数学九年级上册BS版第四章图形的相似第四章图形的相似专题专题7 7相似三角形中常作的辅助线相似三角形中常作的辅助线数学九年级上册BS版专题专题解解读读典例典例讲练讲练目目录录CONTENTS数学九年级上册BS版0 1专题专题解解读读数学九年级上册BS版返回目录返回目录问题综述在几何图形的研究中，常常需要添加辅助线来帮助解决问题.在相似三角形的有关问题中，常用的辅助线有：（1）过一点作平行线来构造“A”型或“X”型；（2）过一点作垂线来构造“垂直”型.在作辅助线时，要考虑所添加的辅助线是否能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或等角、等线段，从而为证明三角形相似或进行相关的计算与证明创造条件.数学九年级上册BS版0 2典例典例讲练讲练数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型一作平行线构造“A”型或“X”型 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图，点 G 是 ABC 的重心，求证：AD 3 GD.【思路导航】过点 D 作 DH AB，交 CE 于点 H，即可证明 AEG DHG，进而求得 AG 2 GD，即可得出结论.数学九年级上册BS版返回目录返回目录证明：如图，过点 D 作 DH AB，交 CE 于点 H.AD 是 ABC 的中线，点 D 是 BC 的中点.DH 是 BCE 的中位线.BE 2 DH.CE 是 ABC 的中线，AE BE.AE 2 DH.DH AB，AEG DHG.AG 2 GD.AD 3 GD.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】解答本题的关键是通过作平行线构造相似三角形.一般是过已知比例线段（或求证比例线段）的端点或分点构造“A”型或“X”型相似.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 数学九年级上册BS版返回目录返回目录证明：如答图，过点 D 作 DG BC，交 AB 于点 G，则 ADG ACB，EBF DGF.BE AD，答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型二作垂线构造“垂直”型 如图，从 ABCD 的顶点 C 分别向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E，F.求证：AB AE AD AF AC2.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【思路导航】过点 B 作 BM AC 于点 M，过点 D 作 DN AC 于点 N，通过构造相似三角形，利用其性质，即可证明.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 AD AF AC AN.四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AD BC.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 DAN BCM.ADN CBM（AAS）.AN CM.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】熟练掌握辅助线的作法并能根据题意构造出相似三角形，利用全等三角形的性质进行线段的转化是解此题的关键.题中若有直角，则可考虑作垂线.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 数学九年级上册BS版返回目录返回目录解：如答图，过点 B 作 BH CE 于点 H.BEC 60，EBH 30.BE 2 CD，EH CD.BHF BDC 90，BFH CFD，BHF CDF.答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型三作延长线构造相似三角形 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD BC，BCD 的平分线 CH AB 于点 H，BH 3 AH，且四边形 AHCD 的面积为21，求 HBC 的面积.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【思路导航】因为问题涉及四边形 AHCD，所以可延长 BA，CD 相交于点 P，构造相似三角形（PA D PBC），把问题转化为相似三角形的面积比进行解决.解：如图，延长 BA，CD 交于点 P.CH AB，CH 平分 BCD，CB CP，且 BH PH.BH 3 AH，PA AB 12.PA PB 13.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 AD BC，PA D PBC.SPA D S PBC 19.SPA D S PCH 29.SPA D S四边形 AHCD 27.S四边形 AHCD 21，SPA D 6.S PBC 54.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】对于一些梯形问题，若题目中的条件难以统一起来使用，可考虑延长对边，构造三角形，运用相似三角形的知识来解决.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 如图，在Rt ABC 中，已知 CD 为斜边 AB 上的高，点 E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于点 F，FG AB 于点 G.求证：FG2 CF BF.数学九年级上册BS版返回目录返回目录证明：如答图，延长 GF，与 AC 的延长线交于点 H.CD AB，FG AB，CD FG.ACE AHF，ADE AGF.又点 E 为 CD 的中点，ED EC.FG FH.由题意知，FCH FGB 90，CFH GFB，答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录 FG FH CF BF.FG FH，FG2 CF BF.答图答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录类型四坐标系中构造平行线（或垂线）化斜为直数学九年级上册BS版返回目录返回目录【思路导航】由 S CAD S CBD 23可得 AD BD 23，再分别过点 A，D 作 y 轴的平行线，将线段关系转化为坐标关系，问题可解.【解析】如图，分别过点 A，D 作 y 轴的平行线，过点 B 作这两条平行线的垂线，垂足分别为 E，F.S CAD S CBD 23，AD BD 23.BD AB 35.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 AE DF，DFB AEB.BE 826，AE 413.数学九年级上册BS版返回目录返回目录【点拨】在解决与平面直角坐标系有关的问题（或函数问题）中，常常将面积关系或其他已知关系转化为线段关系，然后将线段关系转化为坐标关系，达到化斜为直的目的.数学九年级上册BS版返回目录返回目录 数学九年级上册BS版返回目录返回目录【解析】如答图，分别过点 A，P 作 y 轴的平行线，过点 B 作这两条平行线的垂线，垂足分别为 E，F.点 P，Q 关于原点对称，O 为 PQ 的中点.S AOQ S AOP，S BOQ S BOP.S AOQ S BOQ 54，S AOP S BOP 54.AP BP 54.BP AB 49.答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录 AE PF，PFB AEB.点 A（1，4），B（4，1），BE 413，AE 413.答图数学九年级上册BS版返回目录返回目录答图数学九年级上册BS版演示完毕 谢谢观看。
