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1、研究生课程数理统计第三章第三章 假设检验假设检验. 假设检验假设检验是指对总体的分布或分布参数作某种是指对总体的分布或分布参数作某种假设，用总体的一个样本检验此假设是否成立，从假设，用总体的一个样本检验此假设是否成立，从而做出接受此假设还是拒绝此假设的决策，它是统而做出接受此假设还是拒绝此假设的决策，它是统计推断的又一重要内容计推断的又一重要内容. 3.1 3.1 假设检验的基本方法假设检验的基本方法假设检验可分为假设检验可分为两类两类：参数假设检验参数假设检验分布假设检验分布假设检验.从生产线上抽取一些产品进行检测，从生产线上抽取一些产品进行检测，判断整批产品是否合格判断整批产品是否合格结合
2、历史资料判断一段时间之内某结合历史资料判断一段时间之内某路口发生交通事故的次数是否服从路口发生交通事故的次数是否服从泊松分布泊松分布观察大量投掷同一颗骰子的结果，观察大量投掷同一颗骰子的结果，判断该骰子是否均匀判断该骰子是否均匀通过种植试验田判断某种微量元素通过种植试验田判断某种微量元素是否对水稻有增产作用是否对水稻有增产作用参数假参数假设检验设检验分布假分布假设检验设检验.如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?假设检验的主要依据假设检验的主要依据实际推断原理：实际推断原理：下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.一个小
3、概率事件在一次试验中几乎是不可一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的能发生的.例例 有一大批产品，须经检验合格后才能出厂，按标有一大批产品，须经检验合格后才能出厂，按标准其次品率不得超过准其次品率不得超过4%4%今从这批产品中任意抽查今从这批产品中任意抽查1010件，发现有件，发现有3 3件次品，问这批产品能否出厂？件次品，问这批产品能否出厂？解解：直观上看，这批产品似乎不能出厂，但理论依据：直观上看，这批产品似乎不能出厂，但理论依据何在？何在？.现以现以p p表示这批产品的次品率，表示这批产品的次品率，按标准，按标准，则这批产品可以出厂；，则这批产品可以出厂；我们的问题就是要根据我们的
4、问题就是要根据“1010件产品中有件产品中有3 3件次品件次品”这一抽样结果来判断这一抽样结果来判断还是还是若若若若，则这批产品不能出厂，则这批产品不能出厂为此，我们先提出两个相互对立的假设：为此，我们先提出两个相互对立的假设：然后分析在然后分析在成立的前提下会出现什么样的后果成立的前提下会出现什么样的后果 .0.01注意到，在假设注意到，在假设成立的前提下，成立的前提下，出现出现“10件产品中有件产品中有3件次品件次品”这一抽样结果的概率为这一抽样结果的概率为这一抽样结果平均在这一抽样结果平均在100次抽样中难得出现次抽样中难得出现1次，是小次，是小概率事件概率事件 根据实际推断原理，这是不
5、合理的！根据实际推断原理，这是不合理的！ .产生这种不合理现象的原因就在于事先作了假设产生这种不合理现象的原因就在于事先作了假设因此，应该拒绝（否定）假设因此，应该拒绝（否定）假设，接受其对立假设，接受其对立假设即，即，故按标准这批产品不能出厂故按标准这批产品不能出厂 认为这批产品的次品率认为这批产品的次品率.例例 某面粉厂用自动装袋机包装面粉，面粉的袋装重量某面粉厂用自动装袋机包装面粉，面粉的袋装重量是一个随机变量，它服从正态分布当机器工作正常时，是一个随机变量，它服从正态分布当机器工作正常时，其均值为其均值为2525（kgkg），标准差为），标准差为0.100.10（kgkg）为了正常生）
6、为了正常生产，每隔一段时间要检查一次机器工作情况现随机抽产，每隔一段时间要检查一次机器工作情况现随机抽取取1010袋面粉，称得其袋装重量为（袋面粉，称得其袋装重量为（kgkg）：）： 25.10 24.95 25.15 24.95 25.2025.10 24.95 25.15 24.95 25.2025.05 25.30 24.95 24.90 25.2525.05 25.30 24.95 24.90 25.25假定面粉袋装重量的标准差稳定不变，试问这段时间机假定面粉袋装重量的标准差稳定不变，试问这段时间机器工作是否正常？器工作是否正常？.以以X表示这段时间生产的各袋面粉的重量总体，表示这段时
7、间生产的各袋面粉的重量总体， 解解由题意知，由题意知，XN(,0.12)，其中，其中未知未知 问题就是要根据已知样本来判断问题就是要根据已知样本来判断=25 还是还是25 机器工机器工作作正常正常机器工机器工作作异常异常为此，我们先提出下面两个对立的假设为此，我们先提出下面两个对立的假设 .在在H0为真时，包装出来的平均重量应该和为真时，包装出来的平均重量应该和25kg差不多，差不多，也就是对于某个常数也就是对于某个常数K，因此只要找到合适的因此只要找到合适的K值就可以判断包装机是否正常。值就可以判断包装机是否正常。 即即应该比较小，应该比较小，应该是个小概率事件，应该是个小概率事件，（不难理
8、解，（不难理解，K值与样本容量值与样本容量n是有关系的是有关系的.）在假设在假设H0成立的前提下，将有成立的前提下，将有.由定理由定理1.1可知可知由附表可得由附表可得使使相当于取相当于取给定一个小概率给定一个小概率，N(0,1).如果如果则拒绝则拒绝H0如果如果则接受则接受H0通常通常取取0.05、0.01、 0.1等值等值 因此，对于给定的假设因此，对于给定的假设H0.现在抽样结果算得现在抽样结果算得若取若取则则于是于是即在一次抽样中小概率事件居然发生了即在一次抽样中小概率事件居然发生了 这表明在假设这表明在假设H0成立的前提下出现了不合理的现象成立的前提下出现了不合理的现象 因此，我们应
9、该拒绝（否定）因此，我们应该拒绝（否定） H0 ，接受，接受H1即认为这段时间机器工作不正常，需要检修即认为这段时间机器工作不正常，需要检修. .在上述两个例子中，我们称假设在上述两个例子中，我们称假设H0为为原假设原假设，称其对立假，称其对立假设设H1为为备择假设备择假设。假设检验的假设检验的目的目的就是要在就是要在H0与与H1之间做出一种选择：之间做出一种选择：接受原假设接受原假设H0而拒绝备择假设而拒绝备择假设H1或者拒绝原假设或者拒绝原假设H0而接受备择假设而接受备择假设H1.在前面的第一个例子中，备择假设在前面的第一个例子中，备择假设H1表示表示p在在0.04 的的右侧，称为右侧，称
10、为右侧备择假设右侧备择假设，相应的检验称为，相应的检验称为右侧检验右侧检验则称则称H1为为左侧备择假设左侧备择假设，相应的检验称为，相应的检验称为左侧检验左侧检验 类似地，如果需要检验假设类似地，如果需要检验假设左侧检验与右侧检验统称为左侧检验与右侧检验统称为单侧检验单侧检验. .在前面的第二个例子中，备择假设在前面的第二个例子中，备择假设H1表示表示在在0.5的的两侧，称为两侧，称为双侧备择假设双侧备择假设，相应的检验称为，相应的检验称为双侧检双侧检验验一般地，对于双侧检验问题，只写出原假设一般地，对于双侧检验问题，只写出原假设H0就可就可以了但对单侧检验，必须提出备择假设以了但对单侧检验，
11、必须提出备择假设.在前面的第二个例子中，用统计量在前面的第二个例子中，用统计量U的观测值的的观测值的绝对值与绝对值与进行比较进行比较为假设为假设H0的的拒绝域拒绝域为假设为假设H0的的接受域接受域和和为检验统计量为检验统计量U的的临界值临界值 称称称称称称通常称通常称U为为检验统计量检验统计量.假设检验实际上就是概率意义下的假设检验实际上就是概率意义下的“反证法反证法”. .如果假设如果假设H0为真而导致小概率事件在一次抽样中发为真而导致小概率事件在一次抽样中发生了，则认为出现了不合理现象，这表明原假设生了，则认为出现了不合理现象，这表明原假设H0很可能不成立，从而应拒绝很可能不成立，从而应拒
12、绝H0如果原假设如果原假设H0没有导致上述不合理现象发生，则没没有导致上述不合理现象发生，则没有理由拒绝有理由拒绝H0 ，只好接受，只好接受H0 .但是，必须注意，这个反证法是带有概率性质的，但是，必须注意，这个反证法是带有概率性质的，它与我们在纯数学中所使用的反证法不能完全等它与我们在纯数学中所使用的反证法不能完全等同同 这里所谓的这里所谓的 “ “出现了不合理现象出现了不合理现象”，并不是逻，并不是逻辑推理中出现的绝对矛盾，而是根据辑推理中出现的绝对矛盾，而是根据“小概率事小概率事件在一次抽样中不会发生件在一次抽样中不会发生”这样一个人们在实践这样一个人们在实践中广泛采用的原理推断的结果中
13、广泛采用的原理推断的结果 .假设检验有可能犯的两类错误：假设检验有可能犯的两类错误：原假设原假设H0为真为真 客观事实客观事实决策结果决策结果原假设原假设H0为假为假 接受接受H0 拒绝拒绝H0 接受接受H0 拒绝拒绝H0 犯犯第一类错第一类错误误（又称（又称“弃真弃真”错误）错误）犯犯第二类错第二类错误误（又称（又称“取伪取伪”错误）错误）.犯第一类错误（犯第一类错误（“弃真弃真”错误）的概率记为错误）的概率记为犯第二类错误（犯第二类错误（“取伪取伪”错误）的概率记为错误）的概率记为当然，我们总希望犯上述两类错误的概率都很小当然，我们总希望犯上述两类错误的概率都很小 但实际上，在样本容量固定
14、时，要使两类错误但实际上，在样本容量固定时，要使两类错误都很小是很难办到的都很小是很难办到的.n.要使要使与与都很小，只有充分地增大样本容都很小，只有充分地增大样本容n才行，才行，而这又是实际不允许的而这又是实际不允许的.为了不犯错误地检验火柴的质量，那就把火柴厂一为了不犯错误地检验火柴的质量，那就把火柴厂一天生产的所有火柴都划一遍？！天生产的所有火柴都划一遍？！为了不犯错误地检验钢筋的抗拉强度，那就把钢铁为了不犯错误地检验钢筋的抗拉强度，那就把钢铁厂一天生产的所有钢筋都拉断测量？！厂一天生产的所有钢筋都拉断测量？！.人们对犯两类错误所产生的后果看法一致吗？人们对犯两类错误所产生的后果看法一致
15、吗？如果有人告诉你，本课程所有的考试题均来自于某一如果有人告诉你，本课程所有的考试题均来自于某一本习题集，但不知具体是哪几道，你将怎样复习？本习题集，但不知具体是哪几道，你将怎样复习？如果你得知自家的花园中埋着一只珍贵的元青花瓷盘，如果你得知自家的花园中埋着一只珍贵的元青花瓷盘，为了得到它，但不知具体位置，你会怎么做？为了得到它，但不知具体位置，你会怎么做？经常在影视中看到的经常在影视中看到的“地毯式搜索地毯式搜索”，其意义何在？，其意义何在？.事实上，人们通常认为犯第一类错误的后果要比犯第事实上，人们通常认为犯第一类错误的后果要比犯第二类错误的后果严重得多二类错误的后果严重得多.基于这种情况
16、，一般遵循控制犯第一类错误的原则，基于这种情况，一般遵循控制犯第一类错误的原则，即在控制犯第一类错误的概率不超过即在控制犯第一类错误的概率不超过的条件下，尽的条件下，尽量使犯第二类错误的概率减小量使犯第二类错误的概率减小 这种只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯这种只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误的假设检验，称为第二类错误的假设检验，称为显著性检验显著性检验 在显著性检验中，如果控制犯第一类错误的概率不超在显著性检验中，如果控制犯第一类错误的概率不超过过，则称，则称为为显著性水平显著性水平. 对对显显著著性性水水平平进进行行限限制制，体体现现了了“保护原假设保护原假设
17、”的原则的原则.显著性水平对所做的推断有何影响？显著性水平对所做的推断有何影响？通常，通常，越小，则拒绝域也会越小，产生的后果就是使越小，则拒绝域也会越小，产生的后果就是使原假设更难以被拒绝原假设更难以被拒绝. 因因此此，在在原原假假设设的的选选取取上上应应慎慎重重对待。对待。的的大大小小视视具具体体情情况况而而定定，通通常常取取0.1、0.05、0.01、0.005等值。等值。 对对于于同同一一假假设设检检验验问问题题，在在不不同同的的显显著著性性水平下，有可能做出不同的结论水平下，有可能做出不同的结论 .假设检验问题的基本步骤假设检验问题的基本步骤（1）根据实际问题的要求，提出原假设）根据
18、实际问题的要求，提出原假设H0与备择假与备择假设设H1当当H1为双侧备择假设时也可以不写出；为双侧备择假设时也可以不写出；（2）选取适当的检验统计量）选取适当的检验统计量W，并在原假设，并在原假设H0成立成立的前提下，确定出统计量的前提下，确定出统计量W的概率分布；的概率分布； （3）根据具体情况，选取适当的显著性水平）根据具体情况，选取适当的显著性水平及样本及样本容量容量n；.（4）利用）利用W的分布求出的分布求出W相应于相应于和和n的临界值及的临界值及H0的拒绝域；的拒绝域；（5）由样本观察值计算出）由样本观察值计算出W的观测值，并与临界值的观测值，并与临界值作比较，决定拒绝原假设作比较，
19、决定拒绝原假设H0还是接受原假设还是接受原假设H0 .3.2.13.2.1单个正态总体均值的双侧检验单个正态总体均值的双侧检验设总体设总体均值均值未知，未知，要求检验假设要求检验假设为已知常数，为已知常数，下面分下面分已知和已知和未知两种情况进行讨论未知两种情况进行讨论是是X的一个样本，的一个样本，取显著性水平为取显著性水平为.1 1已知已知情形情形在原假设在原假设H0成立的前提下，成立的前提下，由定理由定理1.11.1知知对于给定显著性水平对于给定显著性水平及样本容量及样本容量n使使由附表可得由附表可得示意图示意图.对于样本均值的观测值对于样本均值的观测值则拒绝则拒绝H0这种用标准正态统计量
20、来检验假设的方法称为这种用标准正态统计量来检验假设的方法称为U检检验法（或验法（或Z检验法）检验法）则接受则接受H0.例例 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均切割每段金属棒的平均长度为长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产品中随今从一批产品中随机的抽取机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?.查表得查表得解解接受接受H0，认为该机器工作正常，认为该机器工作正常.2. 2. 在原假设在原假设
21、H0成立的前提下，由定理成立的前提下，由定理1.31.3知知对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平及样本容量及样本容量n使使未知未知情形情形由附表可查得由附表可查得示意图示意图.对于样本均值的观测值对于样本均值的观测值则拒绝则拒绝H0由于这里的检验统计量服从由于这里的检验统计量服从t t分布，通常称上面的分布，通常称上面的检验方法为检验方法为t t检验法检验法 .则接受则接受H0和样本标准差的观测值和样本标准差的观测值s.例例 某电器厂生产一种云母片，云母片的厚度服从某电器厂生产一种云母片，云母片的厚度服从正态分布，厚度均值为正态分布，厚度均值为0.130mm 现从某天生产现从某天生产的云母
22、片中随机抽取的云母片中随机抽取10片，测量其厚度，算得样片，测量其厚度，算得样本均值为本均值为0.146mm，样本标准差为，样本标准差为0.014mm问这问这天生产的云母片的平均厚度与以往有无显著差异天生产的云母片的平均厚度与以往有无显著差异？（？（=0.05） .查表得查表得解解拒绝拒绝H0，认为今天生产的云母片平均厚度与以，认为今天生产的云母片平均厚度与以往有显著差异往有显著差异.3.2.23.2.2单个正态总体方差的双侧检验单个正态总体方差的双侧检验设总体设总体均值均值要求检验假设要求检验假设为已知常数，为已知常数，是是X的一个样本，的一个样本，取显著性水平为取显著性水平为和和 未知，未
23、知，.在原假设在原假设H0成立的前提下，成立的前提下，由定理由定理1.21.2知知 对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平及样本容量及样本容量n与与使使由附表可查得由附表可查得示意图示意图.根据样本算出根据样本算出的观测值的观测值若若或或则拒绝则拒绝H0由上述由上述统计量给出的检验方法称为统计量给出的检验方法称为检验法检验法若若则接受则接受H0.例例 某电池厂生产一种碱性电池，其寿命长期以来服某电池厂生产一种碱性电池，其寿命长期以来服从方差为从方差为 (h (h2 2) )的正态分布今有一批这种的正态分布今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变电池，从它的生产情况来看，寿命
24、的波动性有所改变. .为判断这一看法是否合乎实际，现从这批电池中随为判断这一看法是否合乎实际，现从这批电池中随机抽取机抽取2626只，测出其寿命的样本方差为只，测出其寿命的样本方差为(h(h2 2) )问根据这一数据能否断定这批电池的寿命的波问根据这一数据能否断定这批电池的寿命的波动性较以前有显著变化？取显著性水平动性较以前有显著变化？取显著性水平为为0.02.解解由附表由附表4 4查得查得应接受应接受H0，即在显著性水平，即在显著性水平0.020.02下可以认为这下可以认为这批电池的寿命的波动性较以前无显著变化批电池的寿命的波动性较以前无显著变化.3.2.3 3.2.3 两个正态总体均值差的
25、双侧检验两个正态总体均值差的双侧检验设设与与分别是来自正态总体分别是来自正态总体与与的样本，二者相互独立，的样本，二者相互独立，与与分别是这两个样本的样本均值，分别是这两个样本的样本均值，与与设两个正态总体的均值设两个正态总体的均值及方差及方差分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差均未知，均未知，.在原假设在原假设H0成立的前提下，由定理成立的前提下，由定理6.46.4知知其中其中现要检验假设现要检验假设取显著性水平为取显著性水平为.对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平及样本容量及样本容量由附表可查得由附表可查得使使示意图示意图. 根据根据t检验法，进行一次具体的抽样检验法，
26、进行一次具体的抽样的观测值的观测值算出算出若若 则拒绝原假设则拒绝原假设H0 则接受原假设则接受原假设H0若若.例例 对用两种不同热处理方法加工的金属材料作抗拉强对用两种不同热处理方法加工的金属材料作抗拉强度试验，得到数据如下（度试验，得到数据如下（kg /cm2）方法方法：31 34 29 26 32 35 38 34 30 29 32 31方法方法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 设用两种不同热处理方法加工的金属材料的抗拉强度设用两种不同热处理方法加工的金属材料的抗拉强度各构成正态总体，且两个总体的方差相同问用两种各构成正态总体，且两个总体的方差相同
27、问用两种不同热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度是否不同热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度是否有显著差异？取显著性水平有显著差异？取显著性水平=0.05.解解 以以X和和Y分别表示用方法分别表示用方法和方法和方法加工的金属材加工的金属材料的抗拉强度总体料的抗拉强度总体和和分别表示这两个总体的均值分别表示这两个总体的均值其中其中与与均未知均未知按题意按题意以以问题是要检验假设问题是要检验假设 检验统计量为检验统计量为.由附表查得由附表查得应拒绝假设应拒绝假设H0，即可以认为用两种不同热处理方法，即可以认为用两种不同热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异加工的金属材料的平均抗拉强度
28、有显著差异.3.2.43.2.4两个正态总体方差比的双侧检验两个正态总体方差比的双侧检验设设与与分别是来自正态总体分别是来自正态总体与与的样本，二者相互独立，的样本，二者相互独立，与与设两个正态总体的均值设两个正态总体的均值及方差及方差现要检验假设现要检验假设取显著性水平为取显著性水平为分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差均未知均未知.在原假设在原假设H0成立的前提下，由定理成立的前提下，由定理1.41.4知知对于给定的显著性水平对于给定的显著性水平及样本容量及样本容量从附表可以查得从附表可以查得及及使使示意图示意图.进行一次具体的抽样，算出观测值进行一次具体的抽样，算出观测值
29、若若则拒绝原假设则拒绝原假设H0则接受原假设则接受原假设H0或或若若上述假设检验中的检验统计量是一上述假设检验中的检验统计量是一F变量，通常称上变量，通常称上面检验方法为面检验方法为F检验法检验法.例例 两台车床加工同一零件两台车床加工同一零件, 分别取分别取6件和件和9件测量直径件测量直径, 得得: 假定零件直径服从正态假定零件直径服从正态分布分布, 能否据此断定能否据此断定解解从附表查得从附表查得.例例 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得测得平均检索时间及方差平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解假定假定检索时间服从正态分布检索
30、时间服从正态分布, 问这两系统检索资料有问这两系统检索资料有无明显差别无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应检验两总体方差是否相等首先应检验两总体方差是否相等.从附表查得从附表查得然后再进一步检验下列假设：然后再进一步检验下列假设：.认为两系统检索资料时间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别.从附表查得从附表查得.3.2.53.2.5正态总体均值与方差的单侧检验正态总体均值与方差的单侧检验例例 某炼铁厂铁水的平均含碳量过去较长一段时间内一某炼铁厂铁水的平均含碳量过去较长一段时间内一直是直是4.40，技术革新后测得，技术革新后测得10炉铁水的含碳量如下炉铁水的含碳量如下4.34，
31、 4.40， 4.30， 4.42， 4.354.38， 4.32， 4.40， 4.36， 4.34假定铁水的含碳量服从正态分布，问技术革新后铁水假定铁水的含碳量服从正态分布，问技术革新后铁水含碳量的均值是否显著降低？含碳量的均值是否显著降低？ 取显著性水平取显著性水平=0.05.解解 以以X表示技术革新后各炉铁水的含碳量总体表示技术革新后各炉铁水的含碳量总体和和分别表示其均值和方差分别表示其均值和方差与与要求检验假设要求检验假设 以以按题意，按题意，均未知均未知根据定理根据定理6.3有有(1) 若若对于此类单侧检验问题，由于原假设对于此类单侧检验问题，由于原假设H0比较复杂，比较复杂，需要
32、分下面两种情况来讨论：需要分下面两种情况来讨论：.于是，对给定的显著性水平于是，对给定的显著性水平，有，有 (2) 若若则则因此，对任一常数因此，对任一常数c，是是由概率的性质知由概率的性质知的子事件的子事件.根据定理根据定理1 1.3，于是，对给定的显著性水平于是，对给定的显著性水平，有，有 从而从而 综上所述，综上所述， 在在,即原假设即原假设H0成立的前提下成立的前提下有有.对于对于=0.05，n =10，查附表得，查附表得由测得的数据算得由测得的数据算得从而从而t的观测值为的观测值为即在显著性水平即在显著性水平=0.05下可认为技术革新后铁水含下可认为技术革新后铁水含碳量的均值较以前有
33、显著降低碳量的均值较以前有显著降低拒绝原假设拒绝原假设H0而接受备择假设而接受备择假设H1.例例 一台自动机床加工某种轴件的直径（单位：一台自动机床加工某种轴件的直径（单位：mm）服从正态分布服从正态分布，已知原加工精度，已知原加工精度某日从该机床加工的轴件中抽取某日从该机床加工的轴件中抽取30个，测得数据如下：个，测得数据如下：直径直径9.29.49.69.810.010.210.410.610.8频数频数113675421问当日机床的加工精度较前是否变差（即问当日机床的加工精度较前是否变差（即取显著性水平取显著性水平=0.05变大）变大）?.解解 以以X表示当日加工的轴件的直径总体表示当日
34、加工的轴件的直径总体和和分别表示其均值和方差分别表示其均值和方差要求检验假设要求检验假设由于此检验为单侧检验，在原假设由于此检验为单侧检验，在原假设H0成立的前提成立的前提下，分两种情况来讨论下，分两种情况来讨论:(1) 若若则由定理则由定理1.2知知以以由题意知由题意知.于是，对给定的显著性水平于是，对给定的显著性水平 ，有，有(2) 若若则则 因此，对任一常数因此，对任一常数c，是是由概率的性质知由概率的性质知的子事件的子事件.根据定理根据定理1.2，于是，对给定的显著性水平于是，对给定的显著性水平，有，有从而从而由上述讨论结果知，在原假设由上述讨论结果知，在原假设H0成立的前提下有成立的
35、前提下有. 对于对于=0.05，n =30，查附表得查附表得根据测得的数据算得根据测得的数据算得从而从而的观测值为的观测值为应拒绝原假设应拒绝原假设H0而接受备择假设而接受备择假设H1即在显著性水平即在显著性水平=0.05下可以认为当日自动机床的加下可以认为当日自动机床的加工精度变差了工精度变差了. 在实际问题中，有时不知道总体服从什么类型在实际问题中，有时不知道总体服从什么类型的分布，这时就需要对总体的分布提出某种假设，的分布，这时就需要对总体的分布提出某种假设，并用总体的一个样本检验此假设是否成立，即所谓并用总体的一个样本检验此假设是否成立，即所谓分布假设检验分布假设检验 分布假设检分布假
36、设检验分为两类验分为两类假设总体分布假设总体分布为未知的检验为未知的检验假设总体分布假设总体分布为为已已知的检验知的检验拟合检验法拟合检验法 .3.3.1 3.3.1 假设总体分布为已知的检验假设总体分布为已知的检验设总体设总体X的分布函数的分布函数F(x)已知，已知，这里这里F0(x)是一已知的分布函数，其中不含任何未知参是一已知的分布函数，其中不含任何未知参数数是是X的一个的一个样本，样本，要求检验假设要求检验假设: 下面主要从概率与频率之间的关系的角度出发，下面主要从概率与频率之间的关系的角度出发，构造检验方法构造检验方法. 在原假设在原假设H0成立的前提下，先将成立的前提下，先将X所有
37、可能的值构所有可能的值构成的集合成的集合分成适当有限个互不相交的子集分成适当有限个互不相交的子集并由分布函数并由分布函数F0(x)求出求出X在在中取值的概率中取值的概率 再进行一次具体的抽样，再进行一次具体的抽样，测值测值落在每个落在每个中的频数中的频数及相应的频率及相应的频率计算出样本计算出样本的观的观.统计量统计量的极限分布由下面定理给出的极限分布由下面定理给出考察频率与概率的偏差的加权平方和考察频率与概率的偏差的加权平方和由于频率是概率的反映，由于频率是概率的反映，频率分布与概率分布的拟和程度频率分布与概率分布的拟和程度 所以所以值的大小可以刻划值的大小可以刻划.定理定理3.1（皮尔逊定
38、理）（皮尔逊定理）的分布趋于自由度为的分布趋于自由度为l-1的的即统计量即统计量的极限分布为的极限分布为如果原假设如果原假设H0成立，则当样本容量成立，则当样本容量n时，时，统计量统计量分布，分布，该定理证明从略该定理证明从略.根据皮尔逊定理，当根据皮尔逊定理，当n充分大（充分大（n50）时，）时，近似地服从近似地服从分布分布 .利用统计量利用统计量可以检验原假设可以检验原假设H0，也叫做也叫做皮尔逊统计量皮尔逊统计量 统计量统计量给定显著性水平给定显著性水平，由附表，由附表4可查得可查得使使进行一次具体的抽样（进行一次具体的抽样（n50），算出），算出的观测值的观测值则拒绝原假设则拒绝原假设
39、H0则接受原假设则接受原假设H0若若若若的值，的值，上述检验方法称为上述检验方法称为拟和检验法拟和检验法.使用时应注意以下几点：使用时应注意以下几点：（2）根据实践经验，要求样本容量）根据实践经验，要求样本容量n50，且要求理且要求理论频率论频率npk5，若若npk5， 则应适当合并则应适当合并Ak，以满足以满足此要求此要求（1）原假设）原假设H0中的总体分布也可以用分布律或密度中的总体分布也可以用分布律或密度函数来表示只要在函数来表示只要在H0成立的前提下，能够确定出皮尔成立的前提下，能够确定出皮尔逊统计量中的每个概率逊统计量中的每个概率pk就行就行.例例 将一枚骰子抛掷将一枚骰子抛掷120
40、次，结果如下次，结果如下点数点数123456频数频数212819241612问这枚骰子的六个面是否匀称？问这枚骰子的六个面是否匀称？取显著性水平取显著性水平=0.05.解解 将骰子六个面的点数作为总体将骰子六个面的点数作为总体X，问题化为检验假设，问题化为检验假设 下面用下面用由题意知，在原假设由题意知，在原假设H0成立的前提下，成立的前提下，的观测值为的观测值为拟和检验法来检验拟和检验法来检验.对于对于 查附表查附表4 4得得应接受原假设应接受原假设H0即在显著性水平即在显著性水平0.05下可以认为六个面是匀称的下可以认为六个面是匀称的.例例 某正弦波的初相位某正弦波的初相位是一随机变量，其
41、可能取值是一随机变量，其可能取值的全体为区间的全体为区间0,2在在100次独立观察中，次独立观察中，在在0,2的的10个等分区间上取值的频数如下个等分区间上取值的频数如下其中其中问问在在0,2上是否服从均匀分布？上是否服从均匀分布？ （取（取=0.05）.解解 记记的密度函数为的密度函数为f(x)，按题意需要检验假设，按题意需要检验假设在在H0成立的前提下，有成立的前提下，有.于是皮尔逊统计量于是皮尔逊统计量的观测值为的观测值为.对于对于查附表得查附表得应接受应接受H0即在显著性水平即在显著性水平0.05下，可以认为下，可以认为在在0,2上是否上是否分从均匀分布分从均匀分布.3.3.2 3.3
42、.2 假设总体分布未知的检验假设总体分布未知的检验设总体设总体X的分布函数的分布函数F(x)未知，未知，一个样本，要求检验假设一个样本，要求检验假设这里函数这里函数的表达式已知，而参的表达式已知，而参未知未知是是X的的数数.检验统计量的计算流程检验统计量的计算流程（原假设（原假设H0成立为前提）成立为前提）样本观测值样本观测值最大似然估计法最大似然估计法求出求出估计值估计值 用用代替代替 将将分成互不相交的子集分成互不相交的子集.求求X在每个在每个Ak上的概率上的概率计算样本值在每个计算样本值在每个Ak上的频数上的频数的分布由以下定理给出的分布由以下定理给出.定理定理3.2 如果原假设如果原假
43、设H0成立，则当样本容量成立，则当样本容量n时，时，的分布趋于自由度为的分布趋于自由度为的的即统计量即统计量的极限分布为的极限分布为显然定理显然定理3.1是定理是定理3.2在在m=0时的特殊情形时的特殊情形统计量统计量分布，分布，定理的证明从略定理的证明从略.根据此定理，对于给定的显著性水平根据此定理，对于给定的显著性水平及充分大的样及充分大的样本容量（本容量（n50），有），有.在一次具体的抽样之后，计算出在一次具体的抽样之后，计算出的观测值的观测值则拒绝原假设则拒绝原假设H0 若若则接受原假设则接受原假设H0 若若该方法在具体使用过程中，注意事项与前面的分布已该方法在具体使用过程中，注意事
44、项与前面的分布已知的情况类似，总体分布函数也同样可以使用分布律知的情况类似，总体分布函数也同样可以使用分布律（离散型）或密度函数（连续型）来表示，只要能计（离散型）或密度函数（连续型）来表示，只要能计算出所需的概率值即可；对于样本容量也同样要求不算出所需的概率值即可；对于样本容量也同样要求不小于小于50，理论频数不小于，理论频数不小于5.例例 Rutherford与与Geiger在在1920年做了一个著名的实年做了一个著名的实验在验在2608段时间（每段段时间（每段7.5s）内观察某块放射性）内观察某块放射性物质放射出的物质放射出的粒子数，记录结果如下粒子数，记录结果如下粒子数粒子数01234
45、5678910频数频数57203383525532408273139452716问在每段时间内放射出的问在每段时间内放射出的粒子数粒子数X是否服从泊松分布是否服从泊松分布？取显著性水平为？取显著性水平为0.05.解解 按题意要检验假设按题意要检验假设在原假设在原假设H0成立的前提下，参数成立的前提下，参数的最大似然估计为的最大似然估计为其中其中10094是在是在2608段时间内观察到的放射粒子总数段时间内观察到的放射粒子总数其中其中为未知参数为未知参数.再由再由 算得算得粒子数粒子数012345678910概率概率0.0210.0810.1560.2010.1950.1510.0970.054
46、0.0260.0110.007.将已知频数将已知频数及上面概率及上面概率代入统计量代入统计量得得对于对于查附表查附表4得得即在显著性水平即在显著性水平0.05下可以认为下可以认为X服从泊松分布服从泊松分布应接受原假设应接受原假设H0.例例 从一大批同规格的机械零件中抽取从一大批同规格的机械零件中抽取100件，测其口件，测其口径（单位：径（单位：cm），算得平均值），算得平均值 (cm)，样本，样本标准差标准差s=0.033(cm)现将这现将这100个零件按口径大小分个零件按口径大小分成成8组，列表如下组，列表如下问该规格零件的口径问该规格零件的口径X是否服从正态分布？取显著性是否服从正态分布？取显著性水平为水平为0.05.其中其中未知未知解解 记总体记总体X的分布函数为的分布函数为F(x)，问题是要检验假设，问题是要检验假设在原假设在原假设H0成立的前提下，未知参数成立的前提下，未知参数似然估计分别为似然估计分别为的最大的最大.再由再由算得算得注意到注意到故应将第故应将第7、8组合并计算组合并计算合并后的分组数为合并后的分组数为7组组.将已知频数将已知频数及上面概率及上面概率代入皮尔逊统计量代入皮尔逊统计量得得对于对于查附表得查附表得应接受原假设应接受原假设H0 即在显著性水平即在显著性水平0.05下可以认为该规格零件的口径下可以认为该规格零件的口径X服从正态分布服从正态分布.
