振动频率不再是常数,而是由线性系统的常数而是由线性系统的常数 变成变成,这种变化这种变化是由摄动项引起的是由摄动项引起的,而摄动项又与系统的运动有关而摄动项又与系统的运动有关,所以所以应该是应该是的函数的函数,即即(),因此振动频率因此振动频率()和周期解和周期解x(t,)一样一样,都必须在摄动过程中都必须在摄动过程中逐步加以确定逐步加以确定.考虑到弱非线性自治方程考虑到弱非线性自治方程,为了便于计算频率的变化为了便于计算频率的变化,引
31、入新的自变量引入新的自变量 代代替替t,令变换关系式为令变换关系式为t,且有且有下一页返回.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法于是弱线性自治方程变为于是弱线性自治方程变为这样这样,以未知周期为以未知周期为/()的解的解x(t,)变成以已知周期为变成以已知周期为的解的解x(,).林斯泰特把林斯泰特把x(,)和和()都展成都展成的幂级数的幂级数上一页 下一页返回.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法式中式中,xi ()(i,)是是的未知函数的未知函数,i (i, )是待定的参是待定的参数数.根据微分方程的理论根据微分方程的理论,要想求解两个未知函数需要有两个微分方程要想求解两个未知函数需要有两个微分方程
32、.现现在有两个未知函数在有两个未知函数x (,)和和 (),而只有一个控制方程而只有一个控制方程(-),所以不能所以不能唯一确定唯一确定.设设xi ()(i, )是是的以的以为周期的周期函数为周期的周期函数,因而都因而都是有界的是有界的,利用这一附加条件便可以消除永年项利用这一附加条件便可以消除永年项.通过控制方程通过控制方程(-)和和一个附加条件可以唯一地确定一个附加条件可以唯一地确定x (,)和和 ().从下面的演算过程可以看到从下面的演算过程可以看到这一设想是可以实现的这一设想是可以实现的.xi ()都是都是的周期函数的数学形式为的周期函数的数学形式为上一页 下一页返回.林斯泰特庞加莱法
33、林斯泰特庞加莱法将式将式(-)代入式代入式(-)的左端的左端,得得将式将式 (-)代入式代入式 (-)的右端的右端,并将并将f x,x ( )在在xx,xx, 附近展开为附近展开为 的幂级数的幂级数,得到得到上一页 下一页返回.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法对式对式(.)与式与式(.)进行比较进行比较,令令 同次幂的系数相等同次幂的系数相等,得线性方程得线性方程组组上一页 下一页返回.林斯泰特庞加莱法林斯泰特庞加莱法上述方程组和基本摄动法得到的线性方程一样可以依次求解上述方程组和基本摄动法得到的线性方程一样可以依次求解.利用式利用式(-)这一附加条件确定式这一附加条件确定式(-)中的中的i
34、(i,),由于方程由于方程(-a)是齐次方程是齐次方程,所以它的解所以它的解x是周期函数是周期函数.要想要想xi ()(i, )成为周期函数成为周期函数,只要使方程只要使方程(-b,c, )的右端不含有第一谐波项的右端不含有第一谐波项,即第即第一谐波的系数为零一谐波的系数为零,则共振就不会发生则共振就不会发生,xi 就是周期的就是周期的,从而消除了永年项从而消除了永年项.通过第一谐波的系数为零就可确定通过第一谐波的系数为零就可确定i (i, ).上一页返回.KBM 法法KBM 法是年在克雷洛夫和博戈留博夫提出的渐近法的基础上由法是年在克雷洛夫和博戈留博夫提出的渐近法的基础上由博戈留博夫和米特罗
35、波尔斯基给出了严密的数学证明并加以推广博戈留博夫和米特罗波尔斯基给出了严密的数学证明并加以推广,因此也因此也称作克雷洛夫博戈留博夫米特罗波尔斯基方法称作克雷洛夫博戈留博夫米特罗波尔斯基方法,简称简称KBM 法法.与林斯与林斯泰特法一样泰特法一样,KBM 法在解中设立了某种任意性法在解中设立了某种任意性,通过求解的周期性以消除通过求解的周期性以消除这种任意性对于求解非线性振动问题这种方法是非常有效的这种任意性对于求解非线性振动问题这种方法是非常有效的.它既可以求它既可以求得周期解得周期解,又可求得非周期解又可求得非周期解,既可求解自治系统既可求解自治系统,又可求解非自治系统又可求解非自治系统.考
36、虑非线性系统考虑非线性系统式中式中,是小参数是小参数;f(x,x )为为x与与x的非线性解析函数的非线性解析函数.当当时时,系统是线性系统是线性的的,而且是简谐振动系统而且是简谐振动系统,其解为其解为下一页返回.KBM 法法式式(.)实际上是非线性方程实际上是非线性方程(.)的一次渐近解的一次渐近解.式中式中,振幅振幅a、固、固有频率有频率n和相角和相角 都是常数都是常数.当当且为微小量时且为微小量时,式式(.)右边可以右边可以看作一个小摄动看作一个小摄动,它引起的振幅与频率都随时间缓慢地变化它引起的振幅与频率都随时间缓慢地变化,这时振幅这时振幅a 和和全相位全相位 均为时间均为时间t 的函数
37、的函数.按照按照KBM法法,将振幅将振幅a 和全相位和全相位 看作两个基看作两个基本变量本变量,把解写成把解写成 的幂级数形式的幂级数形式,即即式中式中,xi (a,) (i,)是缓慢变化的是缓慢变化的a 和和 的函数的函数,而且而且 是以是以为为周期的周期函数周期的周期函数.上一页 下一页返回.KBM 法法a 和和 都是时间都是时间t 的函数的函数,它们可以通过下列微分方程求得它们可以通过下列微分方程求得,这组方程也是这组方程也是按按 展开的幂级数展开的幂级数,即它们对时间即它们对时间t的导数的导数a 和和 也展成也展成 的幂级数的幂级数为求解式为求解式(-),将式将式(-)、式、式(-)和
38、式和式(-)代入方程代入方程(-),令得到的方程两端关于令得到的方程两端关于的同次幂的系数相等的同次幂的系数相等,就得到关于就得到关于xi (i,)的方程的方程,这些方程中含有这些方程中含有A (a ) 和和i (a ) .A(a ) 和和i (a ) 可以可以通过消除永年项通过消除永年项,得到周期解而确定得到周期解而确定.通过逐阶地确定通过逐阶地确定A(a) 和和i (a ) 就可就可逐阶地求解逐阶地求解,从而得到各阶渐近解从而得到各阶渐近解.上一页 下一页返回.KBM 法法从式从式(-)、式、式(-)和式和式(-)出发出发,应用函数求导数的法则应用函数求导数的法则,有有上一页 下一页返回.
39、KBM 法法函数函数f(x,x )展成展成的幂级数的幂级数.引入记号引入记号应该明确应该明确,这里所取的这里所取的x 和和x 是式是式(-)和和(-)右端的第一项右端的第一项,而把右端第二项之后各项的和分别记为而把右端第二项之后各项的和分别记为x和和x.将将f(x,x )在在x 和和x 附附近展成泰勒级数近展成泰勒级数上一页 下一页返回.KBM 法法最后把式最后把式(-)、式、式(-)和式和式(-)代入原方程代入原方程(-),令两令两端关于端关于同次幂的系数相等同次幂的系数相等,可得到下列关于可得到下列关于xi (i,)的微分方的微分方程组程组上面这个方程组可以依次求解上面这个方程组可以依次求
40、解.在求解过程中在求解过程中,为了防止形成永年项为了防止形成永年项,利用利用xi(i, )是周期解是周期解,可得每个方程右端的可得每个方程右端的sin项与项与cos项的系数等项的系数等于零的附加条件于零的附加条件,就能定出就能定出Ai,i (i,).上一页返回图图-重力场的单摆及其非线性有势重力场的单摆及其非线性有势力力返回图图-具有集中质量的大挠度梁及其具有集中质量的大挠度梁及其非线性弹性恢复力非线性弹性恢复力返回图图-含弹性约束的系统及其分段线含弹性约束的系统及其分段线性弹性恢复力性弹性恢复力返回图图-基础做铅垂运动的重力摆基础做铅垂运动的重力摆返回图图-两端铰支两端铰支BernoulliEuler梁梁返回谢谢观谢谢观赏赏
