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1、期中考试复习期中考试复习期中考试安排期中考试安排时间：时间：2012年年4月月5日日(下周四下周四)上午上午8:009:50地点：仙教地点：仙教2-207(学号在学号在1101800111018135之间之间)仙教仙教2-404(其他学号其他学号)形式：闭卷考试，共计形式：闭卷考试，共计5大题（大题（Chap1Chap6每章一题）每章一题）注意事项：注意事项：1.自带自带演算纸演算纸和和一本全新作业本一本全新作业本2.严格遵守考试纪律严格遵守考试纪律3.考试成绩占课程总成绩的考试成绩占课程总成绩的40%(在期末在期末最终核算，学生、学校相互平衡最终核算，学生、学校相互平衡)4.考试内容包括定积
2、分补充例题，梅林反演公式考试内容包括定积分补充例题，梅林反演公式1第十二条第十二条课程考试成绩原则上采取百分制，部分课程经课程考试成绩原则上采取百分制，部分课程经批准后方可采取等级分制。必修课程的成绩必须包含平时批准后方可采取等级分制。必修课程的成绩必须包含平时成绩、期中成绩、期末成绩和总评成绩，选修课程可仅有成绩、期中成绩、期末成绩和总评成绩，选修课程可仅有总评成总评成绩。教师评定成绩时应参照平时作业、实验和其它绩。教师评定成绩时应参照平时作业、实验和其它环节的情况，并注重学生创新能力表现综合评定成绩。环节的情况，并注重学生创新能力表现综合评定成绩。课课程考试优秀率一般不超过程考试优秀率一般
3、不超过20%。南京大学全日制本科南京大学全日制本科生学分制管理办法生学分制管理办法南字发南字发【2010】21号号2、等级分制分为优、良、中、及格和不及格。五级评分、等级分制分为优、良、中、及格和不及格。五级评分制记分与百分制记分的换算标准为：制记分与百分制记分的换算标准为：优优100-90，良，良89-80，中中79-70，及格，及格69-60，不及格，不及格59及及59以下。以下。 南京大学本科教学成南京大学本科教学成绩管理规定（试行）绩管理规定（试行）南字发南字发【2010】110号号南京大学有关考试成绩的规定南京大学有关考试成绩的规定2复变函数教学大纲的基本要求复变函数教学大纲的基本要
4、求第一章第一章 复变函数复变函数 基本要求：基本要求： 1. 1. 理解解析函数的定义。理解解析函数的定义。 2 2掌握掌握C-RC-R条件与解析函数及调和函数的关系条件与解析函数及调和函数的关系第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分基本要求：基本要求： 1.1.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关 键步骤。键步骤。 2 2掌握掌握(2(23 34)4)式及式及(2(23 35)5)式。式。3第三章第三章幂级数展开幂级数展开基本要求：基本要求：1.掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域内的解析函数
5、展为泰勒级数的方法。内的解析函数展为泰勒级数的方法。2.掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域内的解析函数展为洛朗级数的方法。内的解析函数展为洛朗级数的方法。3.了解孤立奇点的分类。了解孤立奇点的分类。第四章第四章留数定理留数定理基本要求：基本要求：1.了解留数的意义。了解留数的意义。2.熟练掌握求留数的方法。熟练掌握求留数的方法。3.熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。4第五章第五章傅里叶变换傅里叶变换基本要求：基本要求：1.掌握周期函数、有限区间上的函数展为傅里叶级数的方掌握周期函数、有限
6、区间上的函数展为傅里叶级数的方法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。2.掌握傅里叶变换的基本性质。掌握傅里叶变换的基本性质。3.理解理解函数的意义，掌握函数的意义，掌握函数的傅里叶变换。函数的傅里叶变换。第六章第六章拉普拉斯变换拉普拉斯变换基本要求：基本要求：1.掌握拉普拉斯变换的基本性质。掌握拉普拉斯变换的基本性质。2.掌握拉普拉斯逆变换（反演）的基本方法。掌握拉普拉斯逆变换（反演）的基本方法。以上所列的基本要求为复变函数论的核心所在，也是期中考以上所列的基本要求为复变函数论的核心所在，也是期中考试的重点内容。试的重点内容。基本要求基本要求+高等数学的相关技
7、能高等数学的相关技能=课程的好成绩课程的好成绩5第一章第一章复变函数复变函数 1.1、复数与复数运算、复数与复数运算x:实部，实部，y:虚部，虚部，i：虚数单位：虚数单位i2=- -1复数不能比较大小复数不能比较大小, , 但可判断是否相等但可判断是否相等6复数的几何意义：一个复数可复数的几何意义：一个复数可用平面上的点表示用平面上的点表示xyo11Z(x,y)极坐标表示极坐标表示指数表示指数表示复数的模复数的模复数的复数的辐角辐角7辐角是不定的，需引入辐角主值的概念：辐角是不定的，需引入辐角主值的概念：无限远点：无限远点：整个复平面与一个复球面相对应。整个复平面与一个复球面相对应。复平面的无
8、限远处对应于复球面复平面的无限远处对应于复球面的北极的北极无限远点无限远点复数的基本运算：复数的基本运算：加、减、乘、除加、减、乘、除（与高中一致）（与高中一致）指数表达式在乘除运算上的优势指数表达式在乘除运算上的优势共轭复数的概念：共轭复数的概念：几何意义几何意义81.2、复变函数、复变函数意义：定义在复平面上的映射，将一个复数映射到另一个意义：定义在复平面上的映射，将一个复数映射到另一个复数，或将一个复平面上的点映射到另一个点。复数，或将一个复平面上的点映射到另一个点。zwE常用的复变函数有多项式函数、分式有理函数、指数函数、常用的复变函数有多项式函数、分式有理函数、指数函数、对数函数等。
9、对数函数等。许多实变中的公式在复变中均可照常使用许多实变中的公式在复变中均可照常使用可理解为实轴上的公式经解析延拓后在整个复平面适用可理解为实轴上的公式经解析延拓后在整个复平面适用91.3、导数、导数定义式：定义式：导数存在的前提条件：上式极限值与导数存在的前提条件：上式极限值与 z0的方式无关。的方式无关。假定函数可导，由假定函数可导，由 z= x0, z=i y0可推出：可推出：上式称为柯西黎曼条件（函数可导的必要条件）上式称为柯西黎曼条件（函数可导的必要条件）2 21 110还可证明：函数可导的充要条件为还可证明：函数可导的充要条件为C-R条件条件+偏导数连续偏导数连续极坐标下的柯西黎曼
10、条件：极坐标下的柯西黎曼条件：与直角坐标比较，相当于与直角坐标比较，相当于11定义：若函数在点定义：若函数在点z及其邻域上处处可导，则函数在点及其邻域上处处可导，则函数在点z解析。解析。解析与可导的区别：解析与可导的区别：1.4、解析函数、解析函数解析一定可导，可导不一定解析。解析一定可导，可导不一定解析。利用利用C-R条件可证，解析函数的实部虚部满足二维拉氏方条件可证，解析函数的实部虚部满足二维拉氏方程。程。12由于由于C-R解析函数的实部与虚部紧密关联，知道了其中的解析函数的实部与虚部紧密关联，知道了其中的一个，也就知道了另一个，从而知道整个解析函数。一个，也就知道了另一个，从而知道整个解
11、析函数。3. 3. 不定积分法不定积分法2. 2. 凑全微分显式法凑全微分显式法1.1.曲线积分法曲线积分法 xydv = Ady + Bdx = dC(x,y)通过观察得到通过观察得到与曲线积分法类似，通过与曲线积分法类似，通过C-RC-R条件将分段积分时的积分条件将分段积分时的积分参数予以进一步确定。参数予以进一步确定。13本节为本节为1.4节解析函数的一个应用。节解析函数的一个应用。1.5、平面标量场、平面标量场等势线（标量线）等势线（标量线）电场线（矢量线）电场线（矢量线）考察的重点在于，如何利用考察的重点在于，如何利用C-R关系从一种线出发求得另一关系从一种线出发求得另一种线。种线。
12、注意：注意：给定给定，并不意味着，并不意味着而是而是其中其中g待定。待定。14一个函数对应着多个函数值，如根式函数、对数函数。一个函数对应着多个函数值，如根式函数、对数函数。1.6、多值函数、多值函数支点的概念：绕某个点转一圈，函数值不复原。支点的概念：绕某个点转一圈，函数值不复原。割线的概念：从支点出发延申至无穷远处的一条线。割线的概念：从支点出发延申至无穷远处的一条线。在割线上下沿，函数不连续。在割线上下沿，函数不连续。黎曼面的概念：在割线处续接上若干个复平面，使得在续接黎曼面的概念：在割线处续接上若干个复平面，使得在续接后的多个复平面上函数值变得连续。后的多个复平面上函数值变得连续。多值
13、函数的注意点：多值函数的注意点：1.主要是用在求实变函数积分上。主要是用在求实变函数积分上。2.在构造围道时，一定要将支点排除在围道之外。在构造围道时，一定要将支点排除在围道之外。15第二章第二章复变函数复变函数2.1、复变函数的积分、复变函数的积分A xyo Bz0znlz1zk-1zkk1定义定义:在在复平面分段光滑曲复平面分段光滑曲线线l上的连续函数上的连续函数f(z)的分段的分段求和求和在段数为无穷时的极限：在段数为无穷时的极限：复变积分的本质为复数求和复变积分的本质为复数求和16几个重要性质几个重要性质1.常数常数因子因子可以移到积分号之外可以移到积分号之外2.函数和的积分等于各函数
14、积分的和函数和的积分等于各函数积分的和3.反转积分路径，积分值变号反转积分路径，积分值变号4.全路径上的积分等于各分段上的积分之和全路径上的积分等于各分段上的积分之和5.6.其中其中M是是|f(z)|在在l上的上的最大值，最大值，L是是l 的全长的全长172.2、柯西定理、柯西定理（一）单连通域情形（一）单连通域情形Cauchy定理定理：如果函数如果函数f(z)在闭单连通区域在闭单连通区域中单值且中单值且解析，解析，则沿则沿中任何一个分段光滑的闭合曲线中任何一个分段光滑的闭合曲线c (也可以也可以是是的边界的边界l),函数函数的积分为零。的积分为零。oxylco18（二）复连通域情形（二）复连
15、通域情形Cauchy定理定理：如果函数如果函数f(z)在闭复连通区域在闭复连通区域中单值且中单值且解析，解析，则则l 为外边界线，为外边界线，li为为内边界内边界线，积分沿边界线正向。线，积分沿边界线正向。 xy l1l2l3lBo区域边界线的正向区域边界线的正向 - - 当观察者当观察者沿着这个方向前进时，区域总沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。是在观察者的左边。19（三）柯西定理的重要推论（三）柯西定理的重要推论在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。其路积分值只依赖于起点和终点，而与积
16、分路径无关。ADBCBC在不跳孔的情况下可任意改变积分路径。在不跳孔的情况下可任意改变积分路径。非闭合路径积分非闭合路径积分闭合路径积分闭合路径积分202.3、不定积分、不定积分根据根据Cauchy定理，若函数定理，若函数f(z)在单连通区域在单连通区域B上解析，上解析，则沿则沿B上任一分段光滑曲线上任一分段光滑曲线l 的积分的积分只与起点和终点有只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点关，而与路径无关。因此如果固定起点z0而变化终点而变化终点z,这个这个不定积分便不定积分便定义了一个单值函数定义了一个单值函数F(z):性质：性质：(2) (2) F(z) 在区域在区域B B上是解析
17、的上是解析的(1) (1) 即即 F(z) 是是f(z) 的一个的一个原函数原函数21重要例子：重要例子：l l l不包含不包含l包含包含222.4、柯西公式、柯西公式解析函数在点解析函数在点z的值与函数在点的值与函数在点z邻域围道上的积分紧密相关。邻域围道上的积分紧密相关。对复连通区域对复连通区域,上式仍成立，只要将上式仍成立，只要将l 理解成所有境界线，且均取正向。理解成所有境界线，且均取正向。l 23Cauchy积分公式的重要积分公式的重要扩展扩展 ( (任意次可导任意次可导!)!)解析函数不但一次可导，而且任意次可导！解析函数不但一次可导，而且任意次可导！注：本章为第三章之基础，期中考
18、试中无直接关联的试题。注：本章为第三章之基础，期中考试中无直接关联的试题。24第三章第三章幂级数展开幂级数展开3.1、复数项级数、复数项级数1.定义定义:复数项级数为无穷多个复数的和。复数项级数为无穷多个复数的和。2.收敛性收敛性: 柯西收敛判据：柯西收敛判据：0,N(),当当 n, n+p N 253.绝对收敛绝对收敛:为部分和。为部分和。其中其中若若 收敛收敛则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛。 级数绝对收敛级数绝对收敛- -级数收敛级数收敛绝对收敛级数改变先后次序，其和不变。绝对收敛级数改变先后次序，其和不变。绝对收敛级数可写为若干级数之和。绝对收敛级数可写为若干级数之和。两个绝对收敛级
19、数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积.264.函数项级数函数项级数(复数项级数的拓展复数项级数的拓展)定义：定义：其中每一项均是一单值解析函数。其中每一项均是一单值解析函数。柯西收敛判据柯西收敛判据 ： zB, 0,N(,z)0,当当n,n+pN,一致收敛一致收敛 ： 上式中上式中N N一般随一般随z不同而不同。但若不同而不同。但若N N与与z无关，便称函数项级无关，便称函数项级数在数在B B内内一致收敛一致收敛。一致收敛的一致收敛的M判别法判别法：梁书梁书P.34 27一致收敛级数的性质：一致收敛级数的性质： 极限与求和可交换极限与求和可交换
20、逐项求积分逐项求积分逐项求导数逐项求导数283.2、幂级数、幂级数一、定义一、定义上式叫作以上式叫作以z0为中心的幂级数。为中心的幂级数。二、幂级数敛散性幂级数敛散性1、阿贝尔定理（补充）、阿贝尔定理（补充）若幂级数若幂级数 在在 处收敛，则在闭合圆处收敛，则在闭合圆 内，幂级数绝对且一致收敛。内，幂级数绝对且一致收敛。29阿贝尔定理结论：阿贝尔定理结论：在展开中心在展开中心z z0 0为附近，为附近，必然存在一个幂级数的收敛圆，必然存在一个幂级数的收敛圆，圆圆的半径的半径R R 称为收敛半径。称为收敛半径。三、收敛半径的判定三、收敛半径的判定比值判别法比值判别法根式判别法根式判别法303.3
21、解析函数的泰勒（解析函数的泰勒（Taylor）级数展开：）级数展开：一、定一、定理：设理：设 f(z)在以在以z0 为圆心的圆为圆心的圆CR内内解析，则对圆内解析，则对圆内的任意的任意 z 点点,f(z)可展为幂可展为幂级数，级数，为圆为圆CR内包含内包含z且与且与CR同心的圆。同心的圆。此定理只是证明了泰勒展开的正确性，在实际中我们往往利此定理只是证明了泰勒展开的正确性，在实际中我们往往利用高数知识进行求解。用高数知识进行求解。313.4解析延拓：解析延拓：意义意义：通过幂级数展开的方法，可以将复变函数的定义域通过幂级数展开的方法，可以将复变函数的定义域进行扩大。进行扩大。本节并无任何实际意
22、义。本节并无任何实际意义。唯一性唯一性：可以证明，解析延拓的结果是唯一的。可以证明，解析延拓的结果是唯一的。oxy323.5、解析函数的洛朗（、解析函数的洛朗（Laurent）展开）展开一、双边幂级数一、双边幂级数收敛环的概念：收敛环的概念：定义：定义：正幂部分在正幂部分在时收敛。时收敛。负幂部分在负幂部分在时收敛。时收敛。若若 内绝对并一内绝对并一且级数在且级数在 致收敛，致收敛， 称为级数的称为级数的收敛环收敛环。33二、罗朗展开定理二、罗朗展开定理其中C C 是位于环域内按逆时针方向的一闭合曲线。是位于环域内按逆时针方向的一闭合曲线。设设f(z)在环形区域在环形区域的内部单值解析，则的内
23、部单值解析，则对环域上任一点对环域上任一点z, f(z)可展为幂级数可展为幂级数正幂部分称为正幂部分称为 Laurent 级数的正则部分级数的正则部分负幂部分称为负幂部分称为Laurent级数的主部级数的主部34几种几种常用展开方法常用展开方法：三、三、将环域内的解析函数展开将环域内的解析函数展开成洛朗成洛朗级数的方法与级数的方法与步骤步骤(1)找出找出f (z)的奇点；的奇点；(2)以展开中心以展开中心z0为圆心，按奇点为界将区域分割为为圆心，按奇点为界将区域分割为若干环（每个环内部无奇点）；若干环（每个环内部无奇点）；(3)分区展开分区展开f (z)。1.直接计算洛朗级数直接计算洛朗级数最
24、基本但也最不常用最基本但也最不常用3.利用两个绝对收敛级数的乘积。利用两个绝对收敛级数的乘积。2.将有理式分解为部分分式，再按将有理式分解为部分分式，再按展开。展开。4.利用逐项求导或逐项积分。利用逐项求导或逐项积分。353.6、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类一、一、孤立奇点的定义孤立奇点的定义: : 若函数若函数 f(z) 在某点在某点 z z0 0 不可导，而在不可导，而在 z z0 0 的任意小邻的任意小邻域内除域内除z z0 0 外外处处可导，便称处处可导，便称 z z0 0 为为 f(z) 的的孤立奇点孤立奇点。二、二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类: :正幂部分：解析部分，负幂部分：
25、主要部分正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分1 1、若展式不含负幂项：、若展式不含负幂项： z z0 0为为f f( (z z) )的的可去奇点可去奇点2 2、若展式含有限个负幂项：、若展式含有限个负幂项： z z0 0 为为f f( (z z) )的的极点极点3 3、若展式含无限个负幂项：、若展式含无限个负幂项： z z0 0 为为f f( (z z) )的的本性奇点本性奇点36三、函数在孤立奇点邻域的特性三、函数在孤立奇点邻域的特性1 1、可去奇点：函数值有限、可去奇点：函数值有限2 2、极点：、极点： 函数值发散为无穷大函数值发散为无穷大3 3、本性奇点：函数值无定义，可为无穷大或任意
26、有限值、本性奇点：函数值无定义，可为无穷大或任意有限值四、无穷远点的奇点特性四、无穷远点的奇点特性引入自变量代换引入自变量代换z=1/t，则将，则将z=变换到了变换到了t=0点。点。设设则则在无穷远点处的奇点特性由在无穷远点处的奇点特性由在零点处的在零点处的奇点特性所决定。奇点特性所决定。37第四章第四章 留数定理留数定理4.1留数定理留数定理立奇点立奇点外解析，在闭区域外解析，在闭区域上除上除一、一、留数定理留数定理:设设在回路在回路l 所围区域所围区域B 上除有限个孤上除有限个孤外连续，则外连续，则留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围
27、区域上各奇点的留数之和。知道了留数就知道了积分结果奇点的留数之和。知道了留数就知道了积分结果!在在zj处罗朗处罗朗展式中展式中-1次方项的系数。次方项的系数。注意在注意在处留数定义有所不同。处留数定义有所不同。38二、计算留数的公式：二、计算留数的公式：1、一阶极点留数的计算：设、一阶极点留数的计算：设是是 f(z)的一阶极点的一阶极点因此因此=非零非零有限值有限值特殊情形：若特殊情形：若则则392、m(m 2)阶极点留数的计算：设阶极点留数的计算：设z0是是 f(z)的的m阶极点阶极点上式提供了一个求留数的简单通用方法，但要运用上式，上式提供了一个求留数的简单通用方法，但要运用上式，需提前知
28、道极点阶数需提前知道极点阶数m。可用下列方法判定：。可用下列方法判定：=非零非零有限值有限值则有则有403、奇点留数计算公式总结：、奇点留数计算公式总结：奇点奇点b 的类型的类型m 阶极点阶极点本性奇点本性奇点一阶极点一阶极点可去奇点可去奇点普遍公式普遍公式414.2应用留数理论计算实变函数定积分应用留数理论计算实变函数定积分一、求实变定积分的基本思路一、求实变定积分的基本思路把需求解的定积分与复变函数的围道积分联系起来，把需求解的定积分与复变函数的围道积分联系起来，再利用复变函数的知识以便得到定积分的解。再利用复变函数的知识以便得到定积分的解。1.将实变函数的积分路径与复平面上的一段路径将实
29、变函数的积分路径与复平面上的一段路径C等同起来。等同起来。abxxyzazbC422.若对应的复变路径若对应的复变路径C不构成闭合围道，则补上一段路径不构成闭合围道，则补上一段路径3.C使得使得C+C构成一闭合围道。构成一闭合围道。abxxyCzazbC3.利用留数定理求出在利用留数定理求出在C+C上的积分，再利用其它方法求上的积分，再利用其它方法求4.出在出在C上的积分上的积分(一般为零一般为零)，相减后得到问题的答案。，相减后得到问题的答案。431.4.常见的类型常见的类型类型一类型一：其中：其中：(1)R(cosx,sinx)是是sinx,cosx的有理式；的有理式；(2)积分区间是积分
30、区间是0,2 ；(3)在区间在区间0,2 内，内，R 无奇点。无奇点。4402xxyoz平面1解法：令解法：令z=eix,则积分路径变成单位圆的围道积分。则积分路径变成单位圆的围道积分。因为因为原积分变成原积分变成45类型二类型二：其中：其中：(1)积分区间是积分区间是(- ,+ );(2)复变函数复变函数f(z)在实轴上无奇点，在上半平面除有限在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（个奇点（b1,b2bn)外解析；外解析；(3)当当z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，一致地时，一致地|zf(z)|0；(4)如果如果f(x)是有理分式，是有理分式，则分母在实轴无则分母在实轴无零点，且分母
31、的次数高于分子次数至少二次。零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。46-R+RxyCR bkoR解法：补充围道如图解法：补充围道如图,作线积分作线积分由留数定理：由留数定理：当当R,左边的第一个积分即未待求项，而第二个积分可证明左边的第一个积分即未待求项，而第二个积分可证明当当f(z)满足条件满足条件(3)时为零。时为零。47类型三类型三：其中其中:（1）积分区间）积分区间；(2)偶函数偶函数F(z)和奇函数和奇函数G(z)在实轴上无奇点，在实轴上无奇点，在上半平面除有限个奇点（在上半平面除有限个奇点（b1,b2bn)外解析；外解析；(3)当当z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，时，F
32、(z),G(z)一一致地致地0；(4)m0；48解法：注意到解法：注意到-R+RxyCRoR对上式积分路径补上半圆对上式积分路径补上半圆CR并利用约旦引理留数定理可得并利用约旦引理留数定理可得49类型四：类型四：实轴上有实轴上有单单极点的积分极点的积分 其中：其中：(1)函数函数f(z)在实轴上有单极点在实轴上有单极点a，上半平面除有限，上半平面除有限个奇点（个奇点（b1,b2bn)外解析；外解析；(2)当当z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上时，或一致地时，或一致地|zf(z)|0；50考虑只有一个单极点考虑只有一个单极点a的情况的情况，由于由于a的存在，对积分的存在，对积分路径做如下变换
33、：路径做如下变换：CRC-RRO-RRO则有则有解法：解法：51由约旦引理由约旦引理由洛朗展开由洛朗展开因此积分结果为因此积分结果为524.3计算定积分的补充例题计算定积分的补充例题无万能公式无万能公式主要是利用函数多值性进行解题主要是利用函数多值性进行解题在构造围道时，应将支点排除在外。在构造围道时，应将支点排除在外。53第五章第五章傅立叶变换傅立叶变换5.1傅立叶级数傅立叶级数一、若函数一、若函数f(x)以以2l为重复周期，则可展开为为重复周期，则可展开为54二、狄里希利定理二、狄里希利定理(2)在每个周期只有有限个极值点，则级数（在每个周期只有有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且）
34、收敛，且当函数当函数f(x)满足条件：满足条件：(1)处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；则有则有55三、有限区间上函数的三、有限区间上函数的Fourier展开展开在本课程第二部分数学物理方程中，经常需要求解只在某在本课程第二部分数学物理方程中，经常需要求解只在某一有限区间一有限区间 a,ba,b 上有定义的函数上有定义的函数f(xf(x) )。此类函数一般受。此类函数一般受限于两类边界条件：限于两类边界条件：f(a)=f(b)=0f(a)=f(b)=0abab对对f(x)视其边界条件，分别进行奇偶延拓。视其边界条件，分别进行奇偶延拓
35、。560b-a0b-a-b+a-b+a这样函数的每一展开项均满足边界条件，方便第这样函数的每一展开项均满足边界条件，方便第8章中问章中问题的求解。题的求解。575.2Fourier积分和积分和Fourier变换变换一、非周期函数可展成傅立叶积分一、非周期函数可展成傅立叶积分可被简化为复数形式（优点：简单明了）可被简化为复数形式（优点：简单明了）58二、傅立叶积分定理：若二、傅立叶积分定理：若f(x)在区间在区间上满足上满足(1)f(x)在任一有限区间上满足狄里希利条件在任一有限区间上满足狄里希利条件,则则f(x)可表成傅立叶积分，且可表成傅立叶积分，且(2) f(x)在在上绝对可积上绝对可积(
36、即即收敛收敛)，三、当函数不满足绝对可积条件时三、当函数不满足绝对可积条件时P.86页页5.3.14讨论部分讨论部分59四、傅立叶变换性质四、傅立叶变换性质（1）导数定理）导数定理:（2）积分定理）积分定理:（3）相似性定理）相似性定理:(4)延迟定理延迟定理:60(5)位移定理位移定理:(6)卷积定理卷积定理:615.3、函数函数定义：定义：积分公式：积分公式：特性：特性：奇偶性、挑选性等奇偶性、挑选性等62第六章第六章拉普拉斯变换拉普拉斯变换6.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换黎曼黎曼-梅林梅林反演公式反演公式p 平面RepImp-i+io一、定义一、定义63二、拉氏变换的特性二、拉氏变换的特性
37、1.线性定理：线性定理：2.原函数导数定理原函数导数定理:3.原函数积分定理原函数积分定理:644.相似性定理：相似性定理：5.位移定理：位移定理：6.延迟定理：延迟定理：7.7.卷积定理卷积定理: :8.8.常用变换常用变换65常用变换常用变换 + + 拉氏变换性质拉氏变换性质6.2Laplace变换的反演变换的反演方法方法I: I: 梅林公式梅林公式 + + 留数定理留数定理方法方法II: II: 666.3应用例应用例拉氏变换拉氏变换拉氏变换反演拉氏变换反演关于关于t 的的微分方程微分方程关于关于 p的的代数方程代数方程关于关于 p的的代数代数表达式表达式原微分方程的解原微分方程的解关于拉普拉斯变换的一最主要用途在于微分方程的求解关于拉普拉斯变换的一最主要用途在于微分方程的求解方程方程求解求解67
