大学物理：第七章 统计物理初步

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1、1 课程内容课程内容大学物理大学物理II 热力学与统计物理初步热力学与统计物理初步( (上册上册) ) 电磁学电磁学( (下册下册) ) 量子论量子论( (下册下册) ) 成绩评定成绩评定平时成绩平时成绩10%平时测验平时测验30%(期中考试前后各期中考试前后各1次次)期中考试期中考试20%期末考试期末考试40% http:/第第2篇篇 热力学与统计物理初步热力学与统计物理初步第七章 统计物理初步3一一 热学的研究对象热学的研究对象 热学是研究热学是研究分子热运动分子热运动及各种及各种热现象热现象的规律及其应用的的规律及其应用的一门学科。一门学科。二热学的研究方法二热学的研究方法1.1.统计物

2、理研究方法统计物理研究方法 从物质的微观结构出发，依据微观粒子所遵循的力学规律，从物质的微观结构出发，依据微观粒子所遵循的力学规律，用统计的方法研究用统计的方法研究微观量微观量和和宏观量宏观量之间的关系之间的关系, , 从而阐述热现从而阐述热现象的微观本质。象的微观本质。2. 热力学研究方法热力学研究方法 从能量的观点出发，由实验总结出热功转换的基本规律，从能量的观点出发，由实验总结出热功转换的基本规律，在此基础上用逻辑推理方法进一步研究热现象的规律。在此基础上用逻辑推理方法进一步研究热现象的规律。分子物理学分子物理学(分子动理论分子动理论)热力学热力学4一一 热力学系统、平衡态热力学系统、平

3、衡态1.热力学系统热力学系统(简称系统简称系统) 由由大量大量微观粒子微观粒子所组成的宏观客体所组成的宏观客体-热力学系统热力学系统 。系统以外的物体称为外界或环境。系统以外的物体称为外界或环境。孤立系统孤立系统-与外界完全隔绝与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量交换即与外界没有质量和能量交换) 的系统。的系统。 封闭系统封闭系统-与外界没有质量交换和但有能量交换的系统。与外界没有质量交换和但有能量交换的系统。开放系统开放系统-与外界既有质量交换又有能量交换的系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统。7-1 热力学系统与平衡态热力学系统与平衡态热力学系统又可分为：热力学系统又可分为：52.

4、平衡态平衡态 在在不受外界影响不受外界影响的条件下，系统的的条件下，系统的宏观性质宏观性质不随时间变不随时间变化的稳定状态，并且系统内部不存在能量和质量的任何宏观化的稳定状态，并且系统内部不存在能量和质量的任何宏观流动。流动。说明说明(2).不受外界影响不受外界影响是指与外界没有质量和是指与外界没有质量和能量的交换。能量的交换。AB(1).宏观性质宏观性质不随时间变化是指描述系统状态的宏观物理量不随时间变化是指描述系统状态的宏观物理量如温度、压强等均不随时间变化且处处相等。如温度、压强等均不随时间变化且处处相等。高温高温低温低温传热杆传热杆(3).平衡态是一种平衡态是一种动态平衡动态平衡，又称

5、热动平衡。，又称热动平衡。(4).平衡态是一个平衡态是一个理想模型理想模型。61.微观参量微观参量二描述热力学系统的参量二描述热力学系统的参量表征微观粒子运动状态的物理量表征微观粒子运动状态的物理量2.宏观参量宏观参量表征热力学系统宏观性质的物理量表征热力学系统宏观性质的物理量如分子的质量如分子的质量m、速度、速度 、动量、动量p、能量、能量 等。等。如气体的质量如气体的质量M、体积、体积V、压强压强P、温度温度T、内能内能E等。等。 当系统处在平衡态时，其状态可以用一组独立的宏观当系统处在平衡态时，其状态可以用一组独立的宏观参量描述，这组宏观参量称为参量描述，这组宏观参量称为状态参量状态参量

6、。 理论研究表明，宏观量和微观量之间存在着内在的联系，理论研究表明，宏观量和微观量之间存在着内在的联系，分子物理学的任务之一就是找到二者之间的关系。分子物理学的任务之一就是找到二者之间的关系。73.温度参量和温标温度参量和温标A. 实验定律实验定律热力学第零定律热力学第零定律 如果热力学系统如果热力学系统A、B与与C同时处同时处于平衡态，于平衡态，则则A与与B也处于平衡态也处于平衡态。CABA导热壁导热壁B导热壁导热壁热力学第零定律表明热力学第零定律表明一个系统处于某一平衡态，是由系一个系统处于某一平衡态，是由系统内部机制决定的一种内禀属性；统内部机制决定的一种内禀属性；两个或多个热力学系统处

7、于同一平衡态，表示它们具有共两个或多个热力学系统处于同一平衡态，表示它们具有共同的内禀属性；这个内禀属性可以用一个数学参量加以描同的内禀属性；这个内禀属性可以用一个数学参量加以描述，述，温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量。温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量。B. 温标：温度的数值表示。温标：温度的数值表示。如摄氏温标、热力学温标如摄氏温标、热力学温标8一一 统计规律统计规律1.统计规律的概念统计规律的概念(1).伽尔顿板实验伽尔顿板实验(2).统计规律统计规律 在一定条件下，大量偶然事件存在一种在一定条件下，大量偶然事件存在一种必然的规律性，这种规律性称为必然的规律性，这种规律性称为统

8、计规律统计规律。A.统计规律只能通过大量偶然事件的整体效果体现出来，对统计规律只能通过大量偶然事件的整体效果体现出来，对少数事件不适用。少数事件不适用。B.统计规律与系统所处的宏观条件有关。统计规律与系统所处的宏观条件有关。C.统计规律总是伴有统计规律总是伴有“涨落涨落”。(3).统计规律的特点统计规律的特点7-2 压强和温度的统计意义压强和温度的统计意义92.统计规律的数学描述统计规律的数学描述(1).概率：概率：大量偶然事件中，出现某一结果的可能性大量偶然事件中，出现某一结果的可能性所有结果的概率和等于所有结果的概率和等于1，即称概率满足归一化条件。，即称概率满足归一化条件。(2).物理量

9、的统计平均值物理量的统计平均值 一般说来，一般说来，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离，这种偏离就是这种偏离就是涨落涨落。10二二 理想气体模型理想气体模型(1).理想气体分子模型（个体假设）理想气体分子模型（个体假设）1.理想气体的微观模型理想气体的微观模型A.气体分子在容器内的分布是均匀的；气体分子在容器内的分布是均匀的；B.分子任一方向运动的概率是相等的，即分子任一方向运动的概率是相等的，即 理想气体分子是遵守牛顿力学规律的、极小的彼此之间理想气体分子是遵守牛顿力学规律的、极小的彼此之间无相互作用无相互作用(除碰撞外除碰撞外)的弹性质点。的弹性质点

10、。(2).平衡态下理想气体分子集体的统计假设平衡态下理想气体分子集体的统计假设112.理想气体的宏观模型理想气体的宏观模型严格遵守理想气体状态方程的气体严格遵守理想气体状态方程的气体普适气体恒量普适气体恒量: R =8.31 (J mol-1 K-1)式中：式中：n=N/V分子数密度分子数密度。理想气体状态方程还可写为理想气体状态方程还可写为或或 玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量 k =R /N0=1.3810-23 J K-1)(阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数 N0=6.02 1023mol-112 气体在宏观上施于器壁的气体在宏观上施于器壁的压强压强, 是是大量分子对器壁频繁碰大量分子对器壁频繁碰撞

11、撞的总的平均效果。的总的平均效果。 ix ixA.2.压强公式压强公式 1.压强的统计意义压强的统计意义三三.压强的统计意义压强的统计意义 设气体分子质量为设气体分子质量为m, 分子数分子数密度为密度为n, 而单位体积中速度为而单位体积中速度为 i的的分子数为分子数为ni 。 在器壁在器壁A面面取一取一单位面积单位面积，沿沿速度速度 i方向作一高为方向作一高为 ix的斜柱体。的斜柱体。B.单位时间内与器壁单位时间内与器壁A上上单位面积单位面积碰撞的分子数：碰撞的分子数：xA. ix i C.单位时间内器壁单位时间内器壁A单位面积上所受的单位面积上所受的冲量为：冲量为： 2mni ix2 单位时

12、间内器壁单位时间内器壁A单位面单位面积上所受的总积上所受的总冲量：冲量：A.一个分子碰撞一次给一个分子碰撞一次给A面的冲量：面的冲量：(2)考虑所有可能的速度考虑所有可能的速度2m ix(1)考虑速度为考虑速度为 i的分子的分子ni ix 1 14 根据理想气体分子的统计假设，根据理想气体分子的统计假设， ix 0和和 ix 0的分子各的分子各占一半。故占一半。故单位时间内器壁单位时间内器壁A单位面积上所受的总单位面积上所受的总冲量：冲量：xA. ix i 单位时间内器壁单位时间内器壁A单位面积上所受的总单位面积上所受的总冲量：冲量：即即单位面积上受到的单位面积上受到的平均冲力平均冲力压强压强

13、为为:(Fix t = m x , t=1)15xA. ix i所以压强：所以压强：根据理想气体分子的统计假设：根据理想气体分子的统计假设：16理想气体的压强公式理想气体的压强公式：气体分子的气体分子的平均平动动能平均平动动能令令压强：压强：说明：说明：A.压强公式把宏观量压强公式把宏观量 p和微观量的统计平均值和微观量的统计平均值 或或 以以及及n联系起来，表明了压强具有统计意义联系起来，表明了压强具有统计意义, 只对大量气体分只对大量气体分子才有意义。子才有意义。B.影响理想气体压强的参量：影响理想气体压强的参量：n、 -统计规律统计规律四四.温度的统计意义温度的统计意义从以上两式消去从以

14、上两式消去p可得分子的可得分子的平均平动动能平均平动动能为为因因 p =nkT，说明：说明：A.温度的微观实质：温度是分子温度的微观实质：温度是分子平均平动动能平均平动动能大小的量大小的量 度，是分子热运动剧烈程度的标志。度，是分子热运动剧烈程度的标志。B.温度具有统计意义：是大量分子热运动的集体表现。温度具有统计意义：是大量分子热运动的集体表现。 对于单个分子对于单个分子, 温度是没有意义的。温度是没有意义的。 18例例1 一长金属管下端封闭一长金属管下端封闭, 上端开口上端开口, 置于压强为置于压强为po的大气中。的大气中。在封闭端加热达在封闭端加热达T1=1000K, 上端达到上端达到T

15、2=200K，温度沿管长均，温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此。计算此时管内气体的压强。时管内气体的压强。 解解 初态初态是定态是定态, 但不是但不是平衡态。末态是平衡态。平衡态。末态是平衡态。 关键是求出管内气体的质量。关键是求出管内气体的质量。x, L 管长管长对对x处的气体元处的气体元(dx ,dM)可视为平衡态可视为平衡态:dxxdM.T1T219.xdxx, S 管横截面积管横截面积20末态末态: 管中气体温度管中气体温度 TE= 100K，求压强，求压强最后得最后得.LS21例例2 一容器体积一容器体积V=1m

16、3, 有有N1=11025个个氧分子，氧分子， N2=41025氮氮分子，混合气体的压强分子，混合气体的压强 p=2.76 105pa, 求分子的平均平动动能求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。及混合气体的的温度。解解 由压强公式由压强公式得得根据温度公式根据温度公式得得T=400K22例例2 一容器体积一容器体积V=1m3, 有有N1=11025个个氧分子，氧分子， N2=41025氮氮分子，混合气体的压强分子，混合气体的压强 p=2.76 105pa, 求分子的平均平动动能求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。及混合气体的的温度。解解 由状态方程由状态方程得得=400K又又=8.26

17、 10-21J237-3 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 一定量的气体处在平衡态时具有一定的能量，称之为一定量的气体处在平衡态时具有一定的能量，称之为气体的气体的内能内能，它是所有分子，它是所有分子各种运动形式的动能各种运动形式的动能、分子之、分子之间以及分子内原子间相互作用间以及分子内原子间相互作用势能势能的总和。的总和。1.单原子分子：如单原子分子：如He、Ne，可看作质点，可看作质点-平动平动2.双原子分子：如双原子分子：如H2、O2，平动、转动、原子的振动，平动、转动、原子的振动3.多原子分子：如多原子分子：如H2O、CH4，平动、转动、原子的振动，平动、转动、原子的振动一一

18、.分子的种类及运动形式分子的种类及运动形式24自由度自由度 确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目 确定它的质心确定它的质心-3个个平动自由度平动自由度， 确定连线方位确定连线方位-2个个转动自由度转动自由度； t=3 ， r=2，总自由度数为，总自由度数为5C二二.气体分子的自由度气体分子的自由度1.单原子气体分子单原子气体分子 2.刚性双原子气体分子刚性双原子气体分子(不考虑原子的振动不考虑原子的振动) 两原子之间成哑铃似的结构两原子之间成哑铃似的结构可视为质点可视为质点 确定它在空间的位置需确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有个独立坐标，故

19、有3个个平动自由度平动自由度 t=325 确定质心确定质心-3个平动自由度个平动自由度， 确定连线方位确定连线方位-2个转动自由度个转动自由度； 确定沿连线的振动确定沿连线的振动-1个振动自由度个振动自由度， t=3 ， r=2 ， s=1 ，总自由度数为，总自由度数为6C3.非刚性双原子气体分子非刚性双原子气体分子(原子有振动原子有振动) 相似为弹簧哑铃似的结构相似为弹簧哑铃似的结构 4.多原子气体分子多原子气体分子(原子原子数数n 3)刚性刚性: 在常温下，可将气体分子视为刚性分子，只需考虑平在常温下，可将气体分子视为刚性分子，只需考虑平动自由度和转动自由度。动自由度和转动自由度。 t=3

20、 r=3，总自由度数为，总自由度数为6总自由度数为总自由度数为3n，t=3 r=3 s=3n-6非刚性：非刚性：26三三.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理1.分子的平均平动动能按自由度均分分子的平均平动动能按自由度均分分子的平均平动动能分子的平均平动动能 可见，可见，分子的平均平动动能是均匀地分配在分子的平均平动动能是均匀地分配在3个平动个平动自由度上的，或者说每个平动自由度具有相等的平均动能自由度上的，或者说每个平动自由度具有相等的平均动能,均为均为 。2.能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 设某分子有设某分子有t个平动自由度，个平动自由度，r个转动自由度，个转动自由度，s个振

21、动自由个振动自由度，则度，则 在平衡态下，理想气体分子的能量按自由度均分，每在平衡态下，理想气体分子的能量按自由度均分，每个自由度上的平均动能都相等，均为个自由度上的平均动能都相等，均为 。 分子的分子的平均总能量平均总能量： 由于振动除了具有动能还有势能由于振动除了具有动能还有势能, 所以每个振动自由度不所以每个振动自由度不仅有仅有 的振动动能的振动动能, 还应有还应有 的振动势能。的振动势能。分子的分子的平均总动能平均总动能：2728四四. 理想气体的内能理想气体的内能理想气体的内能理想气体的内能 理想气体分子间无相互作用理想气体分子间无相互作用, 所以理想气体的内能是所所以理想气体的内能

22、是所有分子各种运动形式的总动能和原子振动势能的总和。有分子各种运动形式的总动能和原子振动势能的总和。刚性分子刚性分子非刚性分子非刚性分子 分子平均总能量分子平均总能量即即 1摩尔理想气体的内能摩尔理想气体的内能k =1.3810-23 J K-1R =kN0=8.31 J K-1 mol-129 M千克理想气体的内能千克理想气体的内能可见，对一定量的某种气体可见，对一定量的某种气体 ，内能是温度的单值函数，内能是温度的单值函数 。刚性分子刚性分子非刚性分子非刚性分子 分子平均总能量分子平均总能量 1摩尔理想气体的内能摩尔理想气体的内能即即k =1.3810-23 J K-1R =kN0=8.3

23、1 J K-1 mol-130例例3 容器内有容器内有He和和O2 两种混合气体，混合气体的热力学温度两种混合气体，混合气体的热力学温度T=290K， 总的内能总的内能E=9.64105J， 总质量总质量M=3.2kg，求两种，求两种气体的质量。气体的质量。解解 设设He的质量为的质量为M1，O2的质量为的质量为M2，则，则 M1+M2 =M总的内能：总的内能：解得：解得： M1=0.50kg, M2=2.7kg。O2可视为刚性分子可视为刚性分子MHe=4gMo2=32g31例例4 容器两边是同种气体，左边：容器两边是同种气体，左边：p1、T1、V，右边：，右边：p2、T2、V；抽去中间的隔板

24、，混合过程中气体与外界无能量交换，；抽去中间的隔板，混合过程中气体与外界无能量交换，求平衡时的压强和温度。求平衡时的压强和温度。解解 混合前混合前 p1V=v1RT1, p2V=v2RT2P1 T1 VP2 T2 V.混合后混合后 p(2V)=(v1+v2)RT 因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：的内能不变：32例例5 体积为体积为20.0升的瓶子以升的瓶子以v=200m/s匀速运动，瓶中装有匀速运动，瓶中装有100g的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子定向运动的动能都变为的氦气。设瓶子突然停止，且气体分子定向运动的动

25、能都变为热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换。求热平衡后氦气的热运动的动能，瓶子与外界没有热量交换。求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？解：解：气体分子定向运动的动能气体分子定向运动的动能内能的增量内能的增量氦气分子是单原子分子：氦气分子是单原子分子：i=3, Mmol=4g氦气的内能等于所有分子平动总动能氦气的内能等于所有分子平动总动能33由理想气体状态方程由理想气体状态方程氦气分子平均动能的增加氦气分子平均动能的增加34一一.葛正权实验葛正权实验 (1934年年)实验结论实验结论:不同速率区间内的不同速率区间内的分

26、子数不相等；分子数不相等； 在确定实验条件下，实验结果相同。在确定实验条件下，实验结果相同。7-4 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯韦气体分子速率分布律分子速率有大小；分子速率有大小；35二二.分子速率分布函数分子速率分布函数思考：伽尔顿板实验思考：伽尔顿板实验 人口年龄分布情况说明人口年龄分布情况说明如何说明分子的速率分布情况？如何说明分子的速率分布情况？(1)分子速率的取值范围：分子速率的取值范围：0 (2)将分子速率分为无数个微小区间：将分子速率分为无数个微小区间：0d ，d 2d ， +d ，(3)求出任意速率区间求出任意速率区间 +d 内的分子数内的分子数dN；(4)在总分子数在总分

27、子数N非常大时，非常大时，dN/N即为分子速率出现在即为分子速率出现在 +d 区间的概率；区间的概率；(5) dN/N 变化函数就是分子速率分布函数。变化函数就是分子速率分布函数。n/N槽格槽格年龄年龄 dN/N36三三.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 设一定量的气体，分子总数为设一定量的气体，分子总数为N，速率在，速率在 +d 区间内区间内的分子数为的分子数为dN ， dN/N 就是该区间内的分子数占总分子数的就是该区间内的分子数占总分子数的百分比，也是百分比，也是分子速率出现在分子速率出现在 +d 区间内的概率区间内的概率。当气体处在温度为当气体处在温度为T的平衡态时：的平衡态时

28、：其中其中称为麦克斯韦速率分布函数。称为麦克斯韦速率分布函数。式中：式中：m是气体分子的质量是气体分子的质量, k是玻耳兹曼常数。是玻耳兹曼常数。371.麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数f( )的物理意义的物理意义 f( )表示：在速率表示：在速率 附近附近的单位速率区间内的分子数占总的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，即分子数的百分比，即分子速率出现在分子速率出现在 附近附近的单位速率区间内的单位速率区间内的概率的概率概率密度概率密度。由由 2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f( ) o(a)速率分布特征：速率分布特征： 速率可取速率可取0 内内的的一切值，但不同速

29、率区一切值，但不同速率区间概率不同。间概率不同。38(b)曲线有一个最大值，对应的速率曲线有一个最大值，对应的速率 最概然最概然(可几可几)速率速率f( ) o 在温度在温度T的平衡态下，速率在的平衡态下，速率在 p附近单位速率区间内的附近单位速率区间内的的分子数最多，或者说气体分子速率分布在的分子数最多，或者说气体分子速率分布在 p附近单位速率附近单位速率区间内的概率最大。区间内的概率最大。最概然速率的物理意义：最概然速率的物理意义：39(c)曲线下面积的物理意义曲线下面积的物理意义f( ) o分子速率出现在分子速率出现在 +d 区间内的概率区间内的概率 +d f(v)f( ) o 1 2A

30、.B.分子速率出现在分子速率出现在 1 2区间内的概率。区间内的概率。40C.整个曲线下的面积整个曲线下的面积, 即即这一关系式称为分布函数这一关系式称为分布函数f( )的的归一化条件归一化条件。of( ) d 面积面积即分子速率出现在即分子速率出现在0 区区间的概率是间的概率是1。41四四. 三种统计速率三种统计速率1.最概然速率最概然速率 p与分布函数与分布函数f( )的极大值对应的速率。的极大值对应的速率。由极值条件由极值条件df( )/d =0可以得到可以得到of( ) 42将将f( )代入，完成积分，求得平均速率为代入，完成积分，求得平均速率为 2.平均速率平均速率 -分子速率的统计

31、平均值分子速率的统计平均值 根据统计平均值的计算公式根据统计平均值的计算公式分子速率连续分布，所以分子速率连续分布，所以433.方均根速率方均根速率于是方均根速率为于是方均根速率为分子速率平方的统计平均值分子速率平方的统计平均值44思考：思考：1.如果温度如果温度T变化，麦克斯韦速率分布曲线如何变化？变化，麦克斯韦速率分布曲线如何变化？2.不同种类的气体处在同一平衡态下，其麦克斯韦速率分布不同种类的气体处在同一平衡态下，其麦克斯韦速率分布 曲线有何不同？曲线有何不同？f( ) oT大大T小小m大大m小小45 解解 速率区间速率区间 +d 内的分子数内的分子数: dN =Nf( )d 速率区间速

32、率区间 1 2内的分子数内的分子数:于是速率区间于是速率区间 1 2 内分子的平均速率为内分子的平均速率为例例6 (1)求速率区间求速率区间 1 2 内分子的平均速率。内分子的平均速率。 (2)分子速率在分子速率在 1 2区间内的概率。区间内的概率。速率区间速率区间 1 2内分子速率之和内分子速率之和: dN 46(2)分子速率在分子速率在 1 2区间内的概率。区间内的概率。表示单位体积中，速率在表示单位体积中，速率在 +d 内的分子数。内的分子数。 解解 例例7 说明以下各式说明以下各式的物理意义是什么？的物理意义是什么？(n是分子的数密度是分子的数密度) nf( )d 表示速率在表示速率在

33、 1 2区间内所有分子的平动动能之和。区间内所有分子的平动动能之和。或或47例例8 用用f( )表示以下各量：表示以下各量： 速率不大于最概然速率速率不大于最概然速率 p的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比;分子动量大小的平均值。分子动量大小的平均值。 0 p区间内的分子数：区间内的分子数： 解解 即分子速率出现在即分子速率出现在0 p区间内的概率。区间内的概率。48例例9 假定假定N个粒子的速率分布函数为个粒子的速率分布函数为求求 (1)归一化常数归一化常数C; (2)处在处在f( ) 的粒子数。的粒子数。C20 of( )解解 (1)由归一化条件由归一化条件:49o of(

34、 ) 所以所以f( ) 的粒子数的粒子数:C2 (2)处在处在f( ) 的粒子数的粒子数:C501.分布空分布空间的相关概念的相关概念(1)速度区速度区间：气体分子在速度区：气体分子在速度区间 上的分布上的分布(2)位置空位置空间：气体分子在位置空：气体分子在位置空间 上的分布上的分布(3)状状态区区间：气体分子同：气体分子同时在速度区在速度区间和位置空和位置空间 上的分布上的分布7-5 玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼分布定律 玻尔兹曼将麦克斯韦分布规律推广到处于保守场中的气体。玻尔兹曼将麦克斯韦分布规律推广到处于保守场中的气体。51由麦克斯由麦克斯韦速率分布速率分布用用取代取代(2)考考虑外外场：

35、分子的空：分子的空间分布不均匀同分布不均匀同时分子除具有分子除具有动能能外，外，还有有势能。能。其中，其中，n0为势能能为零零处单位体位体积中的分子数。中的分子数。2.玻耳玻耳兹曼分布律曼分布律 (气体在状气体在状态区区间的分布的分布)(1)考考虑速度方向：速度方向： 玻玻尔尔兹曼分布曼分布规律律 麦克斯麦克斯维速度分布速度分布52 设处于能态设处于能态E1、E2 (E1 E1, 所以所以N2N1。 即：常温下，处于低能态的分子数总是多于处于高能态的即：常温下，处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说，按统计分布来看，分子总是优先占据能量分子数。也就是说，按统计分布来看，分子总是

36、优先占据能量较低的状态。这种分布称为较低的状态。这种分布称为正常分布正常分布。 53 将上式对所有可能的速度积分，可得分子按位置的分布，将上式对所有可能的速度积分，可得分子按位置的分布，3.重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布考考虑分子在所有速度区分子在所有速度区间的几率的几率为1：即分布在区间即分布在区间(x x+dx, y y+dy, z z+dz)内的分子数内的分子数:54两边除以两边除以dV=dxdydz ，并将并将Ep=mgz代入得代入得压强：压强： 上式称为上式称为等温气压公式等温气压公式。po=nokT为为z=0处的压强。处的压强。n是高度为是高度为z处的分子数密度，

37、处的分子数密度，n0是高度为是高度为z=0处的分子数密度，处的分子数密度，上式就是上式就是重力场中分子或粒子按高度分布的定律重力场中分子或粒子按高度分布的定律。55 例例10 飞机起飞时飞机起飞时, 压强压强po=1atm、温度、温度t=27C; 压强变为压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多少？时，飞机的高度是多少？ 解解 由公式：由公式：代入代入R=8.31, T=300, Mmol =2910-3, g=9.8, 得得z=1.96km。将将等温气压公式等温气压公式取对数取对数, 可得可得56 若气体分子的平均速率为若气体分子的平均速率为 ，则在，则在 时间内，一个分子走时间内，一个分

38、子走过的平均距离为过的平均距离为 ，由于每碰撞一次都将结束一段自由程，由于每碰撞一次都将结束一段自由程，所以所以自由程自由程 分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程。分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程。平均碰撞频率平均碰撞频率 碰撞频率的统计平均值。碰撞频率的统计平均值。 7-6 分子碰撞与平均自由程分子碰撞与平均自由程一一 相关概念相关概念平均自由程平均自由程 自由程的统计平均值。自由程的统计平均值。碰撞频率碰撞频率 一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的次数。一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的次数。57二二 平均自由程公式平均自由程公式 将分子看成是直径为将分子看成是直径为d的的弹性刚

39、球，并假设分子弹性刚球，并假设分子A相对相对于其他分子的平均速率为于其他分子的平均速率为 。 A则则平均碰撞频率平均碰撞频率：根据麦克斯韦速度分布可以推算出根据麦克斯韦速度分布可以推算出代入上式可得代入上式可得式中：式中：n为分子数密度。为分子数密度。58平均自由程平均自由程为为式中：式中：d为分子的有效直径，为分子的有效直径，n为分子数密度。为分子数密度。由由59解：解：标准状态标准状态例例11 计算标准状态下，氧气分子的平均碰撞频率和平均自由程。计算标准状态下，氧气分子的平均碰撞频率和平均自由程。设氧气分子的有效直径为设氧气分子的有效直径为 。分子平均速率分子平均速率分子数密度分子数密度平均自由程平均自由程平均碰撞频率平均碰撞频率60例例12 某种气体分子的平均自由程某种气体分子的平均自由程 =5 10-6m, 方均根速率方均根速率为为500m/s, 求分子的平均碰撞频率。求分子的平均碰撞频率。解解: 分子的平均碰撞频率分子的平均碰撞频率