高三数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件

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1、第三节等比数列及其前n项和【知识梳理【知识梳理】1.1.等比数列及其相关概念等比数列及其相关概念等比数列等比数列一般地一般地, ,如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与每一项与它的它的_的比都等于的比都等于_公比公比等比数列定义中的等比数列定义中的_叫做等比数列的公叫做等比数列的公比比, ,常用字母常用字母q(q0)q(q0)表示表示公式表示公式表示aan n 为等比数列为等比数列_(n_(nN N* *，q q为非为非零常数零常数) ) 等比中项等比中项如果如果a,G,ba,G,b成等比数列成等比数列, ,则则G G叫做叫做a,ba,b的等比中的等比中项项, ,此时此时

2、_前面一项前面一项同一个常数同一个常数常数常数G G2 2=ab=ab2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式若等比数列若等比数列aan n 的首项是的首项是a a1 1, ,公比是公比是q,q,则其通项公式为则其通项公式为_._.3.3.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)当公比当公比q=1q=1时时,S,Sn n=_.=_.(2)(2)当公比当公比q1q1时时,S,Sn n=_=_.=_=_.a an n= =a a1 1q qn-1n-1(nN(nN* *) )nana1 14.4.等比数列的常见性质等比数列的常见性质(1)(1)项的性质项的性质: :aan n

3、=a=am mq qn-mn-m; ;aam-km-ka am+km+k=a=am m2 2(mk,m,kN(mk,m,kN* *).).(i)(i)若若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kNm+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN* *),),则则a am ma an n=_=_=a ak k2 2; ;(ii)(ii)若数列若数列aan n,b,bn n(项数相同项数相同) )是等比数列是等比数列, ,则则aan n,|a,|an n|, ,|, , a an n2 2,a,an nb bn n, (0), (0)仍然是等比仍然是等比数列数列; ;a ap pa aq q(iii)(

4、iii)在等比数列在等比数列aan n 中中, ,等距离取出若干项也构成一个等比数等距离取出若干项也构成一个等比数列列, ,即即a an n,a,an+kn+k,a,an+2kn+2k,a,an+3kn+3k, ,为等比数列为等比数列, ,公比为公比为q qk k. .(2)(2)和的性质和的性质: :SSm+nm+n=S=Sn n+q+qn nS Sm m; ;若等比数列若等比数列aan n 共共2k(kN2k(kN* *) )项项, ,则则 =q;=q;公比不为公比不为-1-1的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S Sn n,S,S2n2n-S-

5、Sn n, ,_仍成等比数列仍成等比数列, ,其公比为其公比为q qn n, ,当公比为当公比为-1-1时时,S,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n, ,_不一定构成等比数列不一定构成等比数列. .S S3n3n-S-S2n2nS S3n3n-S-S2n2n(3)(3)等比数列等比数列aan n 的单调性的单调性: :满足满足 aan n 是是_数列数列; ;满足满足 aan n 是是_数列数列; ;当当 时时,a,an n 为为_数列数列; ;当当q0q0,0,所以所以a a5 5= = 所以所以a a4 4a a5 5a a6 6= = 答案答案: :6.6.若数列若数列aan n 满

6、足：满足：a a1 1=1,a=1,an+1n+1= (nN= (nN* *),),其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,则则 =_.=_.【解析【解析】由由a a1 1=1,a=1,an+1n+1= = 知知aan n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为 的等比的等比数列，所以数列，所以故故答案：答案：1515考点考点1 1 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013江西高考江西高考) )等比数列等比数列x,3x+3,6x+6,x,3x+3,6x+6,的第的第四项等于四项等于( () )A.-24 B.0 A.-24 B.0 C.12

7、C.12 D.24D.24(2)(2013(2)(2013新课标全国卷新课标全国卷)等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,已知已知S S3 3=a=a2 2+10a+10a1 1,a,a5 5=9,=9,则则a a1 1=(=() )【解题视点【解题视点】(1)(1)先根据等比中项的性质求出先根据等比中项的性质求出x x的值的值, ,再利用通再利用通项公式求第四项项公式求第四项. .(2)(2)利用利用S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3, ,根据通项公式求出根据通项公式求出q q2 2, ,再解方程求得再解方程求得a a1 1. .【规范解

8、答【规范解答】(1)(1)选选A.A.因为等比数列的前三项为因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6,x,3x+3,6x+6,所以所以(3x+3)(3x+3)2 2=x(6x+6),=x(6x+6),即即x x2 2+4x+3=0,+4x+3=0,解得解得x=-1x=-1或或x=-3.x=-3.当当x=-1x=-1时时,3x+3=0,3x+3=0不合题意不合题意, ,舍去舍去. .故故x=-3.x=-3.此时等比数列的前三项为此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.-3,-6,-12.所以等比数列的首项为所以等比数列的首项为-3,-3,公比为公比为2,2,所以等比数列的第四项为所以等比数

9、列的第四项为-3-32 24-14-1=-24.=-24.(2)(2)选选C.C.由由S S3 3=a=a2 2+10a+10a1 1, ,得得a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=a=a2 2+10a+10a1 1, ,即即a a3 3=9a=9a1 1, ,即即a a1 1q q2 2=9a=9a1 1, ,解得解得q q2 2=9,=9,又因为又因为a a5 5=9,=9,所以所以a a1 1q q4 4=9,=9,解得解得a a1 1= .= .【互动探究【互动探究】若本例已知条件不变若本例已知条件不变,(1),(1)对于第对于第(1)(1)小题小题, ,求通项公式求通项公式a a

10、n n. .(2)(2)对于第对于第(2)(2)小题小题, ,求前求前n n项和项和S Sn n. .【解析【解析】(1)(1)由本例由本例(1)(1)知知a a1 1=-3,q=2,=-3,q=2,所以所以a an n=(-3)=(-3)2 2n-1n-1. .(2)(2)由本例由本例(2)(2)知知a a1 1= ,q= ,q=3,3,所以所以当当q=3q=3时时,S,Sn n= =当当q=-3q=-3时时,S,Sn n= = 因此因此S Sn n= (3= (3n n-1)-1)或或S Sn n= 1-(-3)= 1-(-3)n n.【易错警示【易错警示】关注等比数列项的符号规律关注等比

11、数列项的符号规律等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是a an n=a=a1 1q qn-1n-1, ,不管公比不管公比q q的正负的正负,q,q2 20,0,因此因此我们可以知道我们可以知道, ,等比数列中奇数项符号相同等比数列中奇数项符号相同, ,偶数项符号也相同偶数项符号也相同, ,但在做题时但在做题时, ,我们往往会忽视这一点我们往往会忽视这一点, ,尤其是在用到等比中项的尤其是在用到等比中项的时候时候. .本例第本例第(1)(1)题就易出现两种情况不能决定取舍的问题题就易出现两种情况不能决定取舍的问题. .【规律方法【规律方法】解决等比数列有关问题的常见思想方法解决等比数列有关问题

12、的常见思想方法(1)(1)方程的思想方程的思想. .等比数列中有五个量等比数列中有五个量a a1 1,n,q,a,n,q,an n,S,Sn n, ,一般可以一般可以“知三求二知三求二”, ,通过列方程通过列方程( (组组) )求关键量求关键量a a1 1和和q,q,问题可迎刃而问题可迎刃而解解. .(2)(2)数形结合的思想数形结合的思想. .通项通项a an n=a=a1 1q qn-1n-1可化为可化为a an n= q= qn n, ,因此因此a an n是是关于关于n n的函数的函数, ,点点(n,a(n,an n) )是曲线是曲线y= qy= qx x上一群孤立的点上一群孤立的点.

13、 .(3)(3)分类讨论的思想分类讨论的思想. .当当q=1q=1时时,a,an n 的前的前n n项和项和S Sn n=na=na1 1; ;当当q1q1时时, ,aan n 的前的前n n项和项和S Sn n= = 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式涉及对公比涉及对公比q q的分类讨论的分类讨论, ,此处是常考点此处是常考点, ,也是易错点也是易错点. .(4)(4)整体思想整体思想. .应用等比数列前应用等比数列前n n项和公式时项和公式时, ,常把常把q qn n或或 当当成整体进行求解成整体进行求解. .等比数列设项技巧等比数列设项技巧对称设元法对称设元法: :一般地一般

14、地, ,连续奇数个项成等比数列连续奇数个项成等比数列, ,可设为可设为, ,x,xqx,xq, ,; ;连续偶数个项成等比数列连续偶数个项成等比数列, ,可设为可设为, xq, xq, ,xqxq3 3, ,( (注意注意: :此时公比此时公比q q2 20,0,并不适合所有情况并不适合所有情况) )这样即可减少这样即可减少未知量的个数未知量的个数, ,也使得解方程较为方便也使得解方程较为方便. .【变式训练【变式训练】(2013(2013四川高考四川高考) )在等比数列在等比数列aan n 中中,a,a2 2-a-a1 1=2,=2,且且2a2a2 2为为3a3a1 1和和a a3 3的等差

15、中项的等差中项, ,求数列求数列aan n 的首项、公比及前的首项、公比及前n n项和项和. .【思路点拨【思路点拨】首先需要明确等比数列中首先需要明确等比数列中2a2a2 2为为3a3a1 1和和a a3 3的等差中的等差中项项, ,然后设出公比然后设出公比, ,利用方程的思想进行求解利用方程的思想进行求解. .【解析【解析】设该数列的公比为设该数列的公比为q.q.由已知可得由已知可得a a1 1q-q-a a1 1=2,4a=2,4a1 1q=3aq=3a1 1+a+a1 1q q2 2, ,所以所以,a,a1 1(q-1)=2,q(q-1)=2,q2 2-4q+3=0,-4q+3=0,解

16、得解得q=3q=3或或q=1.q=1.由于由于a a1 1(q-1)=2,(q-1)=2,因此因此q=1q=1不合题意不合题意, ,应舍去应舍去. .故公比故公比q=3,q=3,首项首项a a1 1=1.=1.所以所以, ,数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n= =【加固训练【加固训练】1.1.在等比数列在等比数列aan n 中中, ,若公比若公比q1,q1,且且a a2 2a a8 8=6,a=6,a4 4+a+a6 6=5,=5,则则= = ( () )【解析【解析】选选D.D.因为因为a a2 2a a8 8=6,=6,所以所以a a4 4a a6 6=6,=6,又因为

17、又因为a a4 4+a+a6 6=5,q1,=5,q1,所以所以a a4 4=2,a=2,a6 6=3,=3,所以所以2.2.设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若 则则 =( )=( )【解析【解析】选选B.B.设数列设数列aan n 的公比为的公比为q ,q ,则则1 1q q3 33 3 q q3 32,2,于是于是3.3.设设aan n 是等差数列是等差数列,b,bn n 是等比数列是等比数列, ,记记aan n,b,bn n 的前的前n n项和项和分别为分别为S Sn n,T,Tn n. .若若a a3 3=b=b3 3,a,a4 4=b=b4

18、 4, ,且且 则则 = =. .【解析【解析】设数列设数列aan n 的公差为的公差为d,d,数列数列bbn n 的公比为的公比为q.q.因为因为 =5,=5,所以所以 =5,=5,即即2a2a1 1+7d=5b+7d=5b1 1q q2 2(1+q),(1+q),因为因为a a3 3=b=b3 3,a,a4 4=b=b4 4, ,所以所以可得可得 故故2(3-2q)+7(q-1)=5(1+q),2(3-2q)+7(q-1)=5(1+q),解得解得q=-3,q=-3,所以所以答案答案: :考点考点2 2 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(20

19、13福建高考福建高考) )已知等比数列的公比为已知等比数列的公比为q,q,记记b bn n=a=am(n-1)+1m(n-1)+1+a+am(n-1)+2m(n-1)+2+ +a+am(n-1)+mm(n-1)+m,c,cn n=a=am(n-1)+1m(n-1)+1a am(n-1)+2m(n-1)+2a am(n-1)+m(n-1)+m m( (m,nm,nN N* *，),),则以下结论一定正确的是则以下结论一定正确的是( () )A.A.数列数列bbn n 为等差数列为等差数列, ,公差为公差为q qm mB.B.数列数列bbn n 为等比数列为等比数列, ,公比为公比为q q2m2m

20、C.C.数列数列ccn n 为等比数列为等比数列, ,公比为公比为D.D.数列数列ccn n 为等比数列为等比数列, ,公比为公比为(2)(2013(2)(2013陕西高考陕西高考) )设设aan n 是公比为是公比为q q的等比数列的等比数列. .推导推导aan n 的前的前n n项和公式项和公式. .设设q1,q1,证明数列证明数列aan n+1+1不是等比数列不是等比数列. .【解题视点【解题视点】(1)(1)判定一个数列是等差或等比数列判定一个数列是等差或等比数列, ,可利用作差可利用作差或作比或作比, ,看看结果是不是常数看看结果是不是常数. .(2)(2)推导数列推导数列aan n

21、 的前的前n n项和公式要注意分项和公式要注意分q=1q=1或或q1q1两种情况讨两种情况讨论论, ,利用错位相减法求解利用错位相减法求解; ;证明数列证明数列aan n+1+1不是等比数列不是等比数列, ,一般要一般要用反证法用反证法, ,只需证明前三项不符合等比数列的条件即可只需证明前三项不符合等比数列的条件即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.显然显然,b,bn n 是等比数列但公比为是等比数列但公比为q qm m;c;cn n 是是等比数列等比数列; ;证明如下证明如下: :c cn n=a=am(n-1)+1m(n-1)+1a am(n-1)+2m(n-1)+2a

22、am(n-1)+mm(n-1)+m, ,c cn+1n+1=a=amn+1mn+1a amn+2mn+2a amn+mmn+m, ,=q=qm mq qm mq qm m=(q=(qm m) )m m= =(2)(2)分两种情况讨论分两种情况讨论. .(i)(i)当当q=1q=1时时, ,数列数列aan n 是首项为是首项为a a1 1的常数数列的常数数列, ,所以所以S Sn n=a=a1 1+a+a1 1+ +a+a1 1=na=na1 1. .(ii)(ii)当当q1q1时时,S,Sn n=a=a1 1+a+a2 2+ +a+an-1n-1+a+an n qSqSn n=qa=qa1 1

23、+qa+qa2 2+ +qa+qan-1n-1+qa+qan n. .上面两式错位相减上面两式错位相减: :(1-q)S(1-q)Sn n=a=a1 1+(a+(a2 2-qa-qa1 1)+(a)+(a3 3-qa-qa2 2)+)+(a+(an n-qa-qan-1n-1)-qa)-qan n=a=a1 1-qa-qan n S Sn n= =综上综上,S,Sn n= =使用反证法使用反证法. .不妨设不妨设aan n 是公比是公比q1q1的等比数列的等比数列, ,假设数列假设数列aan n+1+1是等比数列是等比数列, ,则则(a(a2 2+1)+1)2 2=(a=(a1 1+1)(a+

24、1)(a3 3+1)+1)即即(a(a1 1q+1)q+1)2 2=(a=(a1 1+1)(a+1)(a1 1q q2 2+1),+1),整理得整理得a a1 1(q-1)(q-1)2 2=0=0得得a a1 1=0=0或或q=1q=1均与题设矛盾均与题设矛盾, ,故数列故数列aan n+1+1不是不是等比数列等比数列. .【易错警示【易错警示】注意对公比的讨论注意对公比的讨论本例第本例第(2)(2)题容易忽略对公比是否为题容易忽略对公比是否为1 1的讨论而致误的讨论而致误, ,在解决等在解决等比数列问题时比数列问题时, ,要注意公比是否有限制条件要注意公比是否有限制条件, ,确定是否应进行讨

25、确定是否应进行讨论论. .【规律方法【规律方法】等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)(1)定义法定义法: :若若 =q(q=q(q为非零常数为非零常数,nN,nN* *) )或或 (q(q为非零为非零常数且常数且n2,nNn2,nN* *),),则则aan n 是等比数列是等比数列. .(2)(2)中项公式法中项公式法: :若数列若数列aan n 中中,a,an n00且且a an+1n+12 2=a=an na an+2n+2(nN(nN* *),),则则数列数列aan n 是等比数列是等比数列. .(3)(3)通项公式法通项公式法: :若数列通项公式可写成若数列通项公式可写成a an

26、 n=c=cq qn-1n-1(c,q(c,q均是不为均是不为0 0的常数的常数,nN,nN* *),),则则aan n 是等比数列是等比数列. .(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :若数列若数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=k=kq qn n-k(k-k(k为常数为常数且且k0,q0,1),k0,q0,1),则则aan n 是等比数列是等比数列. .提醒提醒: :(1)(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法前两种方法是判定等比数列的常用方法, ,常用于证明常用于证明, ,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. .(2

27、)(2)若要判定一个数列不是等比数列若要判定一个数列不是等比数列, ,则只需判定存在连续三项则只需判定存在连续三项不成等比数列即可不成等比数列即可. .【变式训练【变式训练】(2014(2014金华模拟金华模拟) )已知数列已知数列aan n 的首项的首项a a1 1=t0,a=t0,an+1n+1= = n=1,2,n=1,2,(1)(1)若若t= ,t= ,求证求证 是等比数列并求出是等比数列并求出aan n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)若若a an+1n+1aan n对一切对一切nNnN* *都成立都成立, ,求求t t的取值范围的取值范围. .【解析【解析】(1)(1)由由a

28、 a1 10,a0,an+1n+1= = 知知a an n0, 0, 所以数列所以数列 是首项为是首项为 公比为公比为 的等比数列，的等比数列，(2)(2)由由(1)(1)知知因为因为a an n0,0,故故a an+1n+1aan n得得即即得得 又又t0t0，则，则0t1.0t1.【加固训练【加固训练】1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1= ,a= ,an n= (n2,nN= (n2,nN* *).).(1)(1)试判断数列试判断数列 是否为等比数列是否为等比数列, ,并说明理由并说明理由. .(2)(2)设设c cn n=a=an nsinsin , ,数列数列cc

29、n n 的前的前n n项和为项和为T Tn n. .求证求证: :对任对任意的意的nNnN* *,T,Tn n aa1 1, ,则则a a4 4aa2 2【解题视点【解题视点】(1)(1)利用等比数列的性质将利用等比数列的性质将a a5 5a a6 6替换为替换为a a4 4a a7 7, ,然后联然后联立方程组求得立方程组求得a a4 4,a,a7 7的值的值, ,最后将最后将a a4 4,a,a7 7及公比及公比q q的值整体代入的值整体代入a a1 1+a+a1010求出其值求出其值. .(2)(2)利用等比数列的基本量和基本不等式进行计算利用等比数列的基本量和基本不等式进行计算. .【

30、规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.方法一方法一: :因为因为aan n 为等比数列为等比数列, ,所以所以a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7=-8,=-8,联立联立解得或所以解得或所以q q3 3=- =- 或或q q3 3=-2,=-2,故故a a1 1+a+a1010= +a= +a7 7q q3 3=-7.=-7.方法二方法二: :因为因为aan n 为等比数列为等比数列, ,所以所以a a5 5a a6 6=a=a4 4a a7 7=-8,=-8,又又a a4 4+a+a7 7=2,=2,联立方程组可得联立方程组可得a a4 4=4,a=4,a7 7=-2=-

31、2或或a a4 4=-2,a=-2,a7 7=4.=4.根据等比数列性质根据等比数列性质,a,a1 1,a,a4 4,a,a7 7,a,a1010也成等比数列也成等比数列. .若若a a4 4=4,a=4,a7 7=-2,=-2,得得a a1 1=-8,a=-8,a1010=1,a=1,a1 1+a+a1010=-7;=-7;若若a a4 4=-2,a=-2,a7 7=4,=4,得得a a1010=-8,a=-8,a1 1=1,=1,仍有仍有a a1 1+a+a1010=-7,=-7,综上选综上选D.D.(2)(2)选选B.B.选项选项具体分析具体分析结论结论A Aa a1 1,a,a3 3不

32、一定都是正数不一定都是正数, ,所以不一定能使用基本不等式所以不一定能使用基本不等式. .不正确不正确B B因为因为a a1 12 20, 0, a a3 32 20,0,所以由基本不等式可得所以由基本不等式可得a a1 12 2+ +a a3 32 22a2a1 1a a3 3=2=2a a2 22 2. .正确正确C C由由a a1 1=a=a3 3可得可得q=q=1.1.当当q=1q=1时时,a,a1 1=a=a2 2; ;当当q=-1q=-1时时,a,a2 2=-a=-a1 1. .不正确不正确D D因为因为a a4 4=a=a3 3q,aq,a2 2=a=a1 1q,q,所以当所以当

33、q0q0时时,a,a4 4aa2 2; ;当当q0q0时时,a,a4 4a0,0,因此因此S S2020=30,S=30,S2020-S-S1010=20,S=20,S4040=10+20+40+80=150.=10+20+40+80=150.答案答案: :1501504.(20144.(2014杭州模拟杭州模拟) )已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n,若若2a2a4 4+a+a3 3-2a-2a2 2-a-a1 1=8,=8,则则2a2a8 8+a+a7 7的最小值为的最小值为. .【解析解析】设设aan n 的公比为的公比为q,q,由由2a2a4 4+a+a3

34、3-2a-2a2 2-a-a1 1=8,=8,得得(2a(2a2 2+a+a1 1)q)q2 2- -(2a(2a2 2+a+a1 1)=8,)=8,所以所以(2a(2a2 2+a+a1 1)(q)(q2 2-1)=8,-1)=8,显然显然q q2 21,2a1,2a8 8+a+a7 7=(2a=(2a2 2+ +a a1 1)q)q6 6= = 令令t=qt=q2 2, ,则则2a2a8 8+a+a7 7= = 设函数设函数f(t)= (t1),f(t)= (t1),f(t)= ,f(t)= ,易知当易知当tt(1, )(1, )时时f(t)f(t)为减函数为减函数, ,当当tt( ( ,+

35、,+) )时时,f(t),f(t)为增函数为增函数, ,所以所以f(t)f(t)的最小值为的最小值为f( )=54,f( )=54,故故2a2a8 8+a+a7 7的最小值为的最小值为54.54.答案答案: :5454【加固训练【加固训练】1.(20121.(2012安徽高考安徽高考) )公比为公比为2 2的等比数列的等比数列aan n 的各项都是正数的各项都是正数, ,且且a a3 3a a1111=16,=16,则则a a5 5=(=() )A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.8D.8【解析【解析】选选A.aA.a3 3a a1111=16=16 a a7 72 2=16=16 a a

36、7 7=4=a=4=a5 52 22 2 a a5 5=1.=1.2.(20142.(2014黄冈模拟黄冈模拟) )在等比数列在等比数列aan n 中中, ,“8a8a2 2-a-a5 5=0=0”是是“aan n 为递增数列为递增数列”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 D.D.充要条件充要条件【解析【解析】选选C.C.由由8a8a2 2-a-a5 5=0,=0,得到得到a a5 5=8a=8a2 2. .又又a a5 5=q=q3 3a a2 2, ,则则q=2,q=2,而而a a1 1

37、00时时, ,数列数列aan n 为递增数列为递增数列,a,a1 101,y1,x1,y1,且且 lnx, ,lnylnx, ,lny成等比数列成等比数列, ,则则xyxy的最小值是的最小值是. .【解析【解析】由已知条件得由已知条件得 lnxlnxlnylny, ,即即lnxlnxlnylny= ,= ,又又lnxlnxlnylny , ,当且仅当当且仅当x=yx=y时等号成立时等号成立, ,所以所以ln(xy)ln(xy)2 21,1,又又x1,y1,x1,y1,所以所以ln(xy)1,ln(xy)1,即即xye,xyxye,xy的最小的最小值为值为e.e.答案答案: :e e【创新体验【

38、创新体验4 4】以数列为载体的创新问题以数列为载体的创新问题【典例【典例】(2014(2014连云港模拟连云港模拟) )定义一个定义一个“等积数列等积数列”: :在一个在一个数列中数列中, ,如果每一项与它后一项的积都是同一常数如果每一项与它后一项的积都是同一常数, ,那么这个数那么这个数列叫列叫“等积数列等积数列”, ,这个常数叫做这个数列的公积这个常数叫做这个数列的公积. .已知数列已知数列aan n 是等积数列是等积数列, ,且且a a1 1=2,=2,公积为公积为5,5,则这个数列的前则这个数列的前n n项项和和S Sn n的计算公式为的计算公式为. .【审题视点【审题视点】 创创新新

39、点点定义定义“等积数列等积数列”: :在一个数列中在一个数列中, ,每一项与它后一项的积都是同一常数每一项与它后一项的积都是同一常数( (公积公积) )切入切入点点依据依据“等积数列等积数列”的定义求得已知数列的定义求得已知数列aan n 的通项的通项, ,再讨论项数再讨论项数n n是偶数还是偶数还是奇数是奇数, ,得到前得到前n n项和项和S Sn n【解析【解析】这个数列为这个数列为2, ,2, ,2, 2, ,2, ,2, , , ,若若n n是偶数是偶数, ,则则S Sn n= = 若若n n是奇数是奇数, ,则则故故S Sn n= =答案答案: :S Sn n= =【创新点拨【创新点

40、拨】1.1.高考考情高考考情: :先定义一个先定义一个( (一类一类) )新数列新数列, ,然后要求根据新定义推然后要求根据新定义推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类新数列断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类新数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向, ,考查频次较考查频次较高高. .2.2.命题形式命题形式: :常见的有新定义、新法则、新运算等常见的有新定义、新法则、新运算等, ,形式新颖形式新颖, ,常给人耳目一新的感觉常给人耳目一新的感觉. .【备考指导【备考指导】1.1.准确转化准确转化: :解决数列新定义问题解

41、决数列新定义问题, ,首先要弄清新定义的本质含首先要弄清新定义的本质含义义, ,紧扣题目所给定义进行等价转化紧扣题目所给定义进行等价转化. .2.2.方法选取方法选取: :对于数列新定义问题对于数列新定义问题, ,可结合等差数列、等比数列可结合等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法求解的性质以及解决数列问题时常用的方法求解. .【新题快递【新题快递】1.1.若数列若数列aan n 满足满足 =p(p=p(p为正常数为正常数,nN,nN* *),),则称则称aan n 为为“等等方比数列方比数列”. .甲甲: :数列数列aan n 是等方比数列是等方比数列; ;乙乙: :数列数列a

42、an n 是等比数是等比数列列, ,则则( () )A.A.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的充分条件但不是必要条件B.B.甲是乙的充要条件甲是乙的充要条件C.C.甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的必要条件但不是充分条件D.D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析【解析】选选C.C.乙乙 甲甲, ,但甲但甲 乙乙, ,如数列如数列2,2,-2,-2,-2,2,2,-2,-2,-2,是等方是等方比数列比数列, ,但不是等比数列但不是等比数列. .2.2.定义定义“等平方和数列等平方和数列”: :在一个数列中在一个数列中, ,如果每一项与它的后

43、如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数一项的平方和都等于同一个常数, ,那么这个数列叫做等平方和那么这个数列叫做等平方和数列数列, ,这个常数叫做该数列的平方和这个常数叫做该数列的平方和, ,已知数列已知数列aan n 是等平方和是等平方和数列数列, ,且且a a1 1=1,=1,平方和为平方和为5,5,且且a an n0,0,则则a a20152015= =, ,这个数列的这个数列的前前n n项和项和S Sn n的计算公式为的计算公式为. .【解析【解析】由定义知由定义知a a1 12 2+a+a2 22 2=5,a=5,a1 1=1,=1,所以所以a a2 22 2=4,=4,因为

44、因为a an n0,0,所以所以a a2 2=2.=2.又由又由a a2 22 2+a+a3 32 2=5,=5,所以所以a a3 32 2=1,=1,因为因为a a3 30,0,所以所以a a3 3=1,=1,由此可知由此可知a a4 4=2,a=2,a5 5=1,=1,即数列即数列aan n 的奇数项均为的奇数项均为1,1,偶数项均为偶数项均为2 2，所以，所以a a2 2 015015=1.=1.当当n n为偶数时，为偶数时，当当n n为奇数时，为奇数时，答案答案: :【规范解答【规范解答】函数在研究数列问题中的应用函数在研究数列问题中的应用【典例【典例】(15(15分分)(2014)(

45、2014桂林模拟桂林模拟) )已知已知: :函数函数f(xf(x) )在在(-1,1)(-1,1)上上有定义有定义, =-1, =-1,且对且对x,y(-1,1)x,y(-1,1)有有f(x)+f(yf(x)+f(y)=)=(1)(1)试判断函数试判断函数f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .(2)(2)对于数列对于数列xxn n,有有x x1 1= ,x= ,xn+1n+1= = 试证明数列试证明数列f(xf(xn n)成等比数列成等比数列. .(3)(3)求证求证: :【审题【审题】分析信息分析信息, ,形成思路形成思路信息提取信息提取思路分析思路分析(1)(1)f(xf(x) )满足满

46、足 =-1=-1，且对且对 x x，y y(-1,1)(-1,1)有有f(x)+f(yf(x)+f(y)=)=判断判断f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性 只给出函数只给出函数f(xf(x) )满足的式子满足的式子, ,没有给出函数没有给出函数解析式解析式, ,需要用赋值法推出需要用赋值法推出f(-xf(-x) )与与f(xf(x) )的的关系关系信息提取信息提取思路分析思路分析(2)(2)x x1 1= ,x= ,xn+1n+1= = 证明证明f(xf(xn n)成等比数成等比数列列 把数列把数列xxn n 的递推关系式转的递推关系式转化为数列化为数列f(xf(xn n)的递推关的递推关系式系

47、式证明证明 = =常数常数 (3)(3)证明证明求出求出 f(xf(xi i) )以及以及 对二者加以比较可证对二者加以比较可证 【解题【解题】规范步骤规范步骤, ,水到渠成水到渠成(1)(1)在在f(x)+f(yf(x)+f(y)= )= 中中, ,令令y=-xy=-x得得f(x)+f(-xf(x)+f(-x)=f(0),)=f(0),1 1分分再令再令x=y=0x=y=0得得f(0)+f(0)=f(0),f(0)+f(0)=f(0),所以所以f(0)=0f(0)=0, ,3 3分分所以所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),又函数又函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为(-

48、1,1),(-1,1),则函数则函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .4 4分分(2)(2)由由因为因为 等号当且仅当等号当且仅当|x|xn+1n+1|=1|=1时成立时成立, ,当当x xn+1n+1=1=1时时, ,根据根据x xn n= = 得得x xn n=1,=1,进而进而x xn-1n-1=x=xn-2n-2= =x=x1 1=1,=1,与已知与已知x x1 1= = 矛盾矛盾, ,故故x xn+1n+11,1,同理同理x xn+1n+1-1,-1,故故 所以所以 . .6 6分分所以所以f(xf(xn+1n+1)=)=因为函数因为函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数, ,

49、所以所以f(xf(xn+1n+1)=f(x)=f(xn n)-f(x)-f(xn+1n+1),2f(x),2f(xn+1n+1)=f(x)=f(xn n).).因为因为x xn n0,0,否则与否则与x x1 1= = 矛盾矛盾, ,所以所以f(xf(xn n)f(0)=0)f(0)=0, ,所以所以 9 9分分因为因为f(xf(x1 1)=f( )=-1,)=f( )=-1,所以所以f(xf(xn n)是以是以-1-1为首项为首项, , 为公比的等比数列为公比的等比数列. .1010分分(3)(3)根据根据(2)(2)可得可得f(xf(xn n)= )= 1111分分因为因为 1313分分

50、1414分分又因为又因为nNnN* *, ,所以所以-2+ -2,-2+ -2,所以所以 1515分分【点题【点题】失分警示失分警示, ,规避误区规避误区失分点失分点防范措施防范措施处不能用特殊值法求出处不能用特殊值法求出f(0)f(0)的值的值导致无法判断奇偶性导致无法判断奇偶性解答抽象函数问题时解答抽象函数问题时, ,要充分利用定义域内的特要充分利用定义域内的特殊值殊值, ,通过取特殊值找到关键的函数值通过取特殊值找到关键的函数值处未证明处未证明x xn n的范围导致解题过程的范围导致解题过程不严谨而失分不严谨而失分必须说明所研究的对象都在已知条件范围内必须说明所研究的对象都在已知条件范围

51、内, ,否否则就不能套用已知条件实现解题的突破则就不能套用已知条件实现解题的突破处未说明处未说明f(xf(xn n)0)0导致解题过程导致解题过程不严谨不严谨当解题过程中出现分式时当解题过程中出现分式时, ,要说明分母不为要说明分母不为0 0处不能正确利用第处不能正确利用第(2)(2)问的结论问的结论求和导致无法比较大小求和导致无法比较大小有两问以上的解答题有两问以上的解答题, ,要环环相扣要环环相扣, ,做下一问时要做下一问时要充分利用上一问已得出的结论充分利用上一问已得出的结论【变题【变题】变式训练变式训练, ,能力迁移能力迁移函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-ax+a(xR),-a

52、x+a(xR),数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=f(n=f(n),),且且f(xf(x) )同时满足同时满足: :不等式不等式f(x)0f(x)0的解集有且只有一个元素的解集有且只有一个元素; ;在定义域内存在在定义域内存在0x0x1 1xf(x)f(x2 2) )成立成立. .(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的表达式的表达式. .(2)(2)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. .【解析【解析】(1)(1)因为不等式因为不等式f(x)0f(x)0的解集有且只有一个元素的解集有且只有一个元素, ,所所以以=a=a2 2-4a=0,-4a=0,解得解得

53、a=0a=0或或a=4.a=4.当当a=0a=0时时, ,函数函数f(xf(x)=x)=x2 2在在(0,+)(0,+)上递增上递增, ,不满足条件不满足条件; ;当当a=4a=4时时, ,函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-4x+4-4x+4在在(0,2)(0,2)上递减上递减, ,满足条件满足条件. .综上得综上得a=4,a=4,即即f(xf(x)=x)=x2 2-4x+4.-4x+4.(2)(2)由由(1)(1)知知S Sn n=n=n2 2-4n+4=(n-2)-4n+4=(n-2)2 2, ,当当n=1n=1时时,a,a1 1=S=S1 1=1;=1;当当n2n2时时,a,an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=(n-2)=(n-2)2 2-(n-3)-(n-3)2 2=2n-5.=2n-5.所以所以a an n= =