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1、第6课时 空间直角坐标系、 空间向量及其运算1空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，轴，y轴，轴，z轴这时建立了空间直角坐轴这时建立了空间直角坐标系标系Oxyz，其中点，其中点O叫做叫做 x轴，轴，y轴，轴，z轴统称轴统称 由坐标轴确定的由坐标轴确定的平面叫做平面叫做 基础知识梳理基础知识梳理原点原点坐标轴坐标轴坐标平面坐标平面(2)空间一点空间一点M的坐标为有序实的坐标为有序实数组数组(x，y，z)，记作，记作M(x，y，z)，其中其中x叫做点叫做点M的
2、的 ，y叫做点叫做点M的的 ，z叫做点叫做点M的的 基础知识梳理基础知识梳理横坐标横坐标竖坐标竖坐标纵坐标纵坐标2空间向量的有关定理空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两共线向量定理：对空间任意两个向量个向量a，b(b0)，ab的充要条件是的充要条件是存在实数存在实数，使得，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量不共线，那么向量c与向量与向量a，b共共面的充要条件是存在唯一的有序实数面的充要条件是存在唯一的有序实数对对(x，y)，使，使cxayb.基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理若若a与与b确定平面为确定平面为，则
3、表示，则表示c的有向线段与的有向线段与的关系是怎样的？的关系是怎样的？【思考思考提示提示】可能与可能与平行，平行，也可能在也可能在内内(3)空间向量基本定理：如果三个空间向量基本定理：如果三个向量向量a，b，c不共面，那么对空间任一不共面，那么对空间任一向量向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使，使得得pxaybzc.其中，其中，a，b，c叫叫做空间的一个做空间的一个 基础知识梳理基础知识梳理基底基底3空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念数量积及相关概念两向量的夹角两向量的夹角基础知识梳理基础知识梳理AOB两向量的数量积两向量的数量积已知空间两个
4、非零向量已知空间两个非零向量a，b，则，则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的数量积，记作的数量积，记作ab，即，即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律数量积的运算律结合律：结合律：(a)b(ab)；交换律：交换律：abba；分配律：分配律：a(bc)abac.基础知识梳理基础知识梳理4空间向量坐标表示及应用空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算数量积的坐标运算若若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则则ab .(2)共线与垂直的坐标表示共线与垂直的坐标表示设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则则ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1
5、b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量均为非零向量)基础知识梳理基础知识梳理a1b1a2b2a3b3基础知识梳理基础知识梳理答案答案：D三基能力强化三基能力强化2(教材习题改编教材习题改编)若若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果，如果a与与b为共线向量，为共线向量，则则()三基能力强化三基能力强化答案答案：C三基能力强化三基能力强化答案答案：B4已知向量已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且，且kab与与2ab互相互相垂直，则垂直，则k的值是的值是_三基能力强化三基能力强化答案答案：1三基能力强化三基能力强化用已知向量表示未知向量，以及进行用已知向量表示未知向量，以及进行
6、向量表达式的化简时，一定要注意结合实向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误向量的运算法则，避免出现方向错误课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一空间向量的线性运算空间向量的线性运算课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1【思路点拨思路点拨】利用空间向量的利用空间向量的加法法则及基本定理加法法则及基本定理课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互
7、动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究应用共线向量定理、共面向量定理，应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面可以证明点共线、点共面、线共面1证明空间任意三点共线的方法证明空间任意三点共线的方法对空间三点对空间三点P，A，B可通过证明下列结可通过证明下列结论成立来证明三点共线论成立来证明三点共线课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二共线向量定理、共面向量定理的应用共线向量定理、共面向量定理的应用课堂互动讲练课堂互动讲练2证明空间四点共面的方法证明空间四点共面的方法对空间四点对空间四点P，M，A，B可通过可通过证明下列结论成立来证明
8、四点共面证明下列结论成立来证明四点共面课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2已知已知A、B、M三点不共线，三点不共线，对于平面对于平面ABM外的任一点外的任一点O，确定，确定在下列各条件下，点在下列各条件下，点P是否与是否与A、B、M一定共面？一定共面？课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】先化简已知等式，先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的条件观察它能否转化为四点共面的条件课堂互动讲练课堂互动讲练3(1)(1)1，B与与P、A、M共面，共面，即即P与与A、B、M共面共面4(1)(1)21，P与与A、B、M不共面不共面课堂互动讲练课堂
9、互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量的坐标运算与平面向空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比可以较容易地掌握空间向量些对比可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题的坐标运算问题课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练空间中的两个向量的数量积是平面向空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具量
10、中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，可借助向量的数量积解决两直性特别强，可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，求解空间角和空间线的平行与垂直问题，求解空间角和空间距离问题向量的数量积的坐标表示即数距离问题向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化为代数运算，使运算简化课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四利用空间向量证明线面平行与垂直利用空间向量证明线面平行与垂直课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)如图所示，直三棱柱如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1，
11、底面，底面ABC中，中，CACB1，BCA90，棱，棱AA12，M，N分别是分别是A1B1，A1A的中点的中点(1)求求BN的长；的长；(2)求异面直线求异面直线BA1与与CB1所成角所成角的余弦值；的余弦值；(3)求证：求证：A1BC1M.课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】如图所示，以如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】(1)利用空间两点利用空间两点间的距离公式求间的距离公式求BN的长；的长；课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动
12、讲练高考检阅高考检阅(1)求证：面求证：面PAC面面PCD；(2)在棱在棱PD上是否存在一点上是否存在一点E，使，使CE面面PAB？若存在，请确定？若存在，请确定E点的点的位置；若不存在，请说明理由位置；若不存在，请说明理由课堂互动讲练课堂互动讲练解解：(1)证明：设证明：设PA1，由，由题意题意PABC1，AD2.PA面面ABCD，PB与面与面ABCD所成的角为所成的角为PBA45. 2分分AB1，由由ABCBAD90，课堂互动讲练课堂互动讲练又又PACD，PAACA，CD面面PAC，CD面面PCD，面面PAC面面PCD. 6分分(2)分别以分别以AB、AD、AP为为x轴、轴、y轴、轴、z轴
13、建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系令令P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，7分分课堂互动讲练课堂互动讲练E是是PD的中点，的中点，存在存在E点使点使CE面面PAB，此时此时E为为PD的中点的中点 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1点共线问题点共线问题共线向量定理：对空间任意两个共线向量定理：对空间任意两个向量向量a，b(b0)，ab的充要条件是存的充要条件是存在实数在实数使使ab.规律方法总结规律方法总结2点共面问题点共面问题点共面问题点共面问题 可以转化为向量共可以转化为向量共面问题：面问题：如果两个向量如果两个向量a，b不共线，则向不共线，则向量量p与向量与向量a，b共面的充要条件是，存共面的充要条件是，存在实数对在实数对(x，y)，使，使pxayb.规律方法总结规律方法总结所以要证明所以要证明P，M，A，B四点共面，四点共面，关键是寻找有序实数对关键是寻找有序实数对(x，y)满足上述的满足上述的两个关系式两个关系式规律方法总结规律方法总结证明面面平行，只要证明两个平证明面面平行，只要证明两个平面的法向量共线即可面的法向量共线即可规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
