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1、通信原理电子教案通信原理电子教案广东海洋大学信息学院广东海洋大学信息学院2012年年9月月高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声通信原理电子教案通信原理电子教案 授课班级：通信授课班级：通信1103班、通信班、通信1104班班 授课教师：广东海洋大学信息学院授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能梁能第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.4 2.4 高斯过程高斯过程2.4.1 2.4.1 基本概念基本概念 1.1.定义定义 一随机过程一随机过程(t)，若它的任意，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则维概率密度呈正态分布，则称其为高斯过程。又称正态随机过程。称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学
2、表达式数学表达式见式见式（2.5.1）。）。 一维时：一维时：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.性质性质由定义可分析出由定义可分析出（1）高斯过程）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳若广义平稳，则必狭义平稳 。（2）高斯过程中的随机变量）高斯过程中的随机变量(t1)、(t2)、(t3)、之间之间若不若不相关相关，则它们也是，则它们也是统计独立统计独立的。的。 fn（x1，x2，.，xn；t1，t2，.，tn） f1（x1，t1）f2（x2，t2）.，fn（xn，tn） （2.5.3）（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程若干个高斯过程之和仍是高斯过程
3、。从信号角从信号角度。度。（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。从系统（线从系统（线性系统）角度。性系统）角度。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理 则称则称为服从正态分布的随机变量则称为服从正态分布的随机变量则称为服从正态分为服从正态分布的随机变量布的随机变量 2.4.2 2.4.2 高斯过程中的一维分布高斯过程中的一维分布随机变量研究随机变量研究1.1.一维概率密度函数一维概率密度函数（1）高斯随机变量）高斯随机变量 若随机变量若随机变量的概率密度函数可表示成的概率密度函数可表示成高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声
4、第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理（2 2）性质）性质1）对称于直线）对称于直线x=a; 2）在）在 内单调上升，内单调上升，在在 内单调下降，且内单调下降，且在在a点处达到极大值点处达到极大值;3） 4）a 表示分布中心，表示分布中心， 表示集中的程度。表示集中的程度。 一定时一定时，。5）当）当a0 ， 时，相应的正态分布称为标准化正态分时，相应的正态分布称为标准化正态分布：布： 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.正态分布函数正态分布函数（1 1）一般表示式）一般表示式已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：已知概率密度函
5、数的前提下，正态概率分布函数可以表示为： 这个积分不易计算，常引入这个积分不易计算，常引入概率积分函数概率积分函数或或误差函数误差函数（可查表）（可查表）来表述。来表述。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理（2 2）用概率积分函数表示）用概率积分函数表示 定定义概率概率积分函数分函数( (简称称概率概率积分分) )为：则正态分布函数可表示为：则正态分布函数可表示为： 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理（3) 3) 用误差函数表示用误差函数表示 正正态分布函数更常表示成与分布函数更常表示成与误差函数相差函数相联系的形式
6、。系的形式。 1 1）误差函数定义）误差函数定义误差函数：误差函数：互补误差函数：互补误差函数：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2 2）误差函数的性质）误差函数的性质误差函数是递增函数误差函数是递增函数，它具有如下性质：，它具有如下性质： 互补误差函数是递减函数互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：，它具有如下性质：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.5 2.5 窄带随机过程窄带随机过程窄带过程窄带过程2.5.1 2.5.1 窄带随机过程的概念窄带随机过程的概念1.1.什么叫窄带随机过程？ 频谱频谱: 所占频
7、带较窄，满足所占频带较窄，满足f fc的随机过程叫的随机过程叫窄带随机过程。 时域：时域：用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位用示波器观察，看到某个实现的波形幅度和相位随机缓慢变化的近似正弦。随机缓慢变化的近似正弦。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2. 2. 表达式表达式两种！两种！高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.5.2 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求c(t)、s(t)的统计特性的统计特性结论结论1 1若若(t)：均值为：均值为0 0、方差为、方差为2 2、窄带、平稳、高斯、窄带、平稳、高
8、斯随机过程。随机过程。则：则：（1）c(t)、s(t)同样是同样是平稳高斯平稳高斯随机过程；随机过程；（2） E(t)=Ec(t)=Es(t)0均值相同均值相同(都为都为0)； （3）c2=s2=2=2方差相同，同于方差相同，同于(t) ；（4）在同一时刻（即在同一时刻（即=0）上得到的）上得到的c及及s互互相关函数为相关函数为0，即，即c与与s互不相关，或说互不相关，或说统计独立统计独立。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.5.3 已知已知(t)的统计特性，求的统计特性，求 a(t)、(t)的统计特性的统计特性 结论结论2 2若若(t)：均值为：均值
9、为0、方差为、方差为2、窄带平稳高斯、窄带平稳高斯随机过程。随机过程。则：则： （1）其）其包络包络a(t)的一维分布呈的一维分布呈瑞利分布瑞利分布；（2）其）其相位相位(t)的一维分布呈的一维分布呈均匀分布均匀分布；（3） a(t)与与(t)统计独立。统计独立。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.6 宽带随机过程宽带随机过程2.6.1 2.6.1 白噪声白噪声 1.1.定义：定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。即：称为白噪声。即： 双边谱密度：双边谱密度： 单边谱密度：单边谱密度：
10、其中：其中：n0为常数，为常数，W/Hz。一般一般默认白噪声为平稳默认白噪声为平稳的。的。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.自相关函数自相关函数据据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。图图2-5 白噪声的功率谱密度与自相关函数白噪声的功率谱密度与自相关函数 结论：结论：对白噪声而言，只有当对白噪声而言，只有当=0时（同一时刻）才相关，而时（同一时刻）才相关，而在在0的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。的任何两个时刻上的随机变量，皆不相关。问：问：高斯白高斯白噪声？噪声？高斯随机过
11、程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.6.2 2.6.2 带限带限白白噪声噪声1.1.定定义义 白白噪噪声声经经理理想想带带通通滤滤波波器器(-f0，f0) )后后而而形形成成的的噪噪声声，被被称为称为带限白带限白噪声，即其功率谱密度为：噪声，即其功率谱密度为：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.2.自相关函数自相关函数N-噪声平均功率，噪声平均功率，取决于取决于n 0 f0 -P()的面积。的面积。 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理结结论论：按按抽抽样样定定理理对对带带限限白白噪
12、噪声声抽抽样样，各各抽抽样样值值是是互互不不相相关关的随机变量的随机变量( (各抽样点处的随机变量是互不相关的各抽样点处的随机变量是互不相关的) )。问：问：窄带、高斯、白噪声的含义。窄带、高斯、白噪声的含义。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.7 2.7 正弦信号加窄带高斯噪声正弦信号加窄带高斯噪声2.7.1 2.7.1 合成信号表达式合成信号表达式正弦信号加窄带高斯噪声后的正弦信号加窄带高斯噪声后的合成信号合成信号可表示为：可表示为：其中：其中：-正弦载波正弦载波: :假定假定A、c为常数为常数;为随机变量，其一维为随机变量，其一维pdf 均匀分布
13、，即：均匀分布，即： f()=1/(2)， 02-窄带随机过程窄带随机过程: nc(t)-n(t)之同相分量；之同相分量； ns(t)-n(t)之正交分量。之正交分量。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理代入，整理：代入，整理：其中：其中：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理合成信号振幅合成信号振幅z(t)和相位和相位 (t)的统计特性的统计特性可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号具有如下统计特性：下统计特性： 1）随机包络服从广义瑞利分布随机包络服从广
14、义瑞利分布（也称莱斯（也称莱斯（Rice）分布）分布）-(2.7-3)(2.7-3)。 2）随机相位分布与信道中的信噪比有关，）随机相位分布与信道中的信噪比有关，不再是均匀分布了不再是均匀分布了。当当信噪比很小时，它接近于均匀分布信噪比很小时，它接近于均匀分布。 图图2-6 正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布正弦信号加窄带高斯噪声的包络和相位分布 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统2.8.1 2.8.1 线性系统线性系统-复习复习 设：线性系统的冲击响应和网络函数分别为设：线性系统的冲击响应和网
15、络函数分别为 ：h(t)、H()，则：，则：H()h(t)。周知：周知：线性系统响应线性系统响应v0(t)等于输入信号等于输入信号vi(t)与冲击响应与冲击响应h(t)的卷的卷积，即：积，即：高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理系系统统满满足足物物理理可可实实现现条条件件: h(t)=0，t0；输输入入有有界界（满满足足狄里赫利条件）。则有：狄里赫利条件）。则有：理解：理解：上式对于确知信号是没有问题的。上式对于确知信号是没有问题的。当当输入是随机过程输入是随机过程 (t)的一个实现的一个实现i1(t)随机随机函数时，便有输出随机过程函数时，便有输出随机过
16、程o1(t)。进一步：进一步：当输入是随机过程当输入是随机过程i(t)时，便有输出随机过程时，便有输出随机过程o(t)。且有：。且有： 高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理任务：任务：假设假设i(t)为平稳随机过程，且已知其统计特性，求为平稳随机过程，且已知其统计特性，求0(t)的的统计特性统计特性。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理一一个个十十分分有有用用的的结结论论：若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是高高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声第第2 2章章 随机过程随机过程通信原理作业：作业： P63习题习题3-9。高斯随机过程高斯白噪声和带限白噪声
